Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta
.pdf1.3.19. |
x2 |
+ y2 |
+ 4x ≤ 0, |
3y ≤ − x, y ≥ 0. |
1.3.20. |
x2 |
+ y2 |
+ 10 y ≤ 0, |
y ≥ x. |
1.3.21. |
3y ≥ − x, y ≤ 0, |
y2 ≤ x(8 − x). |
1.3.22.3y ≤ − x, x2 + y2 ≤ 8y.
1.3.23. |
x2 + y2 + 12 y ≤ 0, |
|
y ≥ 3x, |
3y ≤ x. |
|||
1.3.24. |
x2 |
+ y2 + 2 y ≤ 0, |
y ≤ − x, |
y ≤ |
3x. |
||
1.3.25. |
y ≥ 3x, x2 + y2 |
≤ 6x. |
|
|
|||
1.3.26. |
y ≤ − x, |
3y ≥ − x, |
x2 + y2 ≤ 8y. |
||||
1.3.27. |
x2 |
+ y2 |
+ 4x ≥ 0, |
y ≤ 0, |
3y ≥ x. |
||
1.3.28. |
y ≥ − x, |
y ≤ − 3x, |
x2 + y2 ≤ 8y. |
||||
1.3.29. |
x2 |
+ y2 |
+ 4x ≤ 0, |
|
3y ≤ x, |
y ≥ x. |
|
1.3.30. |
x2 |
+ y2 + 16 y ≤ 0, |
|
3y ≤ − x, |
y ≤ 3x. |
1.4. Використовуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, обчисліть об’єм тіла, обмеженого поверхнями.
1.4.1. x = |
y, |
y = 4, |
x = 0, |
z = 0, |
x + z = 6. |
|||||
1.4.2. z = 4 − x2 , |
x + y − 2 = 0, |
x = 0, y = 0, |
z = 0. |
|||||||
1.4.3. y = x2 , |
y = 0, |
x = 2, |
z = 4 − x2 , |
z = 0. |
||||||
1.4.4. x + y = 2, |
x = 0, z = x2 + y2 , |
x = |
y, |
z = 0. |
||||||
1.4.5. z = 1+ x2 , |
x + y − 2 = 0, |
x = 0, |
y = 0, z = 0. |
|||||||
1.4.6. y = x2 , |
y = 0, |
x + y = 2, |
z = 0, z + y = 3. |
|||||||
1.4.7. z = x2 , |
x + y − 2 = 0, |
y = 0, z = 0. |
|
|||||||
1.4.8. y = x, y = 2x, |
y = 2, |
z = 6 − y2 , |
z = 0. |
|||||||
1.4.9. y = |
x, |
x = 4, |
x + 2 y = 0, z − x = 2, |
z = 0. |
||||||
1.4.10. z = 1+ x2 , x = 2, |
x + y − 4 = 0, y = 0, |
z = 0. |
||||||||
1.4.11. x = y, |
2 y + x = 0, |
x = 2, z = x2 + y2 , |
z = 0. |
|||||||
1.4.12. y = 2x, |
|
y + 2x = 4, |
y = 0, |
z = x2 , |
z = 0. |
|||||
1.4.13. y = x2 , |
y = 1, |
z = y2 , |
z = 0. |
|
|
|||||
1.4.14. y = 2x, |
x = 2, |
y = 1, |
z = y2 , |
z = 0. |
|
|||||
1.4.15. x − 2 y = 0, z = 4 − x2 , |
y = 0, |
z = 0. |
|
141
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
1.4.16. |
z = y2 , |
x + y = 6, |
y = x, z = 0. |
|
|
|||||
1.4.17. |
z = 4 − x2 , |
x + y − 4 = 0, |
y = x, |
x = 0, |
z = 0. |
|||||
1.4.18. |
z = 4 + y2 , |
x + y − 4 = 0, |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0. |
|||||
1.4.19. |
z = 4 − y2 , |
x + y − 4 = 0, |
y = x, y = 0, |
z = 0. |
||||||
1.4.20. |
z = y2 , |
x + y − 6 = 0, y = x, z = 0. |
|
|
||||||
1.4.21. |
y = |
x, |
y + x = 0, |
x = 1, |
z = x2 + y2 , |
z = 0. |
||||
1.4.22. |
y = |
x, |
x = 0, |
y = 2, |
z = x2 + 1, |
z = 0. |
||||
1.4.23. |
y = x2 , |
y = 4, x = 1, z = 2 + x, |
z = 0. |
|
||||||
1.4.24. |
y = x + 1, x = 1, |
y = 0, |
z = 1+ y2 , |
z = 0. |
||||||
1.4.25. |
y = x, y = x + 1, |
x = 0, |
x = 2, |
z = x2 + y2 , z = 0. |
||||||
1.4.26. |
z = 2 + x2 , |
x + y − 1 = 0, |
x = 0, |
x − y = 1, z = 0. |
||||||
1.4.27. |
y = x2 , |
y + x = 0, x = 1, |
z = 0, |
z + x = 3. |
||||||
1.4.28. |
y = 4 − x2 , |
y = 0, |
z = y, z = 0. |
|
|
|||||
1.4.29. |
x = 1− y2 , |
z = |
x, |
z = 0. |
|
|
|
|||
1.4.30. |
x = 2, |
z = |
y, |
y = x, z = 0. |
|
|
|
Тема 2. ПОТРІЙНІ ІНТЕГРАЛИ
Основні поняття та означення. Умови існування та властивості. Обчислення. Циліндрична і сферична системи координат. Заміна змінних. Застосування.
