§7. Плоскость в пространстве

Общее уравнением плоскости:

.

Теорема. Любая плоскость в пространствеопределяется своим общим уравнением, и любое уравнение вида, гдезадает некоторую плоскость в пространстве.

Вектор , перпендикулярный плоскости, называетсянормальным вектором этой плоскости.

Теорема о нормальном векторе плоскости. Вектор с координатамиявляется нормальным для плоскостис уравнениемв пространстве.

Следствие 1. Косинус угла между плоскостями

и

с нормальными векторами инаходится по формуле:

.

Следствие 2. Эти плоскости перпендикулярны только в том случае, когда .

Следствие 3. Эти плоскости параллельны только в том случае, когда

.

Если же , то плоскостиисовпадают.

В следующих уравнениях .

а) Если , т.е. если уравнение плоскостиимеет вид:

,

то ||. Плоскость видапроходит через ось.

в) Плоскость с уравнением параллельна оси, а плоскостьпроходит через.

с) Плоскость с уравнением параллельна оси, а плоскостьпроходит через.

d) Плоскость с уравнением параллельна плоскости.

е) Плоскость с уравнением параллельна.

f) Плоскость с уравнением параллельна.

g) Плоскость с уравнением проходит через начало координат - точку.

§8. Прямая в пространстве

Пусть в пространстве имеется прямаяс направляющим вектором.– фиксированная точка этой прямой,– произвольная точка на.

1. Параметрические уравнения прямой в пространстве:

2. Канонические уравнения прямой в пространстве:

.

Теорема 1. Косинус угла между прямыми

и

находится по формуле .

Эти прямые перпендикулярны только в том случае, когда .

Эти прямые параллельны только в том случае, когда .

Если при выполнении этого условия, то прямыеисовпадают.

Теорема 2. Синус угла между плоскостью и прямойнаходится по формуле:

(см. рис. 9).

Прямая и плоскость перпендикулярны только в том случае, когда .

Прямая параллельна плоскости только в том случае, когда

.

Если при выполнении этого условия ,то прямаялежит в плоскости.

§9. Кривые второго порядка на плоскости

1. Эллипс. Пусть на плоскости имеются две точкии, называемыефокусами на расстоянии друг от друга (– фокусное расстояние). Расположим их на осисимметрично относительно начала координат, т.е.и. Пусть.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна (см. рис. 10).

Уравнение , гденазываетсяканоническим уравнением эллипса, а числа а и - его полуосями (большой и малой).

Точки пересечения этого эллипса с осями координат называются вершинами эллипса.

Ось, проходящая через фокусы эллипса (ось ) называется егофокальной осью. Число называетсяэксцентриситетом. У эллипса .

2. Окружность. В частном случае, когда фокусное расстояние эллипса , два фокуса эллипса совпадают с его центром. При этоми эллипс превращается вокружность радиуса a с каноническим управлением:

.

Уравнение окружности радиуса a с центром в точке имеет вид:.

3. Гипербола. Пусть на плоскости имеются два фокуса (например, и) и пусть.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна и равна.

Каноническое уравнение гиперболы:

, где .

Числоа называется действительной полуосью этой гиперболы, а число – еемнимой полуосью.

Гипербола пересекает ось в точкахи. Эти точки называютсявершинами гиперболы.

Определения эксцентриситета гиперболы повторяют соответствующие определения для эллипса. Эксцентриситет гиперболы .

Определение. Прямая называетсяасимптотой кривой , если расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность.

Прямые являются асимптотами обеих ветвей гиперболы(см. рис. 11).

4. Парабола. Пусть на плоскости имеется прямая (директриса) и точка (фокус) на расстоянии от директрисы. Пустьимеет уравнение, фокус - координаты.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы(см. рис. 12).

Уравнение называетсяканоническим уравнением параболы, а число - ее параметром. Эта парабола проходит через т., которая называется еевершиной. Эксцентриситет параболы всегда считается равным единице. Асимптот у параболы нет.