|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x 1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Рис. 2.84 |
|
|
|
Рис. 2.85 |
|
|
|
|
Рис. 2.86 |
|
5. Обчисліть циркуляцію векторного поля |
F = xzi + yx j + zyk |
вздовж |
лінії перетину площини |
x + y + z = 3 |
з координатними площинами, вико- |
ристовуючи безпосереднє обчислення та формулу Стокса. |
|
|
Розв’язання. Перший спосіб (безпосереднє обчислення). |
|
|
|
|
Ц = ∫ xzdx + yxdy + zydz = I1 + I2 + I3 , |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
I1 , I2 , I3 — інтеграли вздовж відрізків АВ, ВС і СА відповідно (рис. 2.86). |
Обчислимо інтеграл I1 . |
Під час руху вздовж відрізка АВ від точки А до |
точки В змінна х змінюється від 3 до 0, |
y = 3 − x , а z = 0 . Тоді |
|
|
|
|
I1 = ∫ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xzdx + yxdy + zydz =∫ (3 − x)xd (3 − x) = |
|
|
|
|
AB |
|
|
3 |
|
|
3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
x |
|
− |
|
|
|
|
= 4, 5. |
|
|
|
|
|
(3 − x)xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
Із симетричності умови задачі відносно змінних х, у та z випливає, що |
I2 |
= I3 = I1 = 4, 5 , тому Ц= 3 4, 5 = 13, 5. |
|
|
|
|
|
|
|
Другий спосіб. Обчислимо циркуляцію векторного поля за формулою Стокса. Для цього розглянемо верхню сторону площини σ (трикутник АВС) і відповідний цій стороні додатний напрям АВСА. Маємо
P = xz, Q = yx, R = zy, |
∂P |
= 0, |
∂Q |
= y, |
∂R |
= z, |
∂Q |
= 0, |
∂P |
= x, |
∂R |
= 0. |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
∂z |
|
∂x |
|
Підставляючи ці значення у формулу Стокса (2.42′) і користуючись формулою (2.55), дістаємо
Ц= ∫ xzdx + yxdy + zydz = ∫∫ ydxdy + zdydz + xdzdx.
Виразимо поверхневий інтеграл через подвійні інтеграли по областях, які є проекціями П на координатні площини:
231
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
Ц= |
|
∫∫ |
ydxdy + |
∫∫ zdydz + |
∫∫ |
xdzdx, |
|
|
|
ABO |
|
|
BCO |
|
|
AOC |
де ABO, BCO, |
AOC — проекції заданої площини відповідно на коор- |
динатні площини Oxy, Oyz, Oxz. Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
3 |
3− y |
|
3 |
|
|
|
3− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
ydxdy = ∫ ydy ∫ |
dx = ∫ yx |
0 |
dy = |
|
ABO |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
2 y3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(3y |
− y )dy = |
|
|
y − |
|
|
|
|
= 4, 5. |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
0 |
|
Аналогічно |
∫∫ zdydz = ∫∫ xdzdx = 4, 5 . Отже, Ц= 3 4, 5 = 13, 5. |
BCO |
|
|
AOC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Обчисліть циркуляцію вектора F = yi + x j + k |
вздовж кола x2 + y2 = 1, |
z = 0 в додатному напрямі.
Розв’язання. Перший спосіб (безпосереднє обчислення). Запишемо рівняння заданого кола L у параметричному вигляді:
x = cos t, |
y = sin t, z = 0, 0 ≤ t ≤ 2π. |
Оскільки |
|
|
P = − y = − sin t, |
Q = x = cos t, R = 1, |
dx = − sin tdt, |
dy = cos tdt, dz = 0, |
то за означенням циркуляції (див. формулу (2.55)) дістаємо |
|
2π |
Ö = ∫ (− y)dx + xdy + dz = ∫ ((− sin t)(− sin t) + cos t cos t)dt = |
L |
0 |
|
2π |
|
2π |
= ∫ (sin2 t + cos2 t)dt = ∫ dt = 2π. |
0 |
|
0 |
Другий спосіб (за формулою Стокса). Поверхня σ , обмежена заданим колом, круг x2 + y2 ≤ 1 , вона лежить у площині Оху, отже, одночасно є проекцією D поверхні на цю площину. За формулами (2.55) і (2.42′) маємо:
Ц = ∫∫ (1− (−1))dxdy = 2∫∫ dxdy = 2Sкруга = 2π.
