- •Глава I. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
- •§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •§3. Операции над матрицами
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Матричный метод решения
- •§5. Метод Гаусса для исследования и решения слау
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •§1. Векторы и линейные операции над ними
- •§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •§6. Прямая на плоскости
- •§7. Плоскость в пространстве
- •§8. Прямая в пространстве
- •§9. Кривые второго порядка на плоскости
- •§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
- •Глава 3. Введение в анализ.
- •§1. Функции
- •1.1. Функция. Способы задания функций
- •1.2. Элементарные функции
- •§2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность и её предел
- •2.2. Предел функции
- •§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.5. Сравнение бесконечно малых
- •§4. Непрерывность функций. Точки разрыва
- •4.1. Непрерывность функции в точке
- •4.2. Классификация точек разрыва
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
- •§1. Приращения и производные
- •§2. Механический и геометрический смыслы производной
- •§3. Правила дифференцирования
- •§4. Дифференциал функции
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
- •§7. Исследование функций с помощью производных
- •7.1. Монотонность и экстремумы функции
- •7.2. Выпуклость и точки перегиба функции
- •7.3. Асимптоты графика функции.
- •7.4. Схема исследования и построения графика функции
- •6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
- •Глава 5. Функции нескольких переменных
- •§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
- •1.2. Способы задания функции нескольких переменных
- •§2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1. Частные приращения и частные производные
- •2.2. Полное приращение и полный дифференциал
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§4. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- •§4. Свойства определенного интеграла
- •§5. Несобственные интегралы
- •Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения первого порядка
- •§4. Линейные уравнения первого порядка
- •§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка
- •§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)
- •6.3. Линейная независимость функций
- •6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
- •6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •6.6. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •6.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специального вида правой частью.
- •Содержание
§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
1. Определение. n-мерным арифметическим пространством называется множество всех строк (или столбцов), состоящих из n действительных чисел.
Строка называетсяточкой в , а числа еекоординатами в стандартной системе координат. Точка называетсяначалом координат, а множество точек вида --ойкоординатной осью (обозначается ). Здесь. Расстоянием от точки до точкив (или, что тоже самое, длиной отрезка ) называется число
.
Вектором в с началом в точке и концом в точкеназывается строка (или столбец), составленная из разностей координат точеки:
.
Над векторами в определяются операции сложения и умножения на числа по соответствующим правилам, определенным в §2 для матриц.
Единичные векторы, направленные вдоль координатных осей, т. е. векторы ,,…, называютсястандартным базисом в , числа -координатами вектора в стандартном базисе. При этом очевидно равенство.
2. Скалярным произведением векторов ив называется число .
Модулем вектора называется число
.
Векторы иназываютсяперпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю: .
Теорема (Неравенство Буняковского). Для любых векторов ииз справедливо неравенство .
Углом между векторами ив называется такой угол , что
.
3. Гиперплоскостью в называется множество всех его точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
.
Глава 3. Введение в анализ.
§1. Функции
1.1. Функция. Способы задания функций
Пусть DиЕ -некоторые множества.
Определение.Функцией собластью определения и областью значений называется некоторое отображение изв, т. е. соответствие, при котором каждому элементусопоставляется единственный элемент.
Если DиЕ -некоторые множества чисел, то функцияназываетсячисловой. В этом случае говорят также, что задананезависимая переменная (аргумент)х,которая может принимать значения из множестваD,и каждомухDприведено в соответствие определённое значение (число) другой переменнойуЕ,называемой функцией илизависимой переменной. Числовые функции можно задавать следующими способами.
а) Табличный.
б) Графический. Графиком функцииу=f(x) называется множество точек (х,у) плоскоститаких, что и.
в) Аналитический.Аналитическим способом, т.е. с помощью одной формулы, можно задавать только элементарные функции.
1.2. Элементарные функции
Функции C(постоянная); (степенная); (показательная, а>0, ); (логарифмическая, а>0, );sinx, cosx, tgx, ctgx (тригонометрические); arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx (обратные тригонометрические) называютсяосновными элементарными функциями.
Применяя к этим функциям арифметические действия и операции функции от функции (суперпозиции) в конечном числе, можно получать новые функции, которые называются элементарнымифункциями.Областью определения элементарной функцииназывается множество всех значений аргументахпри которых выражениеимеет смысл.
§2. Теория пределов
2.1. Последовательность и её предел
Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция у которой.
Определение. Число а называется пределом последовательности (), если для любого числа найдётся число, что все числа, у которыхудовлетворяют неравенству.