Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta
.pdfПри парних п виконується рівність(−1)n − 1 = 0 , тому остаточно маємо
sin x |
|
sin 2x |
|
sin 3x |
|
|
8 sin x |
|
sin |
3x |
|
sin |
5x |
|
|||
f (x) = 2π |
|
− |
|
+ |
|
− ... |
− |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ ... . |
||
1 |
2 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
π |
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
Ця рівність справедлива в усіх точках |
x [0; |
π], крім точки x = π, в |
||
якій сума ряду дорівнює 0, а значення функції f (π) = π2 . |
||||
5. Розкладіть у ряд Фур’є функцію |
|
|
||
−1, якщо |
x (−1; 0], |
f (x + 2) |
= f (x) |
(рис. 1.10). |
f (x) = |
x (0; 1), |
|||
2x, якщо |
|
|
|
Розв’язання. Функція f (x) кусково-монотонна, періодична з періодом
2l = 2 , тому її можна розкласти в ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є визначаємо за формулами (1.37):
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
a0 = ∫ (−1)dx + ∫ 2xdx = − x |
+ x2 |
0 |
= −1+ 1 = 0; |
|||||||||||||||||
|
−1 |
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin nπx |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
an = ∫ (−1) cos nπxdx + ∫ 2x cos nπxdx = − |
|
|
+ |
|||||||||||||||||
nπ |
||||||||||||||||||||
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||
|
sin nπx |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+2x |
|
|
|
|
− |
|
|
∫ sin nπxdx = |
|
|
|
|
|
cos nπx |
= |
|||||
nπ |
|
0 |
|
nπ |
n |
2 |
π |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((−1) |
|
|
− 1) = |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
якщо n = 2k, |
||||||||
= |
2 |
(cos nπ − 1) = |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, якщо n = 2k − 1; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n2 π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 π2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k − 1) |
2 |
π |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nπx |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
bn = ∫ (−1) sin nπxdx + ∫ 2x sin nπxdx = |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
−1 |
||||||||
|
|
− cos nπx |
|
|
1 |
1 |
|
− cos nπx dx = |
1 |
|
(1− (−1)n )− |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
+2x |
|
|
− |
∫ 2 |
|
|
cos nπ + 0 + |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
nπ |
|
|
nπ |
nπ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
, |
|
|
якщо |
n = 2k, |
||||||||||
|
|
|
sin nπx |
|
|
1 |
1 |
|
(1− 3(−1) |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
π |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n2 π2 |
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k − 1)π , якщо n = 2k − 1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Отже, ряд Фур’є має вигляд
|
∞ |
|
−4 |
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
||
f (x) |
= ∑ |
|
|
cos (2k − 1) πx −∑ |
|
sin 2kπx + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k =1 |
(2k −1)2 π2 |
|
|
|
k =1 kπ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∞ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
sin(2k − 1) |
πx. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
k =1 (2k − 1)π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сума ряду Фур’є S(x) задовольняє рівності |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x), якщо x (−1+ 2k; 2k) (2k; 1+ 2k), |
|
|||||||||||||||
|
− 0, 5, |
якщо x |
= 2k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
k Z. |
|
|||
S(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0, 5, |
якщо x |
= −1+ 2k, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
–2π –π |
О |
π |
2π |
x |
|
|
–1 О |
|
1 2 3 |
х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
– π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
|
Рис. 1.10 |
|
6. На відрізку [1; 4] розкладіть у ряд Фур’є функцію, графік якої зображено на рис. 1.11, а.
