Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta
.pdf
|
|
β |
ρ(ϕ) |
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρdρ. |
|
|
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dϕ ∫ |
(2.8) |
|||
|
D |
α |
0 |
|
|
2. Нехай область D обмежена променями, які утворюють з полярною |
|||||
віссю кути |
α та |
β (α < β), і кривими |
ρ = ρ1 (ϕ) та ρ = ρ2 (ϕ) |
(ρ1 ≤ ρ2 ) |
|
(рис. 2.11, |
б). Тоді полярні координати області D1 змінюються в межах |
||||
ρ1 (ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ), |
α ≤ ϕ ≤ β і формулу (2.7) можна записати у вигляді |
||||
|
|
β |
ρ 2 (ϕ) |
|
|
|
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dϕ |
∫ |
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρdρ. |
(2.9) |
|
|
D |
α |
ρ1 (ϕ) |
|
3. Нехай область D, межа якої задана полярним рівнянням ρ = ρ(ϕ) , охоплює початок координат, тобто точка O(0; 0) є внутрішньою точкою області D (рис. 2.11, в), тоді виконується формула
|
|
|
|
2π |
ρ(ϕ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dϕ ∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρdρ . |
(2.10) |
|||||||
|
|
|
D |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Зокрема, якщо межа області D — коло x2 + y2 = R2 , або |
ρ = R , тоді |
||||||||||
формула (2.10) набуває найпростішого вигляду |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2π |
R |
|
|
|
|
||
|
|
|
∫∫ f (x, y) dxdy = ∫ dϕ∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρdρ . |
|
|||||||
|
|
|
D |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
ρ = ρ(φ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ρ = ρ2(φ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
ρ = ρ(φ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α β |
|
α β ρ = ρ1(φ) |
|
D |
|
x |
||||
|
|
|
|
О |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
О |
|
|
x |
О |
|
|
x |
|
|
|
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
в |
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 2.11 |
|
|
|
|
||
Зауваження. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Оскільки в полярних координатах вираз x2 + y2 |
має досить простий |
||||||||||
вигляд |
x2 + y2 = ρ2 , а рівняння кола x2 + y2 = R2 –– |
ρ = R , то до поляр- |
них координат найчастіше переходять тоді, коли область D ― круг, кільце,
121
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
сектор тощо, при цьому підінтегральна функція часто має вигляд f (x, y) = g(x2 + y2 ) .
Y |
|
|
2. У деяких випадках, наприклад, коли область |
|||||||
|
M |
D обмежена колом (x − x0 ) |
2 |
+ ( y − y0 ) |
2 |
= R |
2 |
, до- |
||
у |
ρ |
|||||||||
p |
|
|
|
|||||||
M0 |
φ |
цільно перейти до полярних координат із полюсом |
||||||||
y0 |
|
|
у точці M0 (x0 , y0 ) і полярною віссю, напрям якої |
|||||||
О x0 |
х |
Х |
збігається з додатним напрямом осі абсцис. У цьому |
|||||||
разі перехід від прямокутних декартових координат |
||||||||||
Рис. 2.12 |
|
(x, y) до полярних координат |
|
(ρ, ϕ) (рис. 2.12) здій- |
||||||
|
|
|
снюєтьсязаформулами x − x0 = ρcos ϕ , y − y0 = ρsin ϕ , |
прицьомуякобіанзалишаєтьсянезмінним: J = ρ.
1.6.Деякі застосування подвійного інтеграла
1.Площу S плоскої області D обчислюють за формулою
|
S = ∫∫ dxdy. |
|
(2.11) |
|
D |
|
|
|
|
|
|
У полярних координатах ця формула має вигляд |
|
||
|
S = ∫∫ ρdρdϕ . |
|
|
|
D1 |
|
2. Об’єм циліндричного тіла, обмеженого зверху неперервною поверхнею z = f (x, y) , де f (x, y) ≥ 0 , знизу — замкненою обмеженою областю
D, з боків — циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області D, а твірні паралельні осі Oz, визначають за формулою
V = ∫∫ f (x, y)dxdy. |
(2.12) |
D |
|
|
|
3. Площу Sσ гладкої поверхні σ , заданої рівнянням z = f (x, y) , обчислюють за формулою
Sσ = ∫∫ 1+ ( fx′(x, y))2 + ( fy′ (x, y))2 dxdy, |
(2.13) |
Dxy
де Dxy ― проекція поверхні на площину Оху.
