§3. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

.

Для любых векторов справедливы следующие свойства.

1. .

2. , т. к. .

3) Скалярное произведение ненулевых векторов иравнотолько в том случае, когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны).

Проекцией вектора на ненулевой вектор (обозначение) называется его проекция на осьl, проведенную через вектор (см. рис. 5).

4).

5) Для любого вектора с координатамив базисеверно:

, ,.

6) ; λ –любое число.

7) .

Теорема. Пусть в базисе векторимеет координаты, а вектор–. Тогда

.

Следствие 1. Модуль вектора равен.

Следствие 2. Косинус угла между векторамииравен

.

Следствие 3. Ненулевые векторы иперпендикулярны только в том случае, когда

.

§4. Векторное произведение векторов и его свойства

Определение. Векторным произведением векторов иназывается вектор, удовлетворяющий трём условиям:

а)

в) перпендикулярен векторам и т. е. он перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы и.

с) Тройка векторов правая, т.е. при взгляде со стороны конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму происходит против часовой стрелки (рис. 6).

Для любых векторов справедливы следующие свойства.

1. Векторное произведение антикоммутативно:

.

2. Ненулевые векторы коллинеарны только в том случае когда .

3. , - число.

4. .

Теорема. Пусть в базисе векторыимеют координатыисоответственно. Тогда в этом базисе

.

Следствие 1. Площадь параллелограмма построенного на векторах и, равна

.

Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна:

.

Следствие 2. Площадь параллелограмма построенного на векторах и, лежащих в плоскости, равна

.

Площадь треугольника построенного на этих векторах, равна

§5. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторовс вектором: ().

Основные его свойства заключаются в следующей теореме (свойство 1).

1. Теорема. Смешанное произведение векторов равнообъему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

Здесь знак “+” берется, в случае если тройка векторов  правая “” если она левая (см. рис. 7).

2. Векторы  являются компланарными только в том случае когда их смешанное произведение равно 0:

3. .

4. ,.λ число.

5. .

Теорема. Пусть в базисе векторыимеют координаты соответственно и, тогда их смешанное произведение записывается в виде определителя:

.

Следствие. Объем параллелепипеда построенного на векторах равен:

.

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), образованного этими векторами равен:

.

§6. Прямая на плоскости

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

Здесь - тангенс угла наклона этой прямой к осии– ордината точки пересечения прямой с осью(см. рис. 8). С помощью такого уравнения можно задать любую прямую не перпендикулярную оси.

Теорема. Тангенс угла между прямымииопределяется формулой

.

Прямые ипараллельны только в том случае когда .

Прямые иперпендикулярны только в том случае, когда .

2. Общее уравнение прямой: .

Теорема. Любая прямая на плоскостиопределяется своим общим уравнением и любое уравнение вида, гдезадает некоторую прямую на плоскости.

Вектор перпендикулярный прямойназываетсянормальным вектором этой прямой.

Теорема о нормальном векторе прямой. Вектор с координатамиявляется нормальным для прямойс уравнениемна плоскости.

Следствие 1. Косинус угла между прямымиис нормальными векторамиисоответственно, находится по формуле:

.

Следствие 2. Эти прямые перпендикулярны только в том случае, когда

.

Следствие 3. Эти прямые параллельны только в том случае, когда

.

Если же , то прямыеисовпадают