σ D
7. Доведіть, що векторне поле
F = (3x2 y2 + 2xz3 )i + (2 yx3 − z2 ) j + (3x2 z2 − 2 yz + 4z3 )k
є потенціальним, і знайдіть його потенціал.
232
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Розв’язання. Для доведення потенціальності поля достатньо показати, що rot F = 0 . Маємо
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
rot F = |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
= |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 y2 + 2xz3 |
2 yx3 − z2 |
3x2 z2 − 2yz + 4z3 |
|
= (−2z − (−2z))i − (6xz2 − 6xz2 ) j + (6yx2 − 6 yx2 )k = 0. |
Отже, поле вектора F потенціальне. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначимо потенціал u(x, y, |
z) за формулою (2.59), обираючи як фік- |
совану точку початок координат, тобто x0 = 0, |
y0 = 0, z0 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
(x, y, z) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
u(x, y, z) = ∫ |
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ 0 dx + |
|
|
|
(0, 0, 0) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ 2yx3dy + ∫ (3x2 z2 − 2 yz + 4z3 )dz + C = y2 x3 +x2 z3 − yz2 + z4 + C. |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ |
|
|
|
|
|
|
Т.5 |
|
|
|
|
|
|
|
І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ |
|
z |
|
|
|
1. Знайдіть поверхні рівня скалярного поля |
u = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
2. Обчисліть похідну скалярного поля |
u = x2 y + 2y2 z − z2 x + 1 у точці |
M0 (0; 2; 1) |
у напрямку до точки M1 (2; 4; 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
3. Обчисліть похідну скалярного поля u = z x2 + y2 |
у точці M (3; 4; 1) |
унапрямку вектора, що утворює з координатними осями Ох і Оу кути
α= 45° та β = 60° відповідно.
4. |
Обчисліть похідну скалярного поля u = x2 + y2 + z2 |
у |
точці |
M (6; − 2;3) у напрямку її градієнта, обчисленого в цій точці. |
|
|
5. |
Обчисліть похідну поля u = ln(x2 + y2 − z) у точці M (1; |
3 ;3) |
кола |
x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 3 у додатному напрямку цього кола. |
|
|
6. |
Знайдіть градієнт скалярного поля u = 2x3 y − 3yz2 + zx − 2 y + 3 у точці |
M (1; 0; − 2). |
|
|
|
|
|
233 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
7. Знайдіть кут між градієнтами скалярного поля u = arctg xy , обчис-
леними в точках M1 (1; 0) та M2 (−1; 1) .
8.Знайдіть точки, в яких градієнт скалярного поля u = ln(x − y−1 ) дорівнює i + j.
9.Знайдіть векторні лінії поля F = (z − y)i + (x − z) j + ( y − z)k.
10.Знайдіть векторну лінію поля F = i − y2 j + z2k , що проходить через точку M (1; 2; 3).
11. Обчисліть потік векторного поля F = (x + 3y)i + ( y − z) j + (z + x)k
через верхню частину круга, що вирізається конусом x2 + y2 = z2 із площини z = 1 .
12. Обчисліть потік векторного поля F = xi + zk через бічну поверхню кругового циліндра x2 + y2 = 4 , обмеженого площинами z = 0 та z = 1 .
13. Обчисліть потік векторного поля F = (x + y)i + yzj + (x − z)k через замкненуповерхню, обмеженупараболоїдом z = 1− x2 − y2 таплощиною z = 0.
14. Обчисліть потік векторного поля |
F = x2 i + y2 j + z2 k через замкнену |
поверхню, обмежену напівсферою z = |
1− x2 − y2 та площиною z = 0. |
15. Обчисліть потік векторного поля F = (3x − 2)i − 5yj + (2z + 1)k через
зовнішню сторону конуса x2 + y2 = z2 ( 0 ≤ z ≤ 3 ), використовуючи для
цього метод добудови даної поверхні до замкненої поверхні і подальшого використання формули Остроградського—Гаусса.
Обчисліть циркуляціювекторногополя F вздовжзамкненого контураL.
