7.2. Выпуклость и точки перегиба функции

Пусть функция дифференцируема в интервале (a,b). Эта функция называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x₀(a,b) значение функции для х(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x₀, f (x₀)) (см. рис. 1).

Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)0 (f ''(x)0)x(a,b).

Точка называется точкой перегиба для функции , если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точке , т.е. для а дляили наоборот. Точку ,в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от противоположны (см. рис. 2).

Рис. 2.

На рисунках  точка перегиба,  не точка перегиба

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в точке х_0. Тогда, если х₀  точка перегиба, то значение f''(x₀)=0 или не существует.

Такие точки х₀, в которых функция y = f(x) непрерывна, а или не существует, называютсякритическими точками второго порядка.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функциядважды непрерывно дифференцируема вU(x₀)\{x₀} и непрерывна в x₀, где x₀ – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x₀ и x>x₀, f ''(x) имеет разные знаки, то x₀ – точка перегиба этой функции. Если же при x<x₀ и x>x₀, знаки f ''(x) совпадают, x₀ – не точка перегиба.

7.3. Асимптоты графика функции.

Определение. Прямая l называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до l стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ) (рис. 3).

Асимптоты графика функции y=f(x) (коротко говорят асимптоты функции) делятся на два вида:

1. вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси , они имеют уравнения видах=х₀;

2. наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения видаy=kx+b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой функции y=f (x) только в том случае, когда при хх₀ – или хх₀+ эта функция является бесконечно большой.

Теорема о наклонной асимптоте. Прямая является правой (левой) наклонной асимптотой функциив том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и .

7.4. Схема исследования и построения графика функции

Чтобы исследовать функцию и построить ее график, действия рекомендуется проводить в следующем порядке.

1. Нахождение области определения функции. Исследование на четность, нечетность, периодичность. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.

2. Исследование функции на непрерывность. Вычисление пределов функции при x стремящемся к границам области определения и к точкам разрыва.

3. Нахождение асимптот функции.

4. Нахождение и исследование ее знаков. Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов.

5. Нахождение и исследование ее знаков. Нахождение интервалов различного направления выпуклости и точек перегиба.