§3. Однородные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция называетсяоднородной функцией, если при любом и любых х и у из области определения функции справедливо тождество

.

Определение 2. Уравнение первого порядка

(1)

называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция относительноx и .

Метод решения однородного уравнения следующий. Определим новую функцию и(х) с помощью соотношения

, т.е. .

Тогда будем иметь

.

Подставляя это выражение производной в исходное уравнение, и учитывая однородность правой части (1), получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Интегрируя, найдем

.

Подставляя после интегрирования вместо u отношение , окончательно получим общий интеграл уравнения (1).

§4. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида

, (1)

где и- непрерывные функции отx.

Найдем решение уравнения (1) в виде произведения двух функций

.

Дифференцируя обе части этого равенства, находим

.

Подставляя полученное значение производной в уравнение (1), получим

. (2)

Выберем функцию так, чтобы

.

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим

.

Подставляя найденное значение в (2) , получим

.

Окончательно, общее решение уравнения (1) записывается в виде

.

§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка

Если уравнение удается разрешить относительно старшей производной, т.е. записать в виде

, (1)

то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Говорят, что решение уравнения второго порядка удовлетворяетначальным условиям для заданных значений , если

.

Геометрически это значит, что соответствующая интегральная кривая уравнения проходит через точку плоскостиOxy и имеет в этой точке касательную с угловым коэффициентом .

Для уравнения n-го порядка (1) начальными условиями называют систему из n условий

(2)

Отыскание решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям (2), называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Теорема Коши. Если функция -й переменнойнепрерывна в некоторой областии имеет в ней непрерывные частные производные по, то какова бы ни была точкаиз этой области, существует единственное решениеуравнения, определенное в некотором интервале, содержащем точкуи удовлетворяющее начальным условиям (2).

Определение. Функция , зависящая отn постоянных , называетсяобщим решением уравнения (1) в некоторой области плоскостиOxy, если она является решением этого уравнения для любых значений постоянных и, если любое решение уравнения, лежащее в области, может быть записано в видедля конкретных.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных , называютсячастными решениями данного уравнения. Неявно заданное общее или частное решения уравнения называются соответственно его общим и частным интегралами.