16. |
F = zi − xj + yk , L — коло z = x2 |
+ y2 |
− 10, z = −1 . |
17. |
F = xyi + yzj + xzk , L — еліпс x2 |
+ y2 |
= 1, x + y + z = 1. |
18. |
F = y2 i + z2 j + x2 k , L — замкнений контур АВСА , утворений пе- |
ретином площини x + y + z = 3 з координатними площинами.
Обчисліть циркуляцію векторного поля F вздовж замкненого контуру L, використовуючи: а) безпосереднє інтегрування; б) формулу Стокса.
19.F = x2 y3i + j + zk , L — коло x2 + y2 = R2 , z = 0 .
20.F = zi − yk , L — еліпс x2 + y2 = 4, x + 2z = 5 .
234
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
21. F = x2 i + y2 j + z2 k , L — коло x2 + y2 + z2 = 10, z = 1 .
22. Знайдіть дивергенцію і ротор векторного поля радіус-вектора r = xi + yj + k .
Знайдіть ротор векторного поля F у точці M .
23.F = (x2 + y2 )i + ( y2 + z2 ) j + (z2 + x2 )k , M (−1; 2; 0).
24.F = (2x2 y − z)i + (3xz2 + 1) j + (x2 + y2 + z2 )k .
25.Доведіть, що векторне поле
F = (4x3 z + y2 − 3)i + (2xy + z2 + 1) j + (x4 + 2 yz)k
є потенціальним, і знайдіть його потенціал.
Відповіді
|
|
1. z = C x2 + y2 |
— конуси з вершиною у початку координат; Oz — вісь симетрії. 2. 2. |
3. |
(29 + 3 |
2) /10 ; (3 |
2 − 21) /10 . 4. |
1. 5. 4 3. |
6. grad u = −2i |
− 12 j + k. |
7. |
3π |
. |
8. (2; 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
(0; –1). 9. |
x + y + z = C , x2 + y2 + z2 |
= C . 10. |
x + |
1 |
|
= |
3 |
, |
x + |
1 |
|
= |
4 |
. 11. |
π. 12. 4π. 13. π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
y |
2 |
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πR4 |
|
|
|
|
|
πR6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
. |
15. −36π. 16. −9π. 17. −π. |
18. –27. 19. − |
|
|
|
|
. 20. −2π. |
21. 0. 22. |
div r = 3, |
rot r = 0. |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
|
2 j − 4k. 24. 2i − 5 j − 8k. 25. u = x4 y + xy2 + yz2 − 3x + y + C. |
|
|
|
|
Т.5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
5.1. Обчисліть потік вектора F(x, y, z) через зовнішню поверхню піраміди, що обмежена координатними площинами x = 0 , y = 0 , z = 0 та похилоюплощиною α , користуючисьформулоюОстроградського—Гаусса.
№ |
|
|
F (x, y, z) |
Рівняння площини α |
|
|
|
|
|
5.1.1 |
F = xyi + (x4 − y) j + (z − 2y)k |
2x + y + 2z = 2 |
5.1.2 |
|
|
= xi + (2 − z) j + (z2 + 2x)k |
2x − 6 y + 3z = 6 |
F |
5.1.3 |
F = xzi + (2x3 + y) j + (z − 3y)k |
2x + 2 y − z = 2 |
235
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
Продовження таблиці |
|
|
|
|
Рівняння площини α |
|
№ |
|
|
F(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
5.1.4 |
F = (z − x)i + (z + y2 ) j + (x2 + 2 y)k |
3x − 6 y + 2z = 6 |
|
5.1.5 |
F = (x + 2)i + (z − 2 y) j + z2 k |
2x + 2 y − z = 2 |
|
5.1.6 |
|
|
= x2 i + (2 − z) j + (z + 2x)k |
3x − 2 y + 6z = 6 |
|
F |
|
5.1.7 |
F = ( yx + 1)i + (2z − x) j + zk |
2x + y − 4z = 4 |
|
|
|
|
|
5.1.8 |
F = (x + z)i + (xy − 2) j + (3x + y)k |
3x + 2y − 6z = 6 |
|
|
|
|
|
5.1.9 |
F = (2x + yz)i + (2 y − x) j + z2 k |
6x − 4 y + 3z = 12 |
|
5.1.10 |
F = (x2 − 1)i + (x − zy) j + (x + yz)k |
6x + 3y + 4z = 12 |
|
5.1.11 |
