- •Глава I. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
- •§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •§3. Операции над матрицами
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Матричный метод решения
- •§5. Метод Гаусса для исследования и решения слау
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •§1. Векторы и линейные операции над ними
- •§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •§6. Прямая на плоскости
- •§7. Плоскость в пространстве
- •§8. Прямая в пространстве
- •§9. Кривые второго порядка на плоскости
- •§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
- •Глава 3. Введение в анализ.
- •§1. Функции
- •1.1. Функция. Способы задания функций
- •1.2. Элементарные функции
- •§2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность и её предел
- •2.2. Предел функции
- •§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.5. Сравнение бесконечно малых
- •§4. Непрерывность функций. Точки разрыва
- •4.1. Непрерывность функции в точке
- •4.2. Классификация точек разрыва
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
- •§1. Приращения и производные
- •§2. Механический и геометрический смыслы производной
- •§3. Правила дифференцирования
- •§4. Дифференциал функции
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
- •§7. Исследование функций с помощью производных
- •7.1. Монотонность и экстремумы функции
- •7.2. Выпуклость и точки перегиба функции
- •7.3. Асимптоты графика функции.
- •7.4. Схема исследования и построения графика функции
- •6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
- •Глава 5. Функции нескольких переменных
- •§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
- •1.2. Способы задания функции нескольких переменных
- •§2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1. Частные приращения и частные производные
- •2.2. Полное приращение и полный дифференциал
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§4. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- •§4. Свойства определенного интеграла
- •§5. Несобственные интегралы
- •Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения первого порядка
- •§4. Линейные уравнения первого порядка
- •§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка
- •§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)
- •6.3. Линейная независимость функций
- •6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
- •6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •6.6. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •6.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специального вида правой частью.
- •Содержание
6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
7. Построение графика функции с учетом ее асимптот и таблицы. При необходимости можно вычислить промежуточные значения функции.
Глава 5. Функции нескольких переменных
§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
1.1. Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значенийиз некоторого подмножествасоответствует определенное значение переменной величины. Тогда говорят, что заданафункция нескольких переменных . Переменные называются независимыми переменными или аргументами, -зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множествоназываетсяобластью определения функции. Пусть теперь - некоторое подмножество на плоскости(в пространстве).
Определение. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения которой есть некоторое подмножество плоскостиR2 (см. рис. 1) (пространства R3), а область значений принадлежит действительной осиR.
Соответствующие обозначения: .
Рис. 1
Окрестностью точки на плоскости (илив пространстве) радиусаназывается круг без окружности (или шар без сферы) радиусас центром в точке.
Такую окрестность будем обозначать через. Здесьn=2 или 3. Если , то(см. рис. 2).
Рис. 2
Точка называетсяграничной точкой для множества , если окрестностилюбого радиусаэтой точки пересекаются как с множеством, так и с его дополнением. Множество всех граничных точек множестваназываетсяграницей этого множества и обозначается через .
Множество , содержащее всю свою границу, называетсязамкнутым. Множество , не содержащее ни одной точки своей границы, называетсяоткрытым.
1.2. Способы задания функции нескольких переменных
а) Табличный способ. Таблица функции двух переменных имеет прямоугольную форму, её строки и столбцы отмечены значениями соответственно первой и второй переменных этой функции. Например, таблица функции z=f(x,y) имеет вид:
x\y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
… |
x1 |
z11 |
z12 |
… |
z1n |
… |
x2 |
z21 |
z22 |
… |
z2n |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xm |
zm1 |
zm2 |
… |
zmn |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Здесь zij=f(xi,yj), точки (xi,yj) принадлежат области определения функции.
б) Аналитический способ. Этот способ позволяет задать функцию нескольких переменных с помощью одной формулы, включающей в себя переменные, основные элементарные функции, их суперпозиции и четыре арифметических действия. Такие функции называются элементарными.
Аналитически заданная (элементарная) функция имеет естественную область определения – множество всех значений аргументов функции, при которых выражение, определяющее функцию, имеет смысл.
в) Графический способ. Графиком функции двух переменных называется поверхность в пространствеобразованная множеством точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Проекция графика функции на плоскостьсовпадает с областью определенияэтой функции (см. рис.1).
Пусть – число.Линией уровня функции двух переменныхназывается множество всех точекиз ее области определения, координаты которых удовлетворяют уравнению. Например, линии уровня функции, изображенные на рис.3, соответствуют значениям.
Рис. 3
Поверхностью уровня функции трех переменныхназывается множество всех точекиз области определенияфункции, координаты которых удовлетворяют уравнению