Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Dukhon2.pdf

Скачиваний:

202

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Пример 1.3.19. Найти предел: lim

ex −1

4 x

x→0

e можно

Решение. В соответствии с теоремой 1.3.14 число

заменить пределом e = lim (1 + x)

x→0

(1 + x)

−1

+ x −1

lim

= lim

4 x

x→0

4 4

Задачи для самостоятельного решения

Найти предел:

1.3.1. lim (x2 − 3x + 1).

x→2

1.3.2. lim		x2 + 1			.
1.3.2. lim			3x		.
x→1			3x
1.3.3. lim			5 − 2 x .
x→−1			x + 2
1.3.4. lim		3x2 + 2 x + 1						.
1.3.4. lim			x2 −	4 x + 2				.
x→0			x2 −	4 x + 2
1.3.5. lim			3 − x				.
1.3.5. lim		x2 −10					.
x→4		x2 −10
1.3.6. lim			x2 − 3				.
1.3.6. lim			5 + 2 x				.
x→−2			5 + 2 x
1.3.7. lim	5 − x2				.
1.3.7. lim			x −1		.
x→2			x −1
1.3.8. lim			x2 + 1			.
1.3.8. lim			3 − x			.
x→−1			3 − x

1.3.9. lim 2 −2 3x .

x→0 x + 1

1.3.10. lim

2 + 2 x −1

x + 3

x→1

1.3.11. lim

3x2 −8 x + 4

5 x

2 −14 x +

x→2

1.3.12. lim

−7 x + 10

−9 x + 20

x→5

1.3.13. lim

− x −6

x − 3

x→3

1.3.14. lim

x2 −1

2 x

2 − x −1

x→1

1.3.15. lim

− 4 x −5

− 2 x −

x→−1

1.3.16. lim

− x2 + 2 x

x2 + x

x→0

1.3.17. lim

3x2 + 2 x −1

−x2 + x + 2

x→−1

1.3.18. lim

2 −11x +6

2 x2 −5 x − 3

x→3

1.3.19. lim

x3 −8

+ x −6

x→2

1.3.20. lim

− x − 2

1 − x2

x→−1

1.3.21. lim

−7 x + 10

−5 x +

x→2

1.3.22. lim

−1

+ 1

x→1

1.3.23. lim

4 x2 − 4 x + 1

4 x2 −

x→

1.3.24. lim

2 − 4

− 2 x

x→2

1.3.25. lim

−5 x +6

x −

x→2

1.3.26. lim

−6 x + 9

x −

x→3

1.3.27. lim

x2 +6 x + 8

x3 + 8

x→−2

1.3.28. lim

x2 − x − 2

x3 +

x→−1

1.3.29. lim

−6 x + 8

x2 − 4

x→2

1.3.30. lim

− 4 x + 3

x2 −9

x→3

1.3.31. lim

x −6

x + 3 −

x→6

1.3.32. lim

x + 1 −1

x→0

1.3.33. lim

3 −

4 − 2 x −

x→9

1.3.34. lim

x −

2 − x

x→1

x −1

1.3.35. lim

x + 4 −

x→0

1.3.36. lim

2 −

6 + x

x→−2

7 − x − 3

1.3.37. lim

4 x + 1 − 3

x→2

x + 2 − 2

1.3.38. lim

x + 1

x +

x + 2

x→−1

1.3.39. lim

x −

3x + 4

x→4

16 − x2

1.3.40. lim

x −8

x→64

4 − 3

1.3.41. lim

x2 −5 x + 2

2 x2 + 1

x→∞

1.3.42. lim

x3 + 2 x − 4

3x2 + 1

x→∞

1.3.43. lim

2 − x2

3x2 + 1

x→∞

1.3.44. lim

5 x2 + 4 x + 3

3x2 − x −1

x→∞

1.3.45. lim

2 x3 + x + 1

1 − x − x3

x→∞

1.3.46. lim

9 − 2 x − x2

3x2 + 2 x +

x→∞

1.3.47. lim

4 x3 + 3x + 1

2 x3 + x2 −

x→∞

1.3.48. lim

3x2 + x + 1

3x −1

x→∞

1.3.49. lim

x2 + 1

1 − 2 x3

x→∞

1.3.50. lim

x3 + 2 x

2 + 3x

4 − 3x3

x→∞

1.3.51. lim

5 x2 + 2 x −1

4 x2 −

x→∞

1.3.52. lim

3 − x − x2

4 −

2 x + x2

x→∞

1.3.53. lim

3x4 − 2 x + 1

5 − 2 x3

x→∞

1.3.54. lim

3x2 − 2 x − 3