Розв’язання. Запишемо задану функцію в аналітичній формі:
|
1, якщо x [1; 3), |
f (x) = |
4 − x, якщо x [3; 4]. |
|
Далі можна продовжити цю функцію періодично з періодом T = 2l = 3 на всю числову пряму і скористатися для знаходження коефіцієнтів Фур’є
формулами (3.15). Оскільки l = 32 , що є не досить зручно, виконаємо такі
дії. Введемо функцію |
f1 (x) , задану на відрізку [0; 4] |
формулою |
||
f1 (x) |
|
1, якщо x [0; 3), |
(рис.1.11, б). |
|
= |
4 − x, якщо x [3; 4] |
|||
|
|
|
|
|
Зрозуміло, що на відрізку [1; 4] функції f1 (x) та |
f (x) збігаються. |
|||
92 |
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
Продовжимо функцію |
f1 (x) на проміжок [−4; 0) |
непарним способом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 1.11, б). На відрізку [−4; 4] |
|
утворена функція непарна, і тому її ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фур’є не містить косинусів: a0 = an = 0, |
|
тобто |
f1 (x) |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
, l = 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= ∑ bn sin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Знайдемо коефіцієнт bn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
bn |
= |
|
|
|
∫ |
f1 (x) sin |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
∫ |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
∫ |
|
(4 − x) sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 cos |
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 cos |
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (4 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
πn |
∫3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
cos |
3πn |
− 1 + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
16 |
|
sin πnx |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
cos |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
πn |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3πn |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
3πn |
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
− |
|
cos |
|
|
|
|
−1 |
+ |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
sin |
|
. |
|||||||||||||||||||||
2 |
πn |
|
|
4 |
|
|
πn |
|
4 |
|
|
|
π |
2 |
n |
2 |
4 |
|
|
|
2 |
πn |
π |
2 |
n |
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Записуємо ряд Фур’є функції |
f1 (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3πn |
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 (x) = ∑ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
π |
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ця рівність справджується для всіх |
|
|
x [−4; 0) (0; 4] , |
|
отже, |
і на від- |
різку [1; 4] , на якому виконується рівність f1 (x) = f (x) . Отже, розвинення
(*) є рядом Фур’є функції f (x) на заданому проміжку.
y
y = f(x)
1
О 1 3 4 x
а
y |
|
y = f1(x) |
|
y |
|
y = f1(x) |
|
|||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
О |
1 |
3 4 x |
–4 |
О |
3 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
бв
Рис. 1.11
93
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Розкладіть у |
ряд Фур’є 2π -періодичні функції, задані на інтервалі |
|||||
(−π; π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3, |
якщо x (−π; 0), |
|
1. f (x) = x. 2. f (x) = 1+ |
|
. |
3. f (x) = |
якщо x [0; π). |
||
2 |
||||||
|
|
|
−1, |
|||
Розкладіть у ряд Фур’є 2π -періодичну функцію |
||||||
4. f (x) = x , |
x (0; 2 π], f (x + 2π) = f (x) . |
|
РозкладітьурядФур’єзакосинусамифункції, заданінаінтервалі (0; π) :
5. |
f (x) = x |
2 |
. 6. |
1, |
якщо x (0; π / 2), |
|
|
|
|
|
f (x) = |
якщо x [π / 2; π). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0, |
π |
|
x |
||
7. |
Розкладіть у ряд Фур’є за синусами функцію f (x) = |
− |
|||||||
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
жку (0; π) .
Розкладіть у ряд Фур’є функції.
8. |
1, |
якщо x [−1; 0), |
9. |
0, якщо x [−3;1), |
|
f (x) = |
якщо x [0; 1). |
f (x) = |
x [1;3]. |
||
|
−1, |
|
x, якщо |
||
10. Розкладіть у ряд Фур’є за косинусами функцію |
f (x) = 2x |
півперіоді (0; 2) .
