§2. Дифференцирование функций нескольких переменных

2.1. Частные приращения и частные производные

Определение. Частным приращением по x функции в точкесоответствующим приращениюназывается разность

.

Аналогично, частным приращением по в точке функциисоответствующим приращениюназывается разность

.

Определение. Частной производной по x функции в точкеназывается предел отношения частного приращения поx этой функции в указанной точке к приращению аргументаx, т.е.

.

Такие частные производные обозначаются символами ,,,. В последних случаях круглая буква “” – “” означает слово “частная”.

Аналогично, частная производная по в точкеопределяется с помощью предела

.

Другие обозначения этой частной производной: ,,.

Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении для функции переменная принимается за постоянную, а при нахождении- постояннаяx.

Если функция имеет частные производные, то еечастными дифференциалами называются выражения

и .

Здесь и .

Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученными из функции двух переменных при фиксированныхилих.

2.2. Полное приращение и полный дифференциал

Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениямиаргументов, называется разность

.

Определение. Если полное приращение функции в точкеможно представить в виде

, (1)

где и– постоянные, аибесконечно малые при, то выражение

называется полным дифференциалом этой функции в точке .

Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции. Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция и ее частные производныеинепрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда функциядифференцируема в точкеи ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

.

Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые ии заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующуюформулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.

++.

Полный дифференциал функции большего числа переменных находится по формуле

+ + … +.

§3. Производные и дифференциалы высших порядков

Частной производной k–го порядка функции называется частная производная от одной из ее производныхпорядка.

Сама функция считается производной нулевого порядка. Перечислим четыре производных второго порядка:

, ,,.

Производных –го порядка у функции двух переменных имеется.

Частная производная функции, в которой присутствуют дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной. Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются и.

Теорема о смешанных производных. Пусть функция и ее производные,,,непрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой:

.

Следствие. Пусть все частные производные функции

до –го порядка включительно и все ее смешанные производные–го порядка непрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда в этой точке ее смешанные производные–го порядка, отличающиеся только очередностью дифференцирования, совпадают.

Функция , имеющая все непрерывные частные производные до–го порядка включительно в окрестности точки, называетсяk раз дифференцируемой в этой точке.