F = (xy + 1)i + (2z − 3y) j + 3zk |
4x − 6 y + 3z = 12 |
|
|
|
|
|
5.1.12 |
F = (x + 2 yz)i + (3y − x) j + ( y − 2z)k |
6x − 4y − 3z = 12 |
|
|
|
|
|
5.1.13 |
F = (xz − 3)i + (x3 + 2y) j + (z − 3y)k |
10x − 4y + 5z = 20 |
|
5.1.14 |
F = (z − x)i + (2 + y2 ) j + (x + 2 y)k |
12x − 20y + 15z = 60 |
|
5.1.15 |
F = (xy − 2)i + (z − 2 y) j + 2zk |
3x + 4 y + 6z = 12 |
|
|
|
|
|
5.1.16 |
F = (x − y)i + (4 − zy) j + (z + 2x)k |
15x − 10 y + 6z = 30 |
|
|
|
|
|
5.1.17 |
F = (x2 + 1)i + (2z − y) j + (z + 2)k |
10x − 4 y − 5z = 20 |
|
5.1.18 |
F = (x2 + z)i + xyj + (3x + y)k |
6x − 4y − 3z = 12 |
|
5.1.19 |
F = (2x + yz)i + (3y − x) j + (z − y)k |
4x − 6 y + 3z = 12 |
|
|
|
|
|
5.1.20 |
F = xi + (x − z) j + (x + yz)k |
20x + 12y −15z = 60 |
|
|
|
|
|
5.1.21 |
F = (2x − y)i + (1− 2zy) j + z2 k |
15x − 6 y + 10z = 30 |
|
5.1.22 |
F = (x + y)i + (1+ y) j + (z + 4x)k |
6x + 4 y − 3z = 12 |
|
|
|
|
|
5.1.23 |
F = x2 i + (2x + y) j + (z − 3y)k |
10x + 5y + 4z = 20 |
|
5.1.24 |
F = (z − x)i + (z + 3y2 ) j + (x + 2 y)k |
20x + 4y − 5z = 20 |
|
5.1.25 |
F = (x + y)i + (z − 2 y) j + zxk |
2x − 4y − z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
236
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
Закінчення таблиці |
|
|
|
№ |
F(x, y, z) |
Рівняння площини α |
|
|
|
5.1.26 |
F = xyi + (2 − zy) j + ( y + 2x)k |
5x − 2 y −10z = 10 |
|
|
|
5.1.27 |
F = xi + (2z − x) j + zyk |
2x − 4 y + z = 4 |
|
|
|
5.1.28 |
F = (x2 + z)i + xj + (3x + y)k |
15x + 3y + 5z = 15 |
5.1.29 |
F = (2x + yz)i + (2 y − x) j + zyk |
2x − 3y − 6z = 6 |
|
|
|
5.1.30 |
F = xyi + (x − zy) j + (x + yz)k |
15x + 10 y − 6z = 30 |
|
|
|
5.2. Обчисліть циркуляцію векторного поля F вздовж лінії перетину площини α з координатними площинами, використовуючи безпосереднє обчислення та формулу Стокса (напрям руху вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з початку координат).
5.2.1. F = (x + y)i + x2 yj + zy)k , |
α : |
x + y + z = 2 . |
5.2.2. F = xzi + ( y − z) j + z2 k , |
α : |
x − y + z = 1 . |
5.2.3. F = xzi + (x + y) j + (z + y)k , |
α : |
x + 2 y + z = 2 . |
5.2.4. F = (x − y)i + (z + y) j + 4k , |
α : |
x − 3y + z = 3 . |
5.2.5. F = xyi + zyj + (z2 + x2 )k , |
α : |
x + y − 5z = 5 . |
|
|
= (x + 2)i + ( y − 2z) j + (z + x)k , |
α : |
2x + 3y + z = 6 . |
5.2.6. F |
5.2.7. F = (x + y)i + ( y − z) j + (z + 2x)k , |
α : 2x + y + z = 2 . |
5.2.8. F = xzi + xyj + yk , |
α : 3x + y − z = 3 . |
5.2.9. F = (x + 3z)i + 2 j + (z2 + 1)k , |
α : |
6x + 2 y + 3z = 6 . |
5.2.10. F = (2x + y)i + zyj + xzk , |
α : |
x − y − z = 1 . |
5.2.11. F = (x + y)i + zyj + 2k , |
α : |
x + y + 4z = 4 . |
5.2.12. F = (x + 1)i + ( y + z) j + zk , |
α : |
x + 2 y + 3z = 6 . |
5.2.13. F = xzi + (2y + 1) j + (z − y)k , |
α : |
2x + 4 y + z = 8 . |
5.2.14. F = zi + yj + xk , |
α : 5x + y + z = 5 . |
5.2.15. F = (x + y)i + (z + y) j + (x + z)k , |
α : |
3x + 2 y + 2z = 6 . |
237
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Обчисліть циркуляцію векторного поля F вздовж замкненої лінії L двома способами (безпосередньо та за формулою Стокса).
