Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

§1. Векторы и линейные операции над ними

Определение. Вектором с началом в точке A и с концом в точке B называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок - .

Вектор, у которого начало совпадает с его концом, называется нулевым вектором - . Длина отрезка, изображающего вектор называется модулем этого вектора - ||. Векторы параллельные одной прямой называютсяколлинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любым векторам. Два вектора и считаются равными, если они равны по модулю, коллинеарны и одинаково направлены.

Определение. Произведением вектора на число  называется такой вектор , что выполняются три условия.

1) ||=||||, 2)||,

3) Вектор сонаправлен вектору , если 0 и направлен в противоположную сторону, если 0.

Определение (правило паралле-лограмма). Суммой векторов и исходящих из одной точки называется вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма образованного векторами и исходящий из той же точки (см. рис. 1).

Суммой векторов ,,..., у которых начало вектора совпадает с концом, является вектор соединяющий начало вектора с концом вектора(см. рис. 2).

Эти линейные операции над векторами обладают следующими свойствами.

1. 1=.

2. 0=.

3. ()=().

4. (+)=+.

5. +=+.

6. (+)+=+(+).

7. (+)=+

Разностью векторов и, исходящих из одной точки называется вектор, соединяющий конец векторас концом вектора(см. рис. 3).

Определение. Линейной комбинацией векторов ,,..., с коэффициентами C₁,C₂,...,C_n называется вектор C₁+C₂+...+C_n.

Если векторы ,,..., коллинеарны некоторой прямой, то любая их линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой.

Векторы ,,..., параллельные одной плоскости называются компланарными. Если векторы ,,..., компланарны некоторой плоскости, то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости.

§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора

Векторным пространством называется такое множество векторов, что любая линейная комбинация векторов этого множества также ему принадлежит.

Определение. Любой ненулевой вектор на прямой называетсябазисным вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов {,} плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка некомпланарных векторов {,,} называется базисом пространства.

Теорема о базисе. Любой вектор (на прямой, плоскости или в пространстве) единственным образом записывается в виде линейной комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,

1. на прямой: =x,

2. на плоскости: =x+y,

3. в пространстве: =x+y+z

Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов выражающих вектор на прямой, в плоскости или в пространстве называются координатами вектора в данном базисе.

Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Пусть в пространстве имеется, декартова система координат . С ней связан стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов, расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz. Эти базисные вектора обозначаются через ,,. Вектор, начало которого находится в начале координат - точкеО, а конец в точке А, т. е. вектор , называетсярадиус-вектором точки А.

Если (x,y,z) – координаты точки A в системе , то радиус-вектор можно записать в виде =x+y+z. Координаты точкиA(x,y,z) в системе и вектора в базисе – это одни и те же числа.

Теорема. Пусть в декартовой системе координат заданы две точкии, тогда в базисевектор имеет координаты .

Определение. Проекцией вектора на координатную ось () называется длина проекции вектора навзятая со знаком “+”, если угол междуи положительным направлением оси острый, и “–“, если он тупой (см. рис. 4).

Если λ – число, -векторы, то =и=+.

Теорема. Пусть вектор имеет координатыв базисе, тогда ,,.