Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

5.3.3. Дивергенція поля.

Формула Остроградського—Гаусса у векторній формі

Дивергенція векторного поля характеризує розподіл і інтенсивність джерел і стоків поля.

Нехай задано векторне поле

F (M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ,

де Р, Q і R — неперервно диференційовні функції у відповідних областях. Дивергенцією (або розходженням) векторного поля F(M ) називають

число

де частинні похідні обчислені в точці М. Властивості дивергенції.

1.Якщо F сталий вектор, то div F = 0 .

2.div(C F ) = C div F .

3.div(F1 + F 2 ) = div F1 + div F 2 .

4.Якщо u — скалярна функція, то div(uF) = u div F + F grad u.

Використовуючи поняття потоку і дивергенції векторного поля, формулу Остроградського—Гаусса у векторній формі записують так:

σV

Формула Остроградського—Гаусса означає, що потік вектора F через замкнену поверхню σ (в напрямку зовнішньої нормалі) дорівнює потрій-

ному інтегралу від дивергенції вектора F по об’єму V , обмеженому цією поверхнею.

Дамо інше означення дивергенції, яке рівносильне означенню (2.53). За теоремою про середнє значення для потрійного інтеграла в області V існує

точка M0 така, що виконується рівність

∫∫ (F n)dσ = ∫∫∫ div F dv = V div F(M0 ) .

σV

Тоді рівність (2.54) можна записати у вигляді

∫∫ (F n)dσ = V div F(M0 ) ,

σ

221

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

звідки

div F(M0 ) = V1 ∫∫σ (F n)dσ .

Нехай поверхня σ стягується у точку, тоді M0 → M , V → 0 і

Дивергенцією (або розходженням) векторного поля F у точці М називають границю відношення потоку поля через замкнену поверхню σ, яка охоплює точку М , за умови, що вся поверхня стягується у точку.

Якщо div F(M ) > 0 , то точка М є джерелом, звідки рідина витікає; якщо div F (M ) < 0 , то точка М поглинає рідину; якщо всередині об’єму V немає ні джерел, ні стоків, то div F = 0 .

Якщо div F = 0 , то векторне поле називають соленоїдальним, або

трубчастим.

5.3.4. Циркуляція векторного поля. Ротор вектора. Формула Стокса у векторній формі

Нехай у деякій області G задано неперервне векторне поле

F (M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

і замкнений орієнтовний контур L.

Нехай r = xi + yj + zk — радіус-вектор точки М, яка належить контуру L.

Відомо, що напрям вектора dr = dxi + dyj + dzk збігається з напрямом дотичної τ в додатному напрямку обходу контура L (рис. 2.82), причому

| dr |= (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .

Циркуляцією векторного поля F(M ) вздовж замкненої орієнтовної кривої L називають криволінійний інтеграл другого роду

222

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Фізичний зміст циркуляції. Якщо замкнений контур L розміщений у силовому полі F , то циркуляція ― це робота сили F (M ) при переміщенні матеріальної точки вздовж контура L.

Ротором (або вихором) векторного поля

F(M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

називають вектор

тобто циркуляція вектора вздовж замкненої орієнтовної кривої L, який обмежує деяку поверхню σ, дорівнює потоку вихора через цю поверхню (рис. 2.83) (інтегрування вздовж кривої L проводиться у додатному напрямку стосовно обраної сторони поверхні σ , тобто зі сторони нормалі, що відповідає обраній стороні, обхід контуру L відбувається проти годинникової стрілки).

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

З’ясуємо фізичний зміст ротора.

Нехай тверде тіло обертається навколо нерухомої осі l, яка збігається з віссю Oz, з кутовою швидкістю ω і M (r) — точка тіла, де

r = xi + yj + zk .

Вектор кутової швидкості дорівнює ω = ωk , обчислимо вектор v лінійної швидкості точки М:

Отже, ротор поля швидкостей твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, однаковий у всіх точках поля, паралельний осі обертання і дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання.

5.3.5. Оператор Гамільтона. Диференціальні операції першого та другого порядків

Усі операції векторного аналізу можна виразити за допомогою оператора Гамільтона — символічного вектора (читається — набла), який визначається формулою

= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k.

Застосовуючи відомі операції множення вектора на скаляр, скалярного та векторного добутків двох векторів, дістанемо диференціальні операції

першого порядку:

224

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Розглянемо ці операції.

