- •Глава I. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
- •§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •§3. Операции над матрицами
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Матричный метод решения
- •§5. Метод Гаусса для исследования и решения слау
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •§1. Векторы и линейные операции над ними
- •§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •§6. Прямая на плоскости
- •§7. Плоскость в пространстве
- •§8. Прямая в пространстве
- •§9. Кривые второго порядка на плоскости
- •§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
- •Глава 3. Введение в анализ.
- •§1. Функции
- •1.1. Функция. Способы задания функций
- •1.2. Элементарные функции
- •§2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность и её предел
- •2.2. Предел функции
- •§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.5. Сравнение бесконечно малых
- •§4. Непрерывность функций. Точки разрыва
- •4.1. Непрерывность функции в точке
- •4.2. Классификация точек разрыва
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
- •§1. Приращения и производные
- •§2. Механический и геометрический смыслы производной
- •§3. Правила дифференцирования
- •§4. Дифференциал функции
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
- •§7. Исследование функций с помощью производных
- •7.1. Монотонность и экстремумы функции
- •7.2. Выпуклость и точки перегиба функции
- •7.3. Асимптоты графика функции.
- •7.4. Схема исследования и построения графика функции
- •6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
- •Глава 5. Функции нескольких переменных
- •§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
- •1.2. Способы задания функции нескольких переменных
- •§2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1. Частные приращения и частные производные
- •2.2. Полное приращение и полный дифференциал
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§4. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- •§4. Свойства определенного интеграла
- •§5. Несобственные интегралы
- •Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения первого порядка
- •§4. Линейные уравнения первого порядка
- •§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка
- •§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)
- •6.3. Линейная независимость функций
- •6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
- •6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •6.6. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •6.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специального вида правой частью.
- •Содержание
§5. Производные и дифференциалы высших порядков
Производная называется еще первой производной функцииили производной первого порядка, сама функцияназывается производной нулевого порядка.
Определение. Производной – го порядка функции называется производная от её производной (-1) порядка при условии, что эти производные существуют:
, =1,2,3,…
функция при этом называется k раз дифференцируемой.
Определение. Дифференциалом – го порядка функции называется дифференциал от ее дифференциала ()–го порядка
,
вычисленный в предположении, что остается постоянной.
.
§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
Теорема Лопиталя. Пусть и- две б.м. или б.б. прифункции, дифференцируемые в окрестности и пустьив. Тогда, если существует, то существуети они равны между собой:
=.
Аналогичные утверждения справедливы для ,,,,, а также для случая, когда функцияявляется бесконечно большой.
К пределам других видов – , также можно применять правило Лопиталя, предварительно преобразовав выражение к виду или.
Произведение б.м. на б.б. функцию , т.е. вида, преобразуется к виду
(вида ) или(вида).
Затем применяется правило Лопиталя.
Разность двух б.б. функций видапреобразуется, например, к виду
;
к этому выражению применяется правило Лопиталя.
3. Функция типаилизаписывается в виде
,
затем вычисляется типа.
Если – число, то.
Если =, то.
Если , то.
§7. Исследование функций с помощью производных
7.1. Монотонность и экстремумы функции
Функция называетсянеубывающей (возрастающей) в интервале (а,b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство(). Если (), то такая функция называетсяневозрастающей (убывающей) в (а,b). Такие функции называют монотонными в интервале (а,b).
Теорема. Пусть функция дифференцируема в интервале .
1. Если f(x) монотонно возрастает в , то , .
2. Если ,, томонотонно возрастает в.
В интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется.
Определение. Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции если она определена в некоторой окрестностиэтой точки и для.
Значение в этом случае называетсяминимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения - экстремумами функции.
Точка x0, в которой функция y=f(x) непрерывна, а её производная равна нулю или не существует, называетсякритической точкой этой функции.
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть x0 – экстремальная точка функции y=f (x), тогда x0 – критическая точка этой функции.
Обратное утверждение к этой теореме не верно.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функциянепрерывна в окрестности U(x0) критической точки x0 и дифференцируема в U(x0)\ {x0}. Тогда
1) если в U(x0) f '(x)>0 при х<x0 и f '(x)<0 при x>x0 , то x0 - точка максимума;
2) если в U(x0) f '(x)<0 при х<x0 и f '(x)>0 при x>x0 , то x0 - точка минимума;
3) если в U(x0) f ' (x)>0 или f ' (x)<0 при x x0 , то в x0 экстремума нет.
Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х0 и вторая производная f''(x0) существует. Тогда, если f''(x0)>0, то x0 - точка минимума, а если f''(x0)<0, то x0 - точка максимума.
С помощью исследования экстремумов можно находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
= max{f(a), f(b), f(xi): xi(a,b) - точки максимума},
= min{f(a), f(b), f(xi): xi(a,b) - точки минимума}.