Література: [3, розділ 2, п. 2.3], [9, розділ 10, §2], [15, розділ 12, п. 12.2], [16, розділ 14, §11—14], [17, розділ 2, §8].
Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. Означення потрійного інтеграла
Поняття потрійного інтеграла вводиться аналогічно поняттям визначеного і подвійного інтегралів як границя певної інтегральної суми і є узагальненням цих понять на випадок функції трьох змінних.
Нехай функція трьох змінних u = f (x, y, z) визначена в обмеженій замкненій тривимірній області G . Розіб’ємо цю область сіткою поверхонь
142
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
на п довільних частинних областей |
Gi |
з об’ємами |
Vi |
(i = 1, 2,..., n) . |
|
Виберемо в кожній частинній області Gi |
довільну точку |
Mi (xi , yi , zi ) , |
|||
обчислимо значення функції f (xi , |
yi , |
zi ) |
й утворимо інтегральну суму |
||
n |
|
|
|
|
|
∑ f (xi , |
yi , zi ) Vi |
|
(2.16) |
||
i=1 |
|
|
|
|
|
для функції f (x, y, z) по області |
G . |
Позначимо через |
λ |
найбільший з |
|
діаметрів частинних областей Gi . |
|
|
|
|
|
Якщо інтегральна сума (2.16) при λ → 0 має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області G на частини, ні від вибору точок Mi , то цю границю називають потрійним інтегралом
функції f (x, y, z) по області G і позначають |
||||
|
∫∫∫ f (x, |
y, z)dxdydz або |
∫∫∫ f (x, y, z)dV. |
|
|
G |
|
G |
|
|
|
|
||
При цьому функцію |
f (x, y, z) називають інтегровною в області G. |
|||
Таким чином, за означенням |
|
|||
|
∫∫∫ f (x, |
n |
|
|
|
y, z)dxdydz = lim ∑ f (xi , yi , zi ) Vi . |
|||
|
G |
λ→0 i=1 |
||
Тут dV = dxdydz ― елемент об’єму. |
|
|||
|
Якщо функція u = f (x, y, z) |
неперервна в обмеженій замк- |
||
Теорема |
||||
неній області G , то вона інтегровна в цій області. |
2.2. Властивості потрійного інтеграла
Властивості потрійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного та подвійного інтегралів. Сформулюємо їх.
Нехайпідінтегральніфункціїнаступнихінтегралів інтегровнівобласті G . 1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла
∫∫∫ Cf (x, y, z)dV = C∫∫∫ f (x, y, z)dV , С ― стала.
G G
2. Потрійний інтеграл від суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) потрійних інтегралів від цих функцій.
∫∫∫ ( f (x, y, z) ± g(x, y, |
z)) dV =∫∫∫ f (x, y, |
z)dV ± ∫∫∫ g(x, y, z)dV. |
G |
G |
G |
143
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.Якщо в областіG f (x, y, z) ≥ 0 , то
∫∫∫f (x, y, z)dV ≥ 0.
|
G |
|
4. Якщо f (x, y, |
z) ≤ g(x, y, z) |
для всіх точок області G , тоді |
|
∫∫∫ f (x, y, z)dV ≤∫∫∫ g(x, y, z)dV. |
|
|
G |
G |
5. Якщо область G розбити на дві частини ―G1 та G2 , які не мають |
||
спільних внутрішніх точок, то |
|
|
∫∫∫ f (x, y, z)dV =∫∫∫ f (x, y, z)dV + ∫∫∫ f (x, y, z)dV. |
||
G |
G1 |
G2 |
6. (про оцінку потрійного інтеграла). Якщо функція f (x, y, z) непе-
рервна в області G , V ― об’єм області G , m i M ― відповідно найменше і найбільше значення функції f (x, y, z) в області G , то
mV ≤ ∫∫∫ f (x, y, z)dV ≤ MV.
