Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

212

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Тема 5. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ

Скалярні та векторні поля. Градієнт скалярного поля. Похідна за напрямом. Потік, циркуляція, дивергенція, ротор векторного поля. Формула Остроградського—Гаусса. Формула Стокса. Оператор Гамільтона. Безвихрове, потенціальне, соленоїдальне поля. Диференціальні операції першого та другого порядків.

Література: [2], [15, розділ 12, п. 12.5], [16, розділ 15, §9], [17, розділ 7, §23–27].

Т.5 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

5.1. Основні поняття теорії поля

Полем називають область G простору, в кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці М цієї області поставлено у

відповідність скалярну величину u = f (M ) , то кажуть, що в області G задано скалярне поле. Іншими словами, скалярне поле — це скалярна функція u = f (M ) разом з її областю визначення. Якщо кожній точці М

області простору відповідає деякий вектор F (M ) , то кажуть, що в області

G задано векторне поле.

Задання скалярного поля в декартовій системі координат рівносильне заданню функції трьох змінних f (M) = f (х, у, z), a векторного поля — трьох функцій трьох змінних:

F(M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ,

де Р, Q і R — проекції вектора F на координатні осі Ох, Оу і Оz відповідно.

Приклади скалярних полів: температури тіла, атмосферного тиску, електричного потенціала тощо.

Приклади векторних полів: сили тяжіння, швидкостей часток рухомої рідини, щільності електричного струму тощо.

Якщо скалярна функція u(M ) залежить лише від двох змінних, наприклад х та у, то відповідне скалярне поле u(x, y) називають плоским.

Якщо в обраній системі координат одна з проекцій вектора F дорівнює нулю, а дві інші — функції двох змінних, то векторне поле називають

плоским.

Векторне поле називають однорідним, якщо F (M ) — сталий вектор. Наприклад, поле тяжіння є однорідним : P = 0 , Q = 0, R = −mg — сталі ( g — прискорення сили тяжіння, m — маса точки).

213

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни скалярного поля

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

5.2.2. Градієнт скалярного поля та його властивості

Градієнтом функції u = f (x, y, z) у точці M (x, y, z) називають вектор, координатами якого є частинні похідні функції u(x, y, z) , обчислені в точці М, тобто

породжує векторне поле його градієнта.

Між градієнтом і похідною за напрямом існує зв’язок у вигляді формули

М∂u l Іншими словами, градієнт указує напрям най- ∂l швидшого зростання функції, найбільша швид-

лою (2.47).

У цьому полягає фізичний зміст градієнта.

Сформулюємо основні властивості градієнта функції.

1. Градієнт скалярного поля перпендикулярний до поверхні рівня (чи лінії рівня, якщо поле плоске), яка проходить через дану точку.

216

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Справді, по довільному напрямку вздовж поверхні рівня u(x, y, z) = C

виконується рівність ∂∂ul = 0 (у цьому разі приріст функції дорівнює нулю).

5.3. Векторне поле

Нехай векторне поле утворене вектором

F(M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k .

Основними характеристиками векторного поля слугують такі поняття: векторні лінії, потік вектора, дивергенція поля, циркуляція поля, ротор поля тощо.

5.3.1. Векторні лінії

Для геометричної характеристики векторного поля використовують векторні лінії.

Векторною лінією поля F(M ) називають лінію, дотична до якої в

кожній точці М має той самий напрям, що й вектор поля F у цій точці

(рис. 2.78).

Для конкретних полів це поняття має певний зміст. Так, у полі швидкостей рухомої рідини векторні лінії — це лінії, вздовж яких рухаються частинки рідини (лінії течії).

Сукупність усіх векторних ліній поля, які проходять через деяку замкнену криву, називають векторною трубкою.

Векторні лінії поля

F(M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

визначають із системи диференціальних рівнянь вигляду

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Розіб’ємо поверхню σ на елементарні частини σ1 , σ2 , ..., σn з площами Δσ1 , Δσ2 , ..., Δσn відповідно. Візьмемо на кожній поверхні σk точку Mk

швидкості сталим і рівним v(Mk ) (рис. 2.81). При таких припущеннях потік рідини через поверхню σk виражається наближеною формулою

Пk ≈ (v(Mk ) n(Mk ))Δσk .

Тоді

k =1

загальна кількість рідини, яка протікає через всю поверхню σ за одиницю часу.

Точне значення шуканої кількості рідини дістанемо, взявши границю суми (2.49) за умови стягування кожної елементарної поверхні у точку,

тобто при λ → 0 , де λ = max dk ― найбільший з діаметрів dk елементар-

них областей σk поверхні σ :

поверхні від скалярного добутку вектора поля на одиничний вектор нормалі до поверхні, тобто

П = ∫∫ (F n)dσ .

σ

219

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Інші форми запису потоку векторного поля.

1. Враховуючи форми запису скалярного добутку:

F n = n прn F = прn F = Fn ,

формулу (2.50) ще записують у вигляді

Ï = ∫∫ Fndσ.

σ

2. Оскільки n = {cos α, cos β, cos γ} , F = Pi + Qj + Rk , де P(x, y, z) ,

Q(x, y, z) і R(x, y, z) — проекції вектора F на координатні осі Ох, Оу і Оz відповідно, то потік вектора F можна подати у вигляді

Найбільш цікавим є випадок, коли поверхня σ замкнена і обмежує деякий об’єм V. Тоді потік записують у вигляді

При цьому за напрям вектора n беруть напрям зовнішньої нормалі.

Якщо векторне поле F є поле швидкостей рухомої рідини, то величина потоку через замкнену поверхню дорівнює різниці між кількістю рідини, яка витікає з області V, та кількістю рідини, яка втікає в цю область за одиницю часу (в точках поверхні σ, де векторні лінії виходять з об’єму V,

зовнішня нормаль утворює з вектором F гострий кут, отже, F n > 0 ; в точках поверхні σ, де векторні лінії входять в об’єм V, зовнішня нормаль

утворює з вектором F тупий кут і F n > 0) .

Якщо П > 0 , то з області V витікає більше рідини, ніж в неї втікає. У цьому разі всередині області є додаткові джерела.

Якщо П < 0 , то в область V втікає більше рідини, ніж з неї витікає. У цьому разі всередині області є стоки, які поглинають надлишки рідини.

Якщо П = 0 , то з області V витікає стільки ж рідини, скільки в неї втікає. У цьому разі або всередині області немає ні джерел, ні стоків, або вони компенсують одне одного.

220

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/