однакових (чи колінеарних) векторів дорівнює нулю (нуль-вектор). Отже, поле градієнта є безвихровим.

3. div rot F = ( × F) = 0 , оскільки мішаний добуток трьох векторів,

серед яких є два однакові, дорівнює нулю. Отже, поле вихора — солено-

їдальне.

Операції grad div F та rot rot F застосовують рідко, тому їх не розглядаємо.

5.3.6. Деякі властивості векторних полів

Соленоїдальне поле

Векторне поле F називають соленоїдальним, якщо в усіх його точках дивергенція дорівнює нулю, тобто div F = 0.

Властивості соленоїдального поля.

1.У соленоїдальному полі F потік вектора через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю. Отже, соленоїдальне поле не має ні джерел, ні стоків.

2.Соленоїдальне поле є полем ротора деякого векторного поля, тобто

якщо div F = 0, то існує таке поле B , що B = div F = 0. Вектор B називають векторним потенціалом поля F .

3. У соленоїдальному поліF потік вектора через поперечний переріз векторної трубки (сукупність векторних ліній, які проходять через межу L) зберігає стале значення.

226

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Потенціальне поле

тобто векторне поле є градієнтом деякого скалярного поля.

Векторна рівність (2.58) рівносильна трьом скалярним рівностям:

Існує інше рівносильне означення потенціального поля.

Векторне поле F називають потенціальним, якщо для всіх точок поля

+ Rdz вздовж довільної кривої L не залежить від форми кривої, а тільки від початкової та кінцевої точок кривої L.

227

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Потенціал векторного поля можна визначити за формулою

де (x0 , y0 , z0 ) — координати фіксованої точки, (x, y, z) — координати до-

вільної точки. При цьому зазначимо, що потенціал визначається з точністю до сталої, бо grad(u + C) = grad u.

Гармонічне поле

Векторне поле F називають гармонічним, або лапласовим, якщо воно одночасно є потенціальним і соленоїдальним, тобто якщо

rot F = 0 і div F = 0.

Прикладом гармонічного поля є поле лінійних швидкостей стаціонарного безвихрового потоку рідини за відсутності у ньому джерел і стоків.

З умови потенціальності поля випливає, що його можна подати у вигляді F = grad u , де u(x, y, z) — потенціал поля. Водночас поле є соле-

ноїдальним, тому div F = div grad u = u = 0 , іншими словами, потенціал

лапласового поля є гармонічною функцією, тобто є розв’язком рівняння Лапласа

∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 . ∂x2 ∂y2 ∂z2

Т.5 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Визначте найбільшу швидкість зростання скалярного поля u = x2 + 2y2 + 4z2 у точці M (−1; 2; 2) .

Розв’язання. Величина найшвидшого зростання скалярного поля u у заданій точці дорівнює модулю градієнта поля, обчисленого в цій точці

(див. (2.47)). Маємо

228

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

ньої нормалі (рис. 2.84).

Розв’язання. Перший спосіб. Оскільки потік векторного поля через задану поверхню виражається поверхневим інтегралом (2.51), де Р = х,

Q = у і R = z, то потрібно обчислити інтеграл ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy .

σ

Розглянемо його як суму трьох інтегралів I = I1 + I2 + I3 . Для обчислення I1 спроектуємо задану поверхню на площину Оху. Дістанемо чверть круга

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

З огляду на симетрію векторного поля і поверхні σ доходимо ви-

сновку, що I2 = I3 = I1 = π6 , тому Π = I1 + I2 + I3 = 3 π6 = π2 .

Другий спосіб. Оскільки n = xi + yj + zk — одиничний вектор нормалі до сфери x2 + y2 + z2 = 1 (покажіть це самостійно), то

F n = (xi + yj + zk ) (xi + yj + zk ) = x2 + y2 + z2 ,

і тому

П = ∫∫ (F n)dσ = ∫∫ (x2 + y2 + z2 )dσ = ∫∫ dσ.

користуючись формулою Остроградського—Гаусса. Розв’язання. Знайдемо дивергенцію векторного поля:

div F = ∂∂x (x2 ) + ∂∂y ( y2 ) + ∂∂z (1) = 2(x + y).

Використовуючи формули (2.52) — (2.54), обчислюємо потік заданого поля:

=1 2∫π (cos ϕ + sin ϕ)dϕ = 0. 6 0

230

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/