Відповіді
на промі-
, задану на
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
sin kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
sin(2k − 1)x |
|
||||||||||||||||||||
|
1. |
|
2∑(−1)k +1 |
. |
2.1 + sin x − |
|
+ |
|
|
− |
|
+ …. 3. |
1 − |
|
∑ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
k =1 |
2k − 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
sin kx |
|
|
|
π2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
cos kx |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
cos(2k − 1)x |
|
|
∞ |
|
sin 2kx |
|
|
||||||||||||||||||
4. π − 2∑ |
|
|
. |
5. |
|
|
|
+ 4∑(−1)k |
|
|
|
|
|
. |
6. |
|
|
|
+ |
|
|
∑(−1)k +1 |
|
|
|
|
|
|
. 7. ∑ |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
k |
2 |
|
2 |
|
|
|
2k − 1 |
|
2k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 k |
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
∞ |
sin(2k − 1)πx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
n |
|
πn |
|
πnx |
|
|
1 ∞ |
|
|
|||||||||||||||
8. |
− |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
9. |
|
+ |
|
∑ |
|
|
|
|
|
sin |
|
+ |
|
|
|
|
|
(−1) |
|
− cos |
cos |
|
|
+ |
∑× |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2k |
− 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
πn |
3 |
π |
2 |
n |
2 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
9 |
|
|
πn |
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
∞ |
cos |
π(2k − 1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
× |
|
|
3(−1)n+1 + cos |
|
+ |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
. 10. |
4 − |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
π |
2 |
n |
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
π |
2 |
|
(2k − 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
3.1. Розкладіть у ряд Фур’є 2π -періодичну функцію f (x) , задану на інтервалі (−π; π) . Побудуйте графік суми ряду Фур’є.
3.1.1. |
f (x) = |
|
0, |
якщо x (−π; 0), |
||||
|
|
|
якщо x [0; π). |
|||||
|
|
x − 1, |
||||||
3.1.2. |
f (x) = |
2x, |
ÿêù î |
x (−π; 0), |
||||
|
1, |
ÿêù î |
x [0; π). |
|||||
|
|
|
||||||
3.1.3. |
f (x) = |
|
0, |
|
якщо x (−π; 0), |
|||
|
|
|
|
якщо x [0; π). |
||||
|
|
x + 2, |
||||||
3.1.4. |
f (x) = |
1− x, |
якщо x (−π; 0), |
|||||
|
− 1, |
якщо x [0; π). |
||||||
|
|
|
||||||
3.1.5. |
f (x) = |
|
|
0, |
|
якщо x (−π; 0), |
||
|
|
|
|
якщо x [0; π). |
||||
|
|
x / 2, |
||||||
|
|
|
0, |
|
якщо x (−π; 0), |
|||
.1.6. f (x) = |
|
|
|
|
якщо x [0; π). |
|||
|
2x + 3, |
|||||||
3.1.7. |
f (x) = |
3 − x, |
|
якщо x (−π; 0), |
||||
|
|
1, |
|
|
якщо x [0; π). |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
3.1.8. |
f (x) = |
|
|
0, |
|
|
якщо x (−π; 0), |
|
|
|
|
|
|
якщо x [0; π). |
|||
|
|
x − 2, |
|
|||||
3.1.9. |
f (x) = |
|
|
0, |
|
|
якщо x (−π; 0), |
|
|
|
|
|
|
якщо x [0; π). |
|||
|
|
4x − 3, |
||||||
|
|
4 − x, |
якщо x (−π; 0), |
|||||
3.1.10. f (x) = |
−1, |
|
якщо x [0; π). |
|||||
|
|
|
|
|||||
3.1.11. f (x) = |
|
1, |
|
якщо x (−π; 0), |
||||
|
|
− 5, якщо x [0; π). |
||||||
|
|
|
2x |
|||||
3.1.12. f (x) = |
3 − |
2x, якщо x (−π; 0), |
||||||
|
0, |
|
якщо x [0; π). |
|||||
|
|
|
|
|
||||
3.1.13. f (x) = |
|
1, |
|
якщо x (−π; 0), |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π − 2x, якщо x [0; π). |
95
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.1.14. |
5x + 1, |
якщо x (−π; 0), |
|
f (x) = |
0, |
якщо x [0; π). |
|
|
|
||
3.1.15. |
|
0, |
якщо x (−π; 0), |
f (x) = |
|
якщо x [0; π). |
|
|
1− 2x, |
||
3.1.16. |
3x + 2, |
якщо x (−π; 0), |
|
f (x) = |
0, |
якщо x [0; π). |
|
|
|
||
3.1.17. |
|
0, |
якщо x (−π; 0), |
f (x) = |
− 2x, якщо x [0; π). |
||
|
4 |
||
3.1.18. |
x + π, |
якщо x (−π; 0), |
|
f (x) = |
0, |
якщо x [0; π). |
|
|
|
0, якщо x (−π; 0),
3.1.19.f (x) = 6x − 5, якщо x [0; π).