5.2.16. |
F = (x2 − y2 )i + 4 j + (z + x)k , |
L: |
x2 + y2 |
= 4, |
z = 2. |
5.2.17. |
F = (x2 + y2 )i + zyj + 3k , |
L: |
z = x2 + y2 , |
z = 4. |
5.2.18. |
F = (x + z)i + 4 j + (z2 − x)k , |
L: |
x2 + y2 + z2 |
= 10, x = 1. |
5.2.19. |
F = 2xyi + ( y2 + 2z) j − 2k , |
L: |
x2 + z2 |
= 1, |
y = 0. |
5.2.20. |
F = xi + yj + (z2 + y2 )k , |
L: |
y = x2 + z2 , |
z = 1. |
5.2.21. |
F = yi + xj + (z2 − y2 )k , |
L: |
x2 + y2 + z2 |
= 5, z = 1. |
5.2.22. |
F = (x + y)i + (z + y) j + (z + x)k , |
L: |
z2 + y2 |
= 9, |
z = 0. |
5.2.23. |
F = x2 i + y2 j + zk , |
L: |
x = z2 + y2 , |
x = 9. |
5.2.24. |
F = (z + x)i + zj + yk , |
L: |
x2 + z2 |
= 1, |
x + y + z = 1. |
5.2.25. |
F = (x2 + y)i + ( y2 + z) j + k , |
L: |
x2 |
+ y2 |
= 1, |
z = 4. |
5.2.26. |
F = xyi + zyj + yzk , |
L: |
z = x2 + y2 − 3, z = 1. |
5.2.27. |
F = xi + zxj + (z + y)k , |
L: |
x2 |
+ y2 |
= 4, |
x + z = 0. |
5.2.28. |
F = (x2 + z2 )i + 3 j + zk , |
L: |
x2 |
+ z2 |
= 9, |
y = 2. |
5.2.29. |
F = (x − y)i + ( y − z) j + (z − x)k , |
L: |
x = y2 + z2 + 2, z = 6. |
5.2.30. |
F = 2i + y2 xj + zk , |
L: |
x2 |
+ z2 |
= 4, |
y + z = 0. |
5.3. Доведіть, що векторне поле F є потенціальним, і знайдіть його потенціал.
5.3.1.F = (3x2 + y2 )i + (2xy + z) j + ( y + 3z2 )k.
5.3.2.F = (2x + y + z)i + (x + 2 y + z) j + (x + y + 2z)k.
5.3.3.F = (4x3 + yz)i + (4 y3 + xz) j + (xy + 4z3 )k.
5.3.4.F = (3x2 + y2 z3 )i + (−3y2 + 2xyz3 ) j + 3z2 (xy2 − 1)k.
5.3.5.F = ( y2 z2 + 2xy)i + (2xyz2 + x2 ) j + 2xy2 z2 k.
5.3.6.F = (2xyz3 − 1)i + (x2 z3 + 2) j + (3x2 yz2 + 3)k.
5.3.7.F = (x + y + 2z)i + (x + y + 3z) j + (2x + 3y + z)k.
5.3.8.F = (2x + 2)i + (2 y − 3) j + (2z + 4)k.
5.3.9.F = (x + y − z)i + (x − y + z) j + (z + y − x)k.
238
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
5.3.10.F = (2x − z3 )i + 2( y + z) j + (2 y − 3xz2 )k.
5.3.11.F = (4x3 y2 z −1)i + 2x4 yzj + (x4 y2 + 2z)k.
