2.2. Предел функции

Определение 1. Число называется пределом функции при (), если (рис. 1).

Определение 2. Число называетсяпределом слева функции при(или ), если

Определение 3. Число называетсяпределом справа функции при(или ), если

Теорема. существует в том и только в том случае, когда существуют пределы слева и справа, и они равны между собой.

Определение 4. Число называетсяпределом функции при(), если .

Определение 5. Число называетсяпределом функции при(), если .

Определение 6. Число А называется пределом функции при (), если .

Теорема. Предел существует в том и только в том случае, когда существуют пределыи они равны между собой.

§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

3.1. Бесконечно малые и их свойства

Определение. Функция называется бесконечно малой (б.м.) при , если, или .

Теорема 1. Пусть б.м. при, тогда их сумматакже является б.м. при.

Теорема 2. Пусть б.м. при, аограничена в некоторой окрестности точки а, тогдаявляется б.м. при.

3.2. Первый замечательный предел

Теорема. .

3.3. Второй замечательный предел

Теорема. .

Здесь – иррациональное число.

3.4. Бесконечно большие и их свойства

Определение. Функция y=F(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x a , если

().

Теорема 1. Сумма б.б. одного знака при является б.б. при.

Теорема 2. Сумма б.б. функции при и ограниченной в окрестности точки а функции является б.б. при.

Теорема 3. Если б.б. при, ав некоторой окрестности точки а, то функция является б.б. при. В частности, произведение двух б.б. и произведение б.б. на функцию, имеющую ненулевой предел, является б.б.

Теорема 4. Если функцияб.б. при, то функция- б.м. при.

Теорема 5. Если функция б.м. прииприто функцияявляется б.б. при.

3.5. Сравнение бесконечно малых

Бесконечно малые приназываютсяэквивалентными ( ), если .

Это отношение эквивалентности удовлетворяет следующим свойствам.

1. ;

2. Если (  ;

3. Если  и , то .

Теорема (таблица основных эквивалентных бесконечно малых). Пусть есть б.м. при, тогда при:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ~, (b>0,b1);  ;

6. ()  , (b>0,b1); ;

7. ()  , (aR).

Теорема. Пусть б.м. при, тогда

.

При этом оба записанных предела существуют одновременно. Если одно из выражений б.б., то другое также является б.б.

§4. Непрерывность функций. Точки разрыва

4.1. Непрерывность функции в точке

Определение. Функция называетсянепрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) ; 2); 3).

Теорема 1. Пусть функции инепрерывны в точке. Тогда функции,, притакже непрерывны в точке.

Теорема 2 (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точкеи, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке.

Следствие. Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках своей области определения, а в граничных точках отрезков области определения непрерывна справа или слева.

4.2. Классификация точек разрыва

Определение. Точка , в которой нарушается хотя бы одно условие непрерывности функции, называетсяточкой разрыва этой функции.

1. Если не определено или, тоназывается точкойустранимого разрыва.

2. Если , то точканазываетсяразрывом первого рода функции .

3. Если хотя бы один из пределов не существует (равен бесконечности), то точканазываетсяразрывом второго рода функции .