5 − 3x2

x→∞

1.3.55. lim

x3 + 1

x→∞ x2 − 2 x −1

1.3.56. lim

4 − x − 2 x

1 − x3

x→∞

1.3.57. lim

4 x2 + x + 3

3 − x2

x→∞

1.3.58. lim

4 x3 − x

2 + 1

3x3 −1

x→∞

1.3.59. lim

2 − x − x

3x2 + 1

x→∞

1.3.60. lim

x3 + 2

4 −

3x2

x→∞

1.3.61. lim

x +

x + 1

x→∞

x2 + 1

1.3.62. lim

2 −1 + 1

x2 +

x→∞

1.3.63. lim

x3 + 1 − 2

x3 − 3

x→∞

1.3.64. lim

x −1 + 2

x→∞

x − 3

1.3.65. lim

3 − 2

x −1

x→∞

1.3.66. lim

x2 + 1 −1

x2 + 2

x→∞

1.3.67. lim

x + 1

x→∞

x −1

1.3.68. lim

x +

x + 1

x→∞

x −1

1.3.69. lim

x3 + 1 −1

x + 2

x→∞

1.3.70. lim

2 x +

x −1

x→∞

x + 1

1.3.71. lim

−

9 − x

x→−3

x + 3

1.3.72. lim

−

−8

x→2

x −

1.3.73. lim

−

−1

x −1

x→1

1.3.74. lim

− x

x→∞

x +

x ).

1.3.75. limx→∞ (

x + 5 −


1.3.76. limx→∞ (		x2 + 4 x − x).
1.3.77. limx→∞ (x − x2 + x + 1).
1.3.78. limx→∞ (		1 + x2 − x).
1.3.79. limx→∞ (		x2 + 10 x − x).
1.3.80. limx→∞ (		4 x2 + 3x − 2 x).
1.3.81. lim sin7 x .
x→0	sin 3x
1.3.82. lim tg2 x .
x→0		3x
	arcsin			x

1.3.83. lim		2				.

x→0		sin x
1.3.84. lim		4 x					.
	arcsin 12 x
x→0
1.3.85. lim arctg6 x .
x→0		sin 3x
1.3.86. lim arcsin5 x .
x→0		tg2 x
1.3.87. lim	tg10 x				.

x→0	sin2 2 x
1.3.88. lim		3x	.

x→0	tg2 x
1.3.89. lim sin 4 x .
x→0		3x

arctg

1.3.90. lim

x→0

sin x

1.3.91. lim

−

x→∞

+ 1

1.3.92. lim

x→∞

x + 1

1.3.93. lim

−

x→∞

x + 1 x

1.3.94. lim

2 x −1

x→∞

1 x

1.3.95. lim

x→∞

1.3.96. lim

e2 x −1

x→0

1.3.97. lim x e x

−1 .

x→∞

1.3.98. lim

1 +

x→∞

1.3.99. lim

−

4 x

x→∞

2 x

1.3.100. lim

x→∞

2 x + 1

1.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Односторонние пределы. Число A называется левосторон-

ним пределом функции f (x) при x → x0 , если для любого ε > 0


существует δ > 0	такое, что при всех х, удовлетворяющих неравен-
ству 0 < x0 − x < δ , выполняется неравенство		f (x)− A	< ε .
ству 0 < x0 − x < δ , выполняется неравенство		f (x)− A	< ε .
Число A	называется правосторонним пределом функции

f (x) при x → x0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < x − x0 < δ , вы-

полняется неравенство f (x)− A < ε .

Пример 1.4.1. Найти односторонние пределы функции:

		2	+1 при x ≤ 0;
f (x)= x
	2x - 1 при x > 0.

в точке x0 = 0.

Решение. Найдем левый предел функции f (x).

lim	f (x)= lim	x2 +1	)	= (0 −0)2	+1 = 1.
x→0−0	x→0−0 (		)	f (x).
Найдем правый предел функции				f (x).
lim f (x)= lim (2x - 1)= 2 (0 +0)					- 1 = -1.
x→0+0	x→0+0

Пример 1.4.2. Найти односторонние пределы функции: f (x)= tg2x

в точке x0

π .

f (x).

Решение. Найдем левый предел функции

lim

tg2 x = tg2

−0

−

= +∞.

