Глава I. Линейная алгебра

§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов.

Числа стоящие в матрице называются ее элементами и обозначаются переменной (буквой) с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а второй  номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной, а это число строк (столбцов) называется ее порядком. Каждой квадратной матрице по определённому правилу сопоставляется число, которое называется определителем этой матрицы.

.

1. Определителем матрицы 1-го порядка называется элемент этой матрицы.

2) .

3).

Это правило называется правилом треугольников (Саррюса).

+ +   

Транспонированной матрицей для матрицы называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.

Свойства определителей:

1) Определители квадратной матрицы и транспонированной матрицысовпадают, т.е..

2) При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы, её определитель меняет свой знак на противоположный.

3) Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

4) Если все элементы одной строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число , то её определитель умножится на это число.

5) Если квадратная матрица содержит нулевую строку (столбец), то её определитель равен 0.

6) Если одна из строк (столбцов) определителя записывается в виде суммы двух строк (столбцов), то определитель записывается в виде суммы двух определителей, у которых на месте этой строки (столбца) стоят соответственно первые и вторые слагаемые. Остальные соответствующие строки (столбцы) всех трёх определителей равны.

7) Если к одной строке (столбцу) матрицы прибавить другую её строку (столбец), умноженную на число , то определитель матрицы при этом не изменится.

§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Минором элемента матрицыназывается матрица, полученная изпутём вычёркивания строки и столбца, проходящих через элемент(обозначение: ). Алгебраическим дополнением элемента называется число. Здесь– определитель минора элемента .

Теорема о разложении определителя. Определитель матрицы - го порядка равен сумме произведений элементов какой‑либо её выбранной строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.. Здесь – номер выбранной строки,.

Определение. Определителем матрицы -го порядка называется число, сопоставляемое этой матрице с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.

Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы называется единичной матрицей:

E=.

Определитель единичной матрицы равен 1, т.е. E=1.

§3. Операции над матрицами

Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.

Определение. Произведением матрицы размера на число , называется матрица размера, каждый элементкоторой равен.

Определение. Суммой матриц иодинакового размера называется матрицатого же размера каждый элемент которой равен.

Определение. Произведением строки A из элементов на столбец B из элементов называется число

Определение. Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера, каждый элементкоторой равен произведению–ой строки матрицы A на–ый столбец матрицы, т. е.

.

Для любой квадратной матрицы A верно равенство AE=EA=A, то есть единичная матрица играет роль единицы при умножении матриц.

Кроме того, для квадратных матриц верно равенство AB=AB.

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что выполняется равенство AA^-1=A^-1A=E.

Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицыA.

Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле

.