5.3.12.F = (2xy4 z4 + y)i + (4x2 y3 z4 + x) j + (4x2 y4 z3 −1)k.
5.3.13.F = (3x2 + 3z + 2)i + (3y2 − 1) j + 3(x + z2 )k.
=(3x2 y2 z + yz2
=y + z − yz
z y x2
)i + (2x3 yz + xz2 ) j + (x3 y2 + 2xy)k.
x |
|
z |
|
xz |
|
x |
|
y |
|
xy |
i + |
|
+ |
|
− |
|
|
|
j + |
|
+ |
|
− |
|
|
k. |
|
x |
y |
2 |
y |
x |
z |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.16.F = (x + 2 y − z)i + (2x − y + 3z) j + (z + 3y − x)k.
5.3.17.F = (3z2 + y2 x3 )i + (−3y2 + 2zyx3 ) j + 3x2 (zy2 − 1)k.
5.3.18.F = (2xyz3 − 1)i + ( y2 z3 + 2) j + 3( y2 xz2 + 1)k.
5.3.19.F = ( y2 z2 + 2xz)i + (2xzy2 + x2 ) j + 2xz2 y2 k.
5.3.20.F = (2 y − z3 )i + 2(x + z) j + (2x − 3yz2 )k.
5.3.21.F = (4z3 y2 x −1)i + 2z4 yxj + (z4 y2 + 2x)k.
5.3.22.F = (2 yx4 z4 + x)i + (4 y2 x3 z4 + y) j + (4 y2 x4 z3 − 1)k.
5.3.23.F = (3x2 + 3y + 2)i + (3z2 − 1) j + 3(x + y2 )k.
5.3.24.F = (3z2 y2 x + yx2 )i + (2z3 yx + zx2 ) j + (z3 y2 + 2zy)k.
5.3.25.F = (2xz4 − 4)i + 2 yzj + (4x2 z3 + y2 )k.
5.3.26.F = (2xz + y3 )i + 3xy2 j + (x2 − 3z2 )k.
5.3.27.F = (2xy4 z − y2 )i + (4x2 y3 z − 2xy) j + (x2 y4 + 2)k.
5.3.28.F = (ln y + zx−1 )i + (ln z + xy−1 ) j + (ln x + yz−1 )k.
5.3.29.F = (2e2x y − ez )i + (e2x + ey z2 ) j + (2zey − xez )k.
5.3.30.F = (sin y − 2z cos 2x)i + (x cos y + cos z) j − ( y sin z + sin 2x)k.
239
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Модуль |
|
3 |
ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ |
|
Загальна характеристика розділу. Теорія функцій ком-
плексної змінної є однією з найважливіших областей математичного аналізу. Її використовують при розв’язуванні різних задач фізики, електротехніки тощо.
СТРУКТУРА МОДУЛЯ
Тема 1. Комплексні числа (огляд). Функція комплексної змінної. Ряди з комплексними членами. Основні елементарні функції.
Тема 2. Диференціювання та інтегрування функції комплексної змінної.
Тема 3. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Ізольовані особливі точки, їх класифікація. Лишки та їх застосування.
Базисні поняття. 1. Комплексне число. 2. Функція комплексної змінної. 3. Умови Коші―Рімана. 4. Формула Коші. 5. Ряд Тейлора. 6. Ряд Лорана. 7. Ізольована точка. 8. Лишки.
Основні задачі. 1. Дії з комплексними числами. 2. Відшукання дійсної й уявної частини функції комплексної змінної. 3. Диференціювання функції комплексної змінної. 4. Відновлення аналітичної функції за однією з частин. 5. Інтегрування функції комплексної змінної. 6. Розкладання функції у ряд. 7. Класифікація ізольованих точок. 8. Застосування лишків до відшукання інтегралів.
ЗНАННЯ ТА ВМІННЯ, ЯКИМИ ПОВИНЕН ВОЛОДІТИ СТУДЕНТ
1.Знання на рівні понять, означень, формулювань
1.1.Комплексні числа та дії над ними (повторення).
1.2.Поняття функції комплексної змінної, границя та неперервність.
1.3.Ряди з комплексними членами, дослідження на збіжність.
1.4.Основні елементарні функції та їхні властивості.
1.5.Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші―Рімана. Аналітичні функції.
240
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/