G
7. (про середнє значення функції). Якщо функція f (x, y, z) неперервна в замкненій обмеженій області G , яка має об’єм V , то в цій області існує точка (x0 , y0 , z0 ) така, що
∫∫∫ f (x, y, z)dV = f (x0 , y0 , z0 )V.
G
Величину
f (x0 , y0 , z0 ) = V1 ∫∫∫G f (x, y, z)dV
називають середнім значенням функції f (x, y, z) в області G .
2.3.Обчислення потрійного інтеграла
вдекартових координатах
Обчислення потрійного інтеграла зводять до послідовного обчислення
трьох визначених інтегралів. |
G є |
тіло, обмежене знизу поверхнею |
||
Нехай областю інтегрування |
||||
z = z1 (x, y), |
зверху ― поверхнею |
z = z2 (x, |
y) , з боків ― циліндричною |
|
поверхнею, |
твірні якої паралельні осі |
Oz |
(циліндрична поверхня може |
вироджуватися в замкнену лінію). Проекцію області G на площину Оху позначимо через D. Вважатимемо область D правильною. Описана область G є правильною в напрямку осі Oz , тобто будь-яка пряма, яка паралельна
144
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
осі Oz , перетинає область |
G не більше двох разів. Нехай пряма, яка |
||
проходить через внутрішню точку проекції D, перетинає область G знизу в |
|||
точці M1 і зверху в точці M2 (рис. 2.26). Тоді для будь-якої неперервної в |
|||
області G функції f (x, y, z) |
справджується формула |
||
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫∫ dxdy |
z2 |
(x, y) |
|
|
∫ f ( x, y, z)dz. |
||
G |
D |
z1 |
(x, y) |
z |
z = z2 |
(x, y) |
|
||
|
M2 |
|
|
G |
|
|
M1 |
|
аО |
z = z1 (yx, y) |
|
|
y |
|
x |
|
D |
|
|
y = y2(x) |
|
b |
y = y1(x) |
M(x, y) |
x
y |
y = y2 (x) |
|
D |
y |
M(x, y) |
|
y = y1 (x)
О a |
x b x |
Рис. 2.26 |
Рис. 2.27 |
Цю формулу слід розуміти так. Щоб обчислити потрійний інтеграл по області G, яка правильна у напрямку осі Oz, спочатку обчислюють внутрішній інтеграл за змінною z, вважаючи змінні х та у сталими:
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫∫ dxdy |
z2 |
(x, y) |
|||
|
∫ f ( x, y, z) dz = |
||||
G |
|
|
D |
z1 |
(x, y) |
|
|
z2 |
(x, y) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= ∫∫ F ( x, y, z) |
|
|
dxdy = ∫∫ F1 (x, y)dxdy. |
||
D |
|
z1 (x, y) |
|
D |
|
|
|
|
У результаті приходять до подвійного інтеграла. Обчислення подвійного інтеграла проводять за уже відомими з попередньої теми правилами.
Нехай область D обмежена неперервними кривими y = y1 (x) , y = y2 (x) та
прямими x = a та x = b , де a < b , |
y1 (x) ≤ y2 (x) |
длявсіх x [a; b] (рис. 2.27). |
|
У цьому разі координати всіх точок |
M (x, y, |
z) області G змінюються в |
|
таких межах: |
|
|
|
z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, |
y) , |
y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) , a ≤ x ≤ b . (2.17) |
|
|
|
|
145 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Звівши подвійний інтеграл до повторного, дістанемо остаточну формулу для обчислення потрійного інтеграла по області G , яка визначається нерівностями (2.17):
|
b |
y2 ( x) |
z2 |
( x, y) |
|
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫ dx |
∫ dy |
|
∫ f (x, y, z) dz. |
(2.18) |
|
G |
a |
y1 ( x) |
z1 (x, y) |
|
Зауваження.
