- •Глава I. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
- •§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •§3. Операции над матрицами
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Матричный метод решения
- •§5. Метод Гаусса для исследования и решения слау
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •§1. Векторы и линейные операции над ними
- •§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •§6. Прямая на плоскости
- •§7. Плоскость в пространстве
- •§8. Прямая в пространстве
- •§9. Кривые второго порядка на плоскости
- •§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
- •Глава 3. Введение в анализ.
- •§1. Функции
- •1.1. Функция. Способы задания функций
- •1.2. Элементарные функции
- •§2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность и её предел
- •2.2. Предел функции
- •§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.5. Сравнение бесконечно малых
- •§4. Непрерывность функций. Точки разрыва
- •4.1. Непрерывность функции в точке
- •4.2. Классификация точек разрыва
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
- •§1. Приращения и производные
- •§2. Механический и геометрический смыслы производной
- •§3. Правила дифференцирования
- •§4. Дифференциал функции
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
- •§7. Исследование функций с помощью производных
- •7.1. Монотонность и экстремумы функции
- •7.2. Выпуклость и точки перегиба функции
- •7.3. Асимптоты графика функции.
- •7.4. Схема исследования и построения графика функции
- •6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
- •Глава 5. Функции нескольких переменных
- •§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
- •1.2. Способы задания функции нескольких переменных
- •§2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1. Частные приращения и частные производные
- •2.2. Полное приращение и полный дифференциал
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§4. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- •§4. Свойства определенного интеграла
- •§5. Несобственные интегралы
- •Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения первого порядка
- •§4. Линейные уравнения первого порядка
- •§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка
- •§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)
- •6.3. Линейная независимость функций
- •6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
- •6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •6.6. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •6.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специального вида правой частью.
- •Содержание
Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
§1. Приращения и производные
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.
Приращением аргумента х в точке называется разность .
Приращением функции в точкеназывается разность
.
Геометрически х и f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точкив точку(рис. 1).
Следующее определение непрерывности функции в точке эквивалентно предыдущему.
Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точкии, то она называетсянепрерывной в точке .
Определение. Если существует предел
, (1)
то это число называется производной функции в точке.
Эта производная обозначается также одним из следующих символов:
.
Если функция имеет конечную производную в точке, то она называетсядифференцируемой в этой точке (т. е. предел (1) существует).
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
§2. Механический и геометрический смыслы производной
2.1. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь S(t). Тогда за промежуток времени от доона проходит путь, и средняя скорость точки на промежуткеравна. Мгновенная скоростьv точки в момент равна пределупри: . Итак, мгновенная скорость точки в моментравна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и естьмеханический смысл производной.
2.2. Проведём прямую через две точки и, лежащие на графике функции. Эта прямая называетсясекущей к графику функции (рис. 2). Её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла наклона к оси Оx равен
. (2)
Определение. Касательной к графику функции в точкеназывается прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точкуAпри.
Касательная в точке- это прямая, проходящая через, угловой коэффициент которой равен.
Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графикув точке (геометрический смысл производной).
Уравнение этой касательной имеет вид:
§3. Правила дифференцирования
Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции идифференцируемы в точке х, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
1. 2.3.. (3).
Теорема 2. (правило дифференцирования сложной функции). Пусть функция дифференцируема в точке,, функциядифференцируема в точке, тогда сложная функциядифференцируема ви её производная равна
.
Таблица производных основных элементарных функций.
Здесь с, а – постоянные, а>0,
§4. Дифференциал функции
Определение. Если приращение функции в точкеможно представить в виде, гдеa - число, а - б.м. при, то величина называется дифференциалом функции в точке(главной частью приращения).
Теорема о дифференциале. Для того чтобы функция имела дифференциал в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная, при этом. (т.е.)(см. рис. 15).
Формула для приближенного вычисления значения функции в точке имеет вид:
.
Перечислим основные свойства дифференциала. Пусть функции идифференцируемы, тогда
, где с – число.
.
, если .