Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

1.6.Гармонічні функції. Відновлення аналітичної функції за її дійсною або уявною частинами.

1.7.Інтеграл від функції комплексної змінної.

1.8.Інтегральна теорема Коші та формула Коші.

1.9.Ряди Тейлора і Лорана.

1.10.Ізольовані точки та їх класифікація.

1.11.Лишки. Обчислення інтегралів за допомогою лишків.

2.Знання на рівні доведень та виведень

2.1.Умови Коші–Рімана.

2.2.Інтегральна формула Коші.

2.3.Формули для обчислення лишків.

2.4.Основна теорема про лишки.

3.Уміння в розв’язанні задач

3.1.Проводити дії з комплексними числами.

3.2.Уміти виділяти дійсну й уявну частини функції.

3.3.Уміти проводити диференціювання та інтегрування функції.

3.4.Уміти застосовувати формулу Коші для обчислення інтегралів по

замкненому контуру.

3.5.Розкладати функції у ряд Лорана.

3.6.Знаходити ізольовані точки та здійснювати їх класифікацію.

3.7.Знаходити лишки функції.

3.8.Обчислювати інтеграли за допомогою лишків.

Тема 1. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА (ОГЛЯД).

ФУНКЦІЯ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ. РЯДИ З КОМПЛЕКСНИМИ ЧЛЕНАМИ. ОСНОВНІ ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ

Комплексні числа; алгебраїчна, тригонометрична, показникова форми запису; геометрична інтерпретація. Дії з комплексними числами. Формули Ейлера, Муавра. Поняття функції комплексної змінної, границя, неперервність. Ряди з комплексними членами. Ознаки збіжності. Теорема Абеля. Основні елементарні функції та їхні властивості.

Література: [4, розділ 1, пп.1.1−1.3], [5, гл.1, пп.1.1−1.3], [12, розділ 30, §1–2], [13, розділ 1, §1–2], [15, розділ 15, п. 15.1], [17, розділ 8, §28].

241

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Аргументом числа z (позначення Arg z) називають кут φ, на який треба

повернути навколо початку координат додатну частину дійсної осі до збігу

JJJG

з вектором OA : φ = Arg z. При цьому кут φ вважають додатним, якщо обертання додатної частини дійсної осі відбувається проти ходу годинникової стрілки, і від’ємним — у протилежному напрямі.

Аргумент числа z = 0 не визначений. Якщо z ≠ 0, то Arg z визначається не однозначно, а з точністю до сталого доданка 2πk (k = 0, ±1, ±2, ±3,…). Одне і тільки одне значення φ аргументу z належить проміжку (–π; π], його називають головним значенням і позначають arg z.

Отже,

Arg z = arg z + 2πk,

де –π < arg z ≤ π, k = 0, ±1, ±2,…

Для обчислення головного значення аргументу комплексного числа z = x + iy використовують рівності:

Справджуються формули:

Re z = | z | cos( arg z) = | z | cos ϕ, Im z = | z | sin (arg z) = | z | sin ϕ.

Тоді комплексне число z = x +iy можна подати у вигляді

z = | z | (cos ϕ + i sin ϕ).

Праву частину цієї формули називають тригонометричною формою комплексного числа z.

Оскільки за формулою Ейлера eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , то

z = reiϕ .

Таку форму запису комплексного числа z називають показниковою.

243

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

тобто | zn | = | z |n , Arg zn = nArg z (n — натуральне число). Рівність (3.3) називають формулою Муавра.

Коренем n-го степеня з комплексного числа z називається комплексне

якого правильного п-кутника, вписаного в коло з радіусом n z з центром у початку координат.

244

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.2. Поняття функції комплексної змінної. Границя та неперервність

Нехай D — множина комплексних чисел.

Якщо кожному z D поставлено у відповідність за певним законом одне або кілька комплексних чисел w, то кажуть, що на множині D визначено

функцію комплексної змінної, і пишуть w = f(z). Множину D при цьому на-

зивають областю визначення, або областю існування функції, z ― незалежною змінною, або аргументом, w ― залежною змінною, або функцією.

