- •Глава I. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей
- •§2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •§3. Операции над матрицами
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Матричный метод решения
- •§5. Метод Гаусса для исследования и решения слау
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •§1. Векторы и линейные операции над ними
- •§2. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§3. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •§6. Прямая на плоскости
- •§7. Плоскость в пространстве
- •§8. Прямая в пространстве
- •§9. Кривые второго порядка на плоскости
- •§10. Основные понятия об n-мерном арифметическом пространстве
- •Глава 3. Введение в анализ.
- •§1. Функции
- •1.1. Функция. Способы задания функций
- •1.2. Элементарные функции
- •§2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность и её предел
- •2.2. Предел функции
- •§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.5. Сравнение бесконечно малых
- •§4. Непрерывность функций. Точки разрыва
- •4.1. Непрерывность функции в точке
- •4.2. Классификация точек разрыва
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление фуннкций одной переменной
- •§1. Приращения и производные
- •§2. Механический и геометрический смыслы производной
- •§3. Правила дифференцирования
- •§4. Дифференциал функции
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
- •§7. Исследование функций с помощью производных
- •7.1. Монотонность и экстремумы функции
- •7.2. Выпуклость и точки перегиба функции
- •7.3. Асимптоты графика функции.
- •7.4. Схема исследования и построения графика функции
- •6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.
- •Глава 5. Функции нескольких переменных
- •§1. Основные понятия о функциях нескольких переменных
- •1.2. Способы задания функции нескольких переменных
- •§2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1. Частные приращения и частные производные
- •2.2. Полное приращение и полный дифференциал
- •§3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§4. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- •§4. Свойства определенного интеграла
- •§5. Несобственные интегралы
- •Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка
- •§2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Однородные уравнения первого порядка
- •§4. Линейные уравнения первого порядка
- •§5. Основные понятия об уравнениях высшего порядка
- •§6. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •6.1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •6.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения (олду)
- •6.3. Линейная независимость функций
- •6.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
- •6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •6.6. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •6.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специального вида правой частью.
- •Содержание
§4. Экстремумы функции нескольких переменных
4.1. Точка называетсяточкой максимума функции , если существует окрестностьтакая, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство
.
Если для всех из окрестностивыполняется неравенство
,
то точка называетсяточкой минимума. Значение функции в точке максимума , называетсямаксимумом функции, а ее значение в точке минимума – минимумом. Точки максимума и минимума называются экстремальными точками функции, а максимумы и минимумы называются экстремумами функции (см. рис. 4).
Рис. 4
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если вкаждая частная производнаяиравна нулю или не существует, тоназываетсякритической точкой функции .
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Если является экстремальной точкой функции, то– критическая точка этой функции.
Сформулируем необходимые условия экстремума для дифференцируемой функции n переменных .
Если точка является экстремальной точкой функции, дифференцируемой в некоторой окрестности, то-стационарная точка этой функции, то есть ее координаты удовлетворяют системе уравнений
Теорема 2. (Достаточные условия экстремума). Пусть функция трижды дифференцируема в некоторой окрестности своей критической точки. Обозначим,,,. Тогда:
1) Если , то точкаэкстремальная для функции, причем если, то это точка минимума, а если, то точка- точка максимума.
2) Если , то в точкеэкстремума нет.
Глава 6. Неопределенные и определенные интегралы
§1. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства
1.1. Основные определения
Определение. Первообразной для функции , определенной в интервале, называется такая функция, производная которой совпадает св интервале, т.е.
.
Теорема 1. Если идве первообразные для функциив, то найдется такое числоC, что в.
Из этой теоремы следует, что если есть одна первообразная функции, то любая другая ее первообразная имеет виддля некоторого числа.
Определение. Множество всех первообразных для функции на интерваленазывается еенеопределенным интегралом.
Он обозначается символами , гдезнак интеграла,- дифференциал переменнойx. Если - какая либо первообразная функции, то
, .
1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
Здесь u - независимая переменная или непрерывно дифференцируемая функция u=u(x).
1. ,;
2. ;
3. ,. В частности,;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ,;
13. ,;
14. ,;
15. ,;
16. ;
17. ;
18. ;
19. .
1.3. Свойства неопределенных интегралов
Здесь и в дальнейшем предполагается, что все записанные интегралы и производные существуют.
1) ;.
2) ;.
3) Если a- число, то .
4) .
5) Если ;,- числа, то
§2. Основные методы интегрирования
2.1. Метод замены переменной
Теорема 1. Если функция непрерывна, а функциянепрерывно дифференцируема, то
Это равенство можно также записать в виде .
2.2. Метод подведения под знак дифференциала
Следствие. Пусть функции ,,непрерывны, тогда
.
2.3. Метод интегрирования по частям
Теорема 2. Пусть функции инепрерывно дифференцируемы, тогда
.
Последнюю формулу часто записывают в сокращенном виде
.
Этот метод применяется в случае, когда подынтегральная функция имеет вид произведения , где- многочлен, а- тригонометрическая, показательная, обратная тригонометрическая, или логарифмическая функция.
В заключение отметим, что класс функций, первообразные которых находятся в виде элементарных функций (говорят интегрируемых в квадратурах) довольно узок. Например, невозможно записать с помощью элементарной функции.