122
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
4. Масу m плоскої пластини, яка має форму обмеженої замкненої області
D, в кожній точці якої задано густину γ(x, |
y) , обчислюють за формулою |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = ∫∫ γ(x, y)dxdy. |
|
(2.14) |
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
5. Координати xc , |
yc центра маси пластини визначають за формулами |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xc = |
1 |
∫∫ xγ(x, |
y)dxdy, yc |
= |
1 |
∫∫ yγ(x, y)dxdy. |
(2.15) |
||
m |
m |
|||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
||
Зауваження. Величини |
|
|
|
|
|
|
||||
|
M y = ∫∫ xγ(x, |
y)dxdy, M x |
= ∫∫ yγ(x, y)dxdy |
|
||||||
|
|
|
D |
|
|
D |
|
називаються статичними моментами пластини відносно осей Оу та Ох
відповідно. Тоді координати центра маси пластини можна записати у ви- г-ляді
x |
= |
M y |
, |
y |
= |
M |
x |
. |
|
|
|
||||||
c |
|
m |
|
c |
|
m |
||
|
|
|
|
|
6. Моменти інерції пластини відносно координатних осей обчислюють за формулами
|
|
|
Ix = ∫∫ y2 γ(x, |
y)dxdy, |
I y = ∫∫ x2 γ(x, y)dxdy, |
|
||
|
|
|
D |
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
а відносно початку координат ― за формулою |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I0 = ∫∫ (x2 + y2 )γ(x, y)dxdy. |
|
|
||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Т.1 |
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ |
||||||
1. У подвійному інтегралі |
∫∫ f (x, |
y)dxdy розставте межі інтегрування |
||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
(двома способами) по області D, межа якої задана такими рівняннями:
а) x = 1 , x = 4, y = 1, y = 3 ;
б) y = x − 1, x = 3 , y = −1 ;
в) y = 2x, x + y = 3, y = 0 ;
123
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
С |
|
|
|
y = x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = 4cosφ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
y = 2 – x |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
O |
|
|
|
A(2; 0) |
|
|
|
B |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
–2 |
О |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рис. 2.20 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.22 |
|
||||||||||||||||||
У полярних координатах рівняння кола має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = 4ρ cos ρ, |
ρ2 = 4ρ cos ρ, |
ρ = 4 cos ϕ , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямі |
y = 0 та |
y = x |
у полярних координатах набирають вигляду ϕ = 0 та |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ = π |
відповідно. Отже, |
полярні координати |
ϕ і |
|
ρ точок, які належать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
області інтегрування, змінюються у межах: 0 ≤ ϕ ≤ |
|
, 0 ≤ ρ ≤ 4ρ cos ϕ . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
За формулою (2.11) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
4cosϕ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
S = ∫∫ dxdy = ∫∫ |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
ρ |
2 |
4cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ρdρdϕ = ∫ dϕ |
∫ |
|
ρ dρ = ∫ |
|
|
|
dϕ = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
4 |
1+ cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2ϕ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
= 8∫ cos |
|
|
ϕd |
ϕ = 8∫ |
|
|
|
|
|
|
dϕ = 4 |
|
ϕ + |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
|
+ |
|
|
= π + 2. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6. Використовуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, обчисліть
об’ємтіла, обмеженогоповерхнями z = 4− 2y2 , z = 0, |
x = 0, y = 0 та x+ 2y = 2. |
Розв’язання. Задане тіло обмежене зверху |
параболічним циліндром |
z = 4 − 2 y2 , знизу ― координатною площиною Оху, з боків ― паралельними осі Оz площинами Охz, Оyz та x + 2 y = 2 . Отже, задано циліндричне тіло (рис. 2.23), об’єм якого обчислимо за формулою (2.12). Область
інтегрування D ― трикутник ОАВ: 0 ≤ y ≤ 1, |
0 ≤ x ≤ 2 − 2 y . Використо- |
||||
вуючи формулу (2.5), дістанемо |
|
|
|
||
|
1 |
2−2 y |
1 |
|
2−2 y |
|
|
||||
V = ∫∫ (4 − 2 y2 )dxdy = ∫ dy |
∫ (4 − 2 y2 )dx =∫ (4 − 2 y2 )x |
|
dy = |
||
D |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
130 |
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/