= tg

x→π −0

Найдем правый предел функции

f (x).

lim tg2 x = tg2

0 = tg

+0 = −∞.

x→π +0

Функция f (x)

называется непрерывной в точке x0 , если

она определена в некоторой окрестности этой точки и

lim f

(

)

= f

(

0 )

x→x

Функция f (x)

называется непрерывной на данном проме-

жутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва функции. Пусть точка

x0 принадлежит об-

ласти определения функции

f (x) или является граничной точкой

этой области. Точка

называется точкой разрыва функции f (x),

если f (x) не является непрерывной в этой точке.

Для того чтобы в точке

x0 имел место разрыв, достаточно

нарушения хотя бы одного из условий: функция

f (x) должна быть

определена в точке

x0 ; в этой точке должны существовать оба одно-

сторонних предела

lim

f (x)

lim

f (x); эти пределы должны

x→x0 −0

x→x0 +0

быть равны друг другу и равны значению функции f (x) в этой точ-

ке, т. е.

(

)

(

)

(

0 )

lim

= f

x→x

−0

x→x

Если в точке

существуют

оба односторонних предела

функции f (x)

lim

f (x) и

lim

f (x),

x→x0 −0

x→x0 +0

	но они не равны друг другу или же равны, но не совпадают со
значением функции f (x)					в этой точке, то x0 называется точкой
разрыва первого рода.
	Пример 1.4.3. Рассмотрим функцию
		f (x)			x + 1 при x < 0;
					=		≥ 0.
					sinx при x
	В точке x0	= 0 левый предел равен
		lim	f (x)= lim			(x + 1)= 1.
		x→0−0			x→0−0
	В точке x0	= 0 правый предел равен
		lim		f (x)= lim sin x = 0.
		x→0+0			x→0+0
	Значение функции			f (x) в точке x0			= 0 равно
				f (0)= sin0 = 0.
	Таким образом,		оба односторонних предела функции f (x) в
точке	x0 = 0 существуют,				но не равны и, следовательно, функция
f (x)	в точке x0	= 0 имеет разрыв первого рода.
	Если в точке x0			оба односторонних предела существуют и
равны друг другу, т. е.			lim		f (x)=	lim	f (x)= lim f (x),
		x→x0 −0				x→x0 +0	x→x0
но не равны значению функции в точке x0							либо функция в этой точ-
ке не существует, то точка					x0 называется точкой устранимого раз-
рыва функции f (x).

Пример 1.4.4. Рассмотрим функцию

1 + x при x < 0; f (x)= 0 при х = 0;

1 − x при x > 0.

В точке x0	= 0 левый предел равен
	lim	f (x)= lim (1 + x)= 1.
	x→0−0	x→0−0
В точке x0	= 0 правый предел равен
	lim	f (x)= lim (1 − x)= 1.
	x→0+0	x→0+0
Итак, оба односторонних предела существуют и равны, но не
равны значению функции в точке			x0 = 0 . В точке x0 = 0 функция
f (x) имеет устранимый разрыв.
Если в точке x0		функция	f (x) имеет разрыв первого рода,

но не являющийся устранимым, то эта точка называется точкой скач-

ка этой функции.

Для функции, рассмотренная в примере 1.4.3, точка x0 = 0 является точкой скачка.

Если в точке x0 не существует (или бесконечен) хотя бы один из односторонних пределов функции f (x), то x0 называется

точкой разрыва второго рода функции f (x).

Пример 1.4.5. Исследовать на непрерывность функцию

f (x)= 3 x

в точке x0 = 0 .

Найдем односторонние пределы функции f (x) в точке

x0 = 0 .

Левый предел:

	f (x)= lim	1				1
lim		3			x	= 3		−0		= 0.
x→0−0	x→0−0
Правый предел:		1				1
lim f (x)= lim
		3		= 3					= +∞.
			x				+0
x→0+0	x→0−0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.20152.59 Mб35Dokumentoved_i_ego_professia.pdf
#
09.06.2015239.7 Кб128Dokument_Microsoft_Office_Word (3).docx
#
09.06.2015121.91 Кб10Dokument_Microsoft_Office_Word (3).docx
#
09.06.201513.67 Кб9Dokument_Microsoft_Office_Word.docx
#
09.06.2015274.48 Кб15Dokument_Microsoft_Office_Word_3.docx
#
09.06.20151.34 Mб202Dukhon2.pdf
#
28.03.20164.6 Mб205ED9M_i_dr___1.pdf
#
28.03.20165.12 Mб98ED9M_i_dr___2.pdf
#
28.03.2016202.75 Кб11ekonomika_otrasli_kursovoy.doc
#
09.06.2015240.64 Кб18Ekzam_bilety_po_khimii_UEM_2011-2012_g_g.doc
#
09.06.20151.82 Mб49ek_oc_inv_met_uk.pdf