3.1.20. |
π − 2x, якщо x (−π; 0), |
|||||||
f (x) = |
|
0, |
|
якщо x [0; π). |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0, |
|
якщо x (−π; 0), |
||
3.1.21. |
|
π |
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
− x, |
якщо x [0; π). |
||||||
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3.1.22. |
π + x, |
якщо x (−π; 0), |
||||||
f (x) = |
|
0, |
|
якщо x [0; π). |
||||
|
|
|
|
|||||
3.1.23. |
|
|
|
0, |
|
якщо x (−π; 0), |
||
f (x) = |
|
|
|
|
|
якщо x [0; π). |
||
|
2x − 3, |
|||||||
|
|
π |
− 2x, якщо x (−π; 0), |
|||||
3.1.24. |
|
2 |
||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, |
|
якщо x [0; π). |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0, |
|
якщо x (−π; 0), |
||
3.1.25. |
|
π |
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
+ 2x, якщо x [0; π). |
|||||||
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
якщо x (−π; 0), |
|
3.1.26. |
1− |
|
|
, |
||||
2 |
||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
0, |
|
якщо x [0; π). |
|||
|
|
|
|
96
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
0, |
якщо x (−π; 0), |
3.1.27. |
|
|
|
|
f (x) = x |
− 1, |
якщо x [0; π). |
||
|
|
|
||
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
3.1.28. |
1+ 2x, якщо x (−π; 0), |
|||
f (x) = |
|
0, |
якщо x [0; π). |
|
|
|
|
||
3.1.29. |
|
|
0, |
якщо x (−π; 0), |
f (x) = |
|
|
|
|
|
3x − 5, якщо x [0; π). |
|||
3.1.30. |
1− 3x, якщо x (−π; 0), |
|||
f (x) = |
|
0, |
якщо x [0; π). |
|
|
|
|
||
3.2. Функцію f (x) , |
задану на відрізку [0; l], розкладіть у ряд Фур’є: |
а) за синусами; б) за косинусами.
x для x [0;1),
3.2.1. f (x) =
2 для x [1; 2].
x −1 для x [0; 2),
3.2.3. f (x) =
1 для x [2; 4].
3.2.5. |
1− x для x [0;1), |
||
f (x) = |
− 1 для x [1; 2]. |
||
|
x |
||
3.2.7. |
2 − x |
для x [0; 2), |
|
f (x) = |
0 |
для x [2;3]. |
|
|
|
||
3.2.9. |
x − 1 для x [0;1), |
||
f (x) = |
0 |
для x [1; 4]. |
|
|
|
x для x [0;1), 3.2.11. f (x) = 1 для x [1; 2],2 для x (2;3].
3.2.13. f (x) = 2 − x для x [0; 4].
