Понятие определенного интеграла вводилось для функций, ограниченных на отрезке [a;b]. Однако это понятие при определен-
ных условиях может быть расширено на случай бесконечных промежутков и разрывных функций. Такие интегралы называются несобственными. Различаются несобственные интегралы первого и второго рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечным промежутком интегрирования или с неограниченной подынтегральной функцией.
Несобственные интегралы первого рода. Пусть функция f (x) непрерывна при x ≥ a . Если интеграл
∫t f (x)dx
a
при t → +∞ имеет конечный предел, то этот предел называется не-
собственным интегралом функции f (x) от а до бесконечности и
обозначается
+∞∫ f (x)dx.
a
Таким образом, по определению
+∞∫ |
f (x)dx = tlim→+∞ ∫t |
f (x)dx. |
(3.3.1) |
a |
a |
|
|
Если интеграл (3.3.1) при t → +∞ имеет бесконечный предел или не имеет предела, то говорят, что интеграл (3.3.1) расходится. Если интеграл (3.3.1) имеет конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом.
205