Якщо кожному z D ставиться у відповідність тільки одне число w, то функціюw = f(z) називаютьоднозначною, інакшеїїназиваютьбагатозначною.

Нехай z = x + iy, w = u + iυ, w = f(z) ― однозначна функція.

Тоді кожній точці z D з координатами x i y ставиться у відповідність пара дійсних чисел u i υ. Інакше кажучи, на D визначені дві дійсні функції u = u(x, y) i υ = υ (x, y) двох дійсних змінних, тобто

w = f(z) = u(x, y)+ i υ(x, y).

Отже, одне комплексне співвідношення w = f(z) еквівалентне двом дійсним співвідношенням: u = u (x, y) i υ = υ (x, y).

Графік функції комплексної змінної мав би бути деякою поверхнею в просторі чотирьох дійсних змінних x, y, u, υ, чого не можна уявити наочно.

Нехай довільній фіксованій точці w G відповідають ті точки множини D, для яких w = f(z). Цим самим на множині G визначено функцію z = g(w), яку називають оберненою функцією до функції w = f(z). Функція w = f(z) при цьому називається прямою функцією. Зрозуміло, що коли пряма функція w = f(z) однозначна, то обернена функція z = g(w) може бути як однозначною, так і багатозначною. Для того, щоб обернена функція була однозначною, необхідно і достатньо, щоб пряма функція кожним двом різним точкам множини D ставила у відповідність дві різні точки множини G, тобто щоб функція w = f(z) відображала множину D на множину G взаємно однозначно. У цьому разі функція називається однолистною.

Околом (δ-околом) точки називають круг z − z0 < δ з центром у точці

z0 і радіусом δ.

Нехай функція w = f(z) визначена в околі точки z0.

Число A = a + ib називають скінченною границею функції f(z) в точці z0, якщо для довільного дійсного числа ε > 0 знайдеться дійсне число δ > 0 та-

ке, що f (z) − A < ε для всіх z, що містяться в δ-околі точки z0 і відмінні від z0.

Означення границi функції комплексної змінної за формою збiгається з означенням границi функції дійсної змiнної: якщо вважати, що f(z) =

245

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Означення границі має сенс і при А = ∞. Число ∞ називають невластивим (нескінченним) комплексним числом, а відповідну точку ― нескінченно віддаленою точкою комплексної площини. Для числа ∞ поняття дійсної та уявної частин, а також поняття аргументу позбавлені смислу. Вважають, що модуль цього числа ∞ = +∞.

Околом нескінченно віддаленої точки називають множину точок z,

які задовольняють нерівність z >R, тобто зовнішню частину кожного круга з центром у початку координат.

Комплексну площину, до якої приєднано єдину нескінченно віддалену точку, називають розширеною комплексною площиною.

Функція f(z) має нескінченну границю при z→z0, якщо для довільного числа P > 0 знайдеться число δ > 0 таке, що f (z) > P для всіх z з δ-околу

точки z0 (z ≠ z0).

Із означення границі випливає, що співвідношення lim f(z) = ∞ еквіва-

z→ z0

лентне співвідношенню lim f (z) = +∞.

z→ z0

Число A називають скінченною границею функції f(z) при z→∞, якщо для довільного числа ε > 0 знайдеться таке число R > 0, що f (z) − A < ε

для всіх z > R.

Наведемо поняття нескінченної границі у нескінченно віддаленій точці:

lim f(z) = f(z0).

z→ z0

Неперервність функції w = f(z) в точці z0 = x0 + iy0 еквівалентна неперервності двох дійсних функцій u(x, y) = Re f(z) i υ(x, y) = Im f(z) у точ-

ці (x0, y0).

Функцію, неперервну в кожній точці множини D, називають неперервною на цій множині.

246

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.3. Ряди з комплексними членами

Вираз вигляду

n=1

де zn = xn + iyn ( n = 1, 2, ... ) ― комплексні числа, називають числовим ря-

дом (у комплексній області). Суму

n

Sn = ∑ zk = z1 + z2 + ... + zn

k =1

перших n членів ряду (3.5) називають n-ю частинною сумою ряду. Ряд (3.5) називають збіжним, якщо існує скінченна границя

S = lim Sn .

n→∞

Тоді S ― сума ряду. Якщо границя lim Sn не існує, то ряд (3.5) назива-

n→∞

ють розбіжним.