|
|
x |
для x [0;1), |
3.2.15. |
|
1 |
для x [1; 2], |
f (x) = |
|||
|
3 − x для x (2; 3]. |
||
|
|
|
|
3.2.17. |
2 − x |
для x [0;1), |
|
f (x) = |
1 |
для x [1; 4]. |
|
|
|
|
|
|
1 |
для x [0; 2), |
|
3.2.2. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
3 − x для x [2;3]. |
||||
3.2.4. |
−1 |
|
для x [0;1), |
||
f (x) = |
− x для x [1;3]. |
||||
|
2 |
||||
3.2.6. |
2 для x [0; 2), |
||||
f (x) = |
|
для x [2;5]. |
|||
|
− 1 |
||||
3.2.8. |
|
x |
|
для x [0;1), |
|
f (x) = |
− x для x [1; 2]. |
||||
|
2 |
||||
3.2.10. |
f (x) = |
|
0 |
|
для x [0; 2), |
|
|
|
|
||
|
|
2 − x для x [2; 4]. |
|||
|
|
− x для x [0;1), |
|||
3.2.12. |
f (x) = |
|
1 |
для x [1; 2], |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 для x (2;3]. |
|||
3.2.14. |
f (x) = x для x [0; 6]. |
||||
|
|
1− x |
для x [0;1), |
||
3.2.16. |
f (x) = |
|
0 |
|
для x [1; 2], |
|
|
||||
|
|
|
|
|
для x (2; 3]. |
|
|
x − 2 |
− x для x [0;1),
3.2.18.f (x) = x − 2 для x [1; 2].
97
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
0 |
для x [0;1), |
3.2.19. |
|
|
для x [1; 2], |
f (x) = x − 2 |
|||
|
3 − x для x (2; 3]. |
||
|
|
|
для x [0;1), |
3.2.21. |
− 1 |
||
f (x) = |
|
|
|
|
x − 2 для x [1; 2]. |
||
|
2 для x [0;1), |
||
3.2.23. |
|
1 для x [1; 2], |
|
f (x) = |
|||
|
|
0 для x (2; 3]. |
|
|
|
||
|
− 1 для x [0;1), |
||
3.2.25. |
|
x для x [1; 2], |
|
f (x) = |
|||
|
|
2 для x (2; 3]. |
|
|
|
||
3.2.27. |
f (x) = x − 3 для x [0; 6]. |
||
3.2.29. |
− 2 для x [0; 2), |
||
f (x) = |
3 для x [2; 3]. |
||
|
|
|
|
1 |
для x [0;1), |
3.2.20. |
|
|
|
f (x) = 2 − x для x [1; 2], |
|||
|
|
0 |
для x (2; 3]. |
|
|
||
3.2.22. |
− 2 |
для x [0; 2), |
|
f (x) = |
1 |
для x [2; 4]. |
|
|
|
||
|
−1 для x [0;1), |
||
3.2.24. |
|
0 для x [1; 3], |
|
f (x) = |
|||
|
|
2 для x (3; 4]. |
|
|
|
||
|
− x |
для x [0;1), |
|
3.2.26. |
|
0 |
для x [1; 3], |
f (x) = |
|||
|
|
x для x (3; 4]. |
|
|
|
||
3.2.28. |
f (x) = − x для x [0; 4]. |
||
3.2.30. |
− 3 для x [0; 3), |
||
f (x) = |
1 для x [3; 5]. |
||
|
|
Тема 4. ІНТЕГРАЛ ФУР’Є
Інтеграл Фур’є. Перетворення Фур’є. Інтеграл Фур’є для парних і непарних функцій. Інтеграл Фур’є в комплексній формі. Косинуста синус-перетворення Фур’є. Спектральна щільність, амплітудний та фазовий спектри.
Література: [9, розділ 9, §4], [14, розділ 3, §5], [15, розділ 13, п. 13.5], [16, розділ 17, §12—14], [17, розділ 6, §22].
Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
4.1. Інтеграл Фур’є. Перетворення Фур’є
Як відомо (див. тему 3), будь-яку кусково-монотонну функцію, визначену на скінченному проміжку, можна розкласти в ряд Фур’є, тобто зобразити нескінченною сумою простих гармонік. Для функцій, заданих на не-
скінченному проміжку (−∞; ∞) , аналогом ряду Фур’є є інтеграл Фур’є. Нехай неперіодична функція f (x) визначена на нескінченному проміжку
(−∞; ∞) , на будь-якому скінченному проміжку [−l; l] задовольняє умови Діріхле ієабсолютноінтегровною, тобтозбігається невласний інтеграл
98
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
f (x) |
|
dx < ∞ . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тоді на проміжку |
[−l; l] цю функцію можна розкласти в ряд Фур’є |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.35). Підставивши в цей ряд значення коефіцієнтів |
a0 , |
an , bn із формул |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.36), дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) = |
∫ f (t)dt + |
∑ |
∫ f (t)(cos ωn t cos ωn x + sin ωn t sin ωn x)dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2l |
l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.41) |
|||||
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
∫ f (t)dt + |
∑ |
∫ f (t) cos ωn (t − x)dt. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2l |
l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
n=1 −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тут ω = πn ( n = 1, |
|
2,... ) ― хвильові числа функції f (x) . Позначимо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
− ω |
= Δω |
n |
( n = 1, 2,... ). |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
n |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тоді формула (1.41) набере вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f (x) = |
|
∫ f (t)dt + |
∑ |
∫ f (t) cos ωn (t − x)dt πl , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2l |
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 −l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f (x) = |
|
∫ |
f (t)dt + |
∑ |
|
∫ |
f |
(t) cos ω (t − x)dt |
Δω . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
π n=1 |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Перейдемо до границі при |
|
l → ∞ . |
Перший доданок у правій частині |
||||||||||||||||||||||||||||||||
останньої формули прямує до нуля. Справді, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
M |
|
|
||||||
|
|
lim |
|
∫ |
|
f (t)dt ≤ lim |
|
|
∫ |
|
f (t) |
|
dt < lim |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
l→∞ |
|
2l |
|
−l |
|
|
|
|
|
|
l→∞ |
2l |
−l |
|
|
|
l→∞ |
2l |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введемо позначення
ϕ(ωn )
Тоді
f (x)
l
=∫ f (t) cos ωn (t − x)dt.
−l
|
1 |
|
∞ |
|
|
= |
lim |
∑ ϕ(ωn )Δωn . |
(1.42) |
||
|
|||||
|
π l→∞ n=1 |
|
Права частина формули (1.42) нагадує інтегральну суму (можна довести, що так і є насправді) для функції
99
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
l
ϕ(ω) = ∫ f (t) cos ω(t − x)dt, ω (0; ∞).
−l
При l → ∞ Δωn → 0 , тобто хвильові числа ωn набувають усіх можли-
вих значень від 0 до +∞ ; дискретний спектр хвильових чисел стає неперервним. Остаточно формула (1.42) набирає вигляду
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
f (x) = |
∫ ϕ(ω)dω |
|
|||
|
|
π |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
або |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
f (t) cos ω(t − x)dt dω. |
(1.43) |
|
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
Формула (1.43) називається формулою Фур’є, а інтеграл у правій частині ― інтегралом Фур’є для функції f (x) . Ця формула справджується для
всіхточок x, вяких функція |
f (x) неперервна. Якщо x0 ―точкарозриву, то |
|||||||
1 |
∞ |
∞ |
|
|
f (x + 0) + f (x − 0) |
|
||
|
|
∫ |
∫ |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
f (t) cos ω(t − x)dt dω = |
|
|
. |
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
2 |
|
Запишемо інтеграл Фур’є в іншому вигляді:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
|
|
|
f (t) cos(ωt − ωx)dt dω = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
f (t)(cos ωt cos ωx |
+ sin ωt sin ωx)dt dω = |
|
|
|||||||||||
|
|
∞ |
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|||||
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
f |
(t) cos ωtdt cos ωxdω + |
|
|
|
f (t) sin ωtdt sin |
ωxdω. |
|||||||||||
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 −∞ |
|
|
|
|
|
|||||
Введемо позначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(ω) = |
∫ f (t) cos ωtdt, |
b(ω) = |
∫ f (t) sin |
ωtdt, |
|
(1.44) |
||||||||||||
|
|
|
|
π |
π |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ∫ (a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx)dω. |
|
|
(1.45) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/