1. Порядок інтегрування може бути іншим, ніж у формулі (2.18). Так, якщо область G правильна у напрямку осі Оу і задається нерівностями
y1 (x, z) ≤ y ≤ y2 (x, z) , x1 (z) ≤ x ≤ x2 (z) , c ≤ z ≤ d,
тоді
|
|
d |
x2 ( z) |
y2 ( x, z) |
|
|
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫ dz |
∫ dx |
∫ f (x, y, z)dy. |
|
|
z |
G |
c |
x1 ( z) |
y1 (x, z) |
|
|
2. |
Якщо область інтегрування не є пра- |
|||
q |
|||||
|
|
вильною в жодному напрямку, потрібно цю |
pобласть розбити на частини, кожна з яких є правильною у певному напрямку.
О |
с |
|
d |
3. У найпростішому випадку, коли областю |
|||
|
інтегруванняєпаралелепіпед(рис. 2.28): |
|
|||||
a |
D |
у |
|
||||
b |
|
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q, |
|
||||
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
інтегрування можна проводити у будь-якому |
|||
|
Рис. 2.28 |
|
|||||
|
|
порядку, зокрема, справджується формула |
|||||
|
|
|
|
b |
d |
q |
|
|
|
|
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫ dx∫ dy∫ f (x, y, z)dz. |
(2.19) |
|||
|
|
|
G |
a |
c |
p |
|
2.4. Обчислення потрійного інтеграла в циліндричній та сферичній системах координат
Для обчислення потрійного інтеграла, як і подвійного, часто використовують метод заміни змінної. Нехай нові змінні u, v і w пов’язані з
прямокутними |
координатами х, у і z |
співвідношеннями |
x = x(u, v, |
w) , |
y = y(u, v, w) , |
z = z(u, v, w) , де функції |
x(u, v, w) , y(u, v, w) |
та z(u, v, |
w) , |
які неперервні разом зі своїми частинними похідними першого порядку,
146
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
встановлюють взаємно однозначну відповідність між точками просторової області G і точками області G′ і в області G′ визначник (якобіан) не обертається в нуль:
|
∂x |
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂u |
∂v |
∂w |
|
|
|
J = |
∂y |
∂y |
∂y |
|
≠ 0. |
|
∂u |
∂v |
∂w |
||||
|
|
|
||||
|
∂z |
∂z |
∂z |
|
|
|
|
∂u |
∂v |
∂w |
|
|
|
Заміну змінних у потрійному інтегралі здійснюють за формулою |
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw. (2.20) |
|
G |
G′ |
На практиці для обчислення потрійного інтеграла часто використовують циліндричні або сферичні координати.
У циліндричній системі координат положення точки M у просторі визначається трьома величинами ― ρ, ϕ, z , де ρ і ϕ ― полярні коорди-
нати точки M ′ ― проекції точки M на площину Оху, а z ― апліката точки M, (рис. 2.29). Зв’язок між прямокутними і циліндричними координатами точки M виражається формулами
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z,
де ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < z < ∞ .
Якобіан перетворення
|
∂x |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ρ |
|
∂ϕ |
∂z |
|
cos ϕ |
−ρ sin ϕ |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
∂y |
|
∂y |
∂y |
|
|
|||
J = |
|
= |
sin ϕ |
ρ cos ϕ |
0 |
= ρ. |
|||
∂ρ |
|
∂ϕ |
∂z |
||||||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
∂z |
|
∂z |
∂z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ρ |
|
∂ϕ |
∂z |
|
|
|
|
|
Отже,
J = ρ.
Тоді формула заміни змінних (2.20) (переходу до циліндричних координат) набирає вигляду
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρdρdϕdz.
G G′
147
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Зауваження. До циліндричних координат найчастіше переходятьтоді, коли область інтегрування G утворена циліндричною поверхнею, проекцією якої на відповідну площину є область D у формі круга, кільця, сектора тощо. Підінтегральну функцію часто задають у вигляді f (x, y, z) = g(x2 + y2 , z) .
z |
z |
|
M(ρ, φ, z)
r M(r, φ, θ)
θ
Оφ ρ |
y |
Oφ |
y |
x |
M′ |
x |
M′ |
|
Pис. 2.29 |
Pис. 2.30 |
У сферичній системі координат положення точки M у просторі визначається трьома величинами ― r, ϕ, θ , де r ― відстань від точки M до
початку координат, ϕ ― кут між віссю Ох та променем OM ′ ― проекцією
променя ОМ на площину Оху , θ ― кут між віссю Oz та променем ОМ (рис. 2.30). Залежність між прямокутними і сферичними координатами точки M пов’язана формулами
|
|
|
|
|
x = r sin θ cos ϕ, |
y = r sin θ sin ϕ, |
z = r cos θ, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π. |
|
|
|
|
||||||||
Якобіан перетворення |
|
|
|
|
||||||||
|
∂x |
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂r |
∂ϕ |
|
∂θ |
|
|
cos ϕ sin θ − r sin ϕ sin θ |
r cos ϕ cos θ |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂y |
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
||||
J = |
|
|
= |
sin ϕ sin θ |
r cos ϕ sin θ |
r sin ϕ cos θ |
= −r2 sin θ , |
|||||
∂r |
∂ϕ |
|
∂θ |
|||||||||
|
|
|
|
cos θ |
0 |
−r sin θ |
|
|||||
|
∂z |
∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂r |
∂ϕ |
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
Отже,
J = r2 sin θ .