Ряд (3.5) можна подати у вигляді

Теорема 1 Ряд (3.5) з комплексними членами збігається тоді і тільки тоді, коли збігається кожен з рядів

Для дослідження збіжності ряду (3.5) ефективною є також така теорема.

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Ця теорема дає можливість для дослідження рядів із комплексними членами використовувати всі достатні ознаки збіжності рядів із дійсними додатними членами (див. модуль 1).

Степеневим рядом називають ряд вигляду

∞

∑ an (z − z0 )n = a0 + a1(z – z0) + a2(z – z0)2 + ...,

n=0

де a0 , a1 , ..., an , ...― сталі комплексні числа, які називають коефіцієнтами степеневого ряду; z = x + iy ― комплексна змінна, z0 ― довільне фіксова-

не комплексне число.

При z0 = 0 степеневий ряд набуває вигляду

n=0

Сукупність усіх значень z, для яких ряд (3.6) збігається, називають областю збіжності степеневого ряду.

∞

Теорема 3 (Абеля.) Якщо ряд ∑ an zn збігається в точці z = z1 ≠ 0 , то

n=0

він абсолютно збігається і в крузі | z | < | z1 | . Якщо ряд (3.6) розбігається у точці z = z2 , то він розбігається для всіх значень z, що задовольняють умову | z | > | z2 | , тобтозовнікругазрадіусом | z2 | зцентромупочаткукоординат.

Круг з радіусом R з центром у точці z0, всередині якого степеневий ряд

Теорема 4 Степеневий ряд всередині круга збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати довільну кількість разів. Утво-

реніприцьомурядимаютьтойсамийрадіусзбіжності, щойпочатковийряд.

Умова рівномірної збіжності ряду гарантує неперервність його суми f(z), а також можливість диференціювання й інтегрування цієї суми шляхом почленного диференціювання й інтегрування степеневого ряду.

248

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.4.Основні елементарні функції та їхні властивості

1.4.1.Показникова та тригонометричні функції

Функції ez ( exp z ), cos z , sin z визначаються як суми збіжних степеневих рядів, тобто за означенням:

Ці ряди збігаються, причому абсолютно, для довільного комплексного значення z .

Означені функції пов’язані між собою формулою Ейлера

eiz = cos z + i sin z.

2. e− z = 1 для довільного комплексного z. ez

3. ez ≠ 0 для довільного комплексного z.

4.ez−t = ez .

et

5.ez+2πi = ez, тобто ez ― періодична функція з суто уявним періодом 2πi.

Справді,

ez+ 2πi = ex+iy+ 2πi = ex+i( y+ 2π) = ex (cos( y + 2π) + i sin( y + 2π)) = = ex (cos y + i sin y) = ez .

249

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

6.cos (– z) = cos z, тобто cos z — парна функція.

7.sin (– z) = – sin z, тобто sin z — непарна функція.

8.sin (z + t) = sin z cos t + cos z sin t, cos (z + t) = cos z cos t – sin z sin t.

9.sin 2z = 2sin z cos z, cos 2z = cos2 z – sin2 z.

10.cos2 z + sin2 z = 1.

11.cos (z + 2πk) = cos z, sin (z + 2πk) = sin z.

12.ez, cos z, sin z – необмежені функції у комплексній площині.

Інші тригонометричні функції комплексної змінної z визначаються формулами:

tg z = cossin zz , ctg z = cossin zz .

1.4.2. Гіперболічні функції

Гіперболічні синус і косинус визначаються рівностями:

Подавши ez та e− z у вигляді суми степеневого ряду, дістанемо розвинення у степеневий ряд функцій sh z і ch z:

Функції тангенс гіперболічний та котангенс гіперболічний визнача-

ються за допомогою рівностей:

th z = chsh zz , cth z = chsh zz .

250

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/