148
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Тоді формула заміни змінних (2.20) (переходу до сферичних координат) набирає вигляду
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = |
|
|
G |
|
(2.21) |
= ∫∫∫ |
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r2 sin θdθdrdϕ. |
|
G′ |
|
|
Тут dV = r2 sinθ dr dθ dφ ― елемент об’єму в сферичних координатах.
Зауваження. Рівняння сфери x2 + y2 + z2 = R2 у сферичних коорди-
натах спрощується до вигляду r = R . Тому до сферичних координат найчастіше переходять тоді, коли область інтегрування G є куля, її частина ― кульовий сектор тощо. Підінтегральна функція часто має вигляд f (x, y, z) = g(x2 + y2 + z2 ). Наприклад, якщо область G ― куля, обмежена
сферою x2 + y2 + z2 = R2, |
то виконується формула |
|
|
|
2π |
π |
R |
∫∫∫ f (x2 + y2 + z2 )dxdydz = ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ f (r2 )r2 dr. |
|||
G |
0 |
0 |
0 |
2.5.Деякі застосування потрійного інтеграла
1.Об’єм області G обчислюють за формулою
V = ∫∫∫ dxdydz.
G
У циліндричних координатах ця формула має вигляд
V = ∫∫∫ρdρdϕdz,
G1
а у сферичних координатах ―
V = ∫∫∫ r2 sin θdrdθdϕ .
G2
2. Масу m тіла, обмеженого поверхнею G і заданою об’ємною густиною γ(x, y, z), обчислюють за формулою
m = ∫∫∫ γ(x, y, z) dxdydz.
G
149
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3. Координати xc , yc , zc центра маси тіла визначаються за формулами
|
∫∫∫ xγ dxdydz |
|
∫∫∫ yγ dxdydz |
|
|
|
∫∫∫ zγ dxdydz |
|
x = |
G |
, y = |
G |
, z |
c |
= |
G |
. |
|
|
|
||||||
c |
m |
c |
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Моменти інерції тіла відносно координатних осей обчислюють за формулами
Ix = ∫∫∫ ( y2 + z2 )γ(x, |
y, z) dxdydz , I y |
= ∫∫∫ (x2 + z2 )γ(x, y, z) dxdydz , |
G |
= ∫∫∫ (x2 + y2 )γ(x, |
G |
Iz |
y, z) dxdydz . |
G
Моменти інерції тіла відносно координатних площин визначають за формулами
Ixy = ∫∫∫ z2 γ(x, y, z) dxdydz , |
Ixz = ∫∫∫ y2 γ(x, y, z) dxdydz , |
G |
G |
I yz = ∫∫∫ x2 (x, y, z) dxdydz ,
G
а відносно початку координат ― за формулою
I0 = ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )γ(x, y, z) dxdydz .
G
Т.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
1.Обчисліть потрійний інтеграл
∫∫∫(x + y + 2z)dxdydz ,
G
якщообластьG обмеженаплощинами x = 1, x = 3, y = 0, y = 4, z = 0, z = 1.
Розв’язання. Область інтегрування G ― паралелепіпед (рис. 2.31), грані якого паралельні відповідним координатним площинам, тому обчислення потрійного інтеграла проводимо за формулою (2.19). Маємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫∫ (x + y + 2z)dxdydz = ∫ dx∫ dy∫ (x + y + 2z)dz = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
((x + y)z + z2 ) |
|
1 |
|
3 |
|
4 |
(x |
+ y + 1) dy = |
3 |
|
|
y2 |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
dx |
|
|
|
dy = |
|
dx |
|
|
(x |
+ 1) y + |
|
|
|
dx = |
||||
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
0 |
3 |
3 |
= ∫ (4x + 12)dx = (2x2 + 12x) |
= 18 + 36 − 2 −12 = 40. |
1 |
1 |
150
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/