Пример 2.1.20. Найти вторую и третью производные функции f (x)= 3x4 −5 x2 + 2 x −7.

Решение.

f ′ (x)= (3x4 −5 x2 + 2 x −7 )′ = 12 x3 −10 x + 2. f ′′(x)= (12 x3 −10 x + 2)′ = 36 x2 −10.

f ′′′(x)= (36 x2 −10)′ =72 x.

Пример 2.1.21. Найти вторую и третью производные функции f (x)= x2 sin x.

Решение.

f ′ (x)= (x2 sin x)′ = (x2 )′ sin x + x2 (sin x)′ = 2 x sin x + x2 cos x. f ′′(x)= (2 x sin x + x2 cos x)′ = (2x sin x)′ +(x2 cos x)′ =

= 2 sin x + 2 x cos x + 2 x cos x − x2 sin x = 2 sin x + 4 x cos x − x2 sin x. f ′′′(x)= (2 sin x + 4 x cos x − x2 sin x)′ = 2 cos x + 4 cos x −

−4 x sin x − 2 x sin x − x2 cos x = 6 cos x −6 x sin x − x2 cos x.

74

2.1.4.f (x)=7 ,5 x4 −5 x2 − x12 .

2.1.5.f (x)= 8 x3 + 3x2 −5 x − 1x .

2.1.9.f (x)= 12 x3 −6 x2 + 5 x − x12 .

2.1.10.f (x)=7 x4 +6 x3 −5 x − 1x .

2.1.11.f (x)=7 x3 −6 x2 + 11x − 2x .

2.1.15.f (x)= 4 x3 − x2 + 2x .

2.1.16.f (x)= 8 x4 −7 x3 −1 + 1x .

75

2.1.20.f (x)= 9 x3 −5 x2 + 3x − 1x .

2.1.21.f (x)= 11x4 − 3x2 + 5 x − 1x .

2.1.22. f (x)= 9 x6 − 3x4 + 2 x + x .

2.1.23.f (x)= 4 x7 − 3x4 + x − x12 .

2.1.24.f (x)= 6 x4 + 3x3 −5 x + 3 x .

2.1.25.f (x)=7 x5 − 2 x4 + x12 .

2.1.27.f (x)= 6 x4 +7 x3 −5 x + 1x .

2.1.28.f (x)= 8 x4 −5 x3 + x12 .

2.1.31.f (x)= 3 sin x −5 cos x.

2.1.32.f (x)= 2tgx − 4 cos x.

2.1.33.f (x)= 3 arcsin x + 2arccosx.

2.1.34.f (x)= 3x − 2x .

2.1.35.f (x)= 2tgx −5 sin x.

2.1.36.f (x)= 3ctgx + 2 cos x.

2.1.37.f (x)= 3x + 2 cos x.

2.1.38.f (x)= 5 cos x + ctgx.

76

2.1.39. f (x)= 4 sin x + 3 cos x. 2.1.40. f (x)= 2tgx + 3ctgx. 2.1.41. f (x)= 4 x − 3tgx.

2.1.42. f (x)= 2 arcsin x + 5arccosx. 2.1.43. f (x)= 9 cos x + 2 log3 x. 2.1.44. f (x)= 4 sin x − ln x.

2.1.45. f (x)= 5 sin x − 4tgx. 2.1.46. f (x)= 3tgx + log2 x. 2.1.47. f (x)= 5ctgx − log5 x. 2.1.48. f (x)= 3 cos x + 5 ln x.

2.1.49. f (x)= 5x − lg x

2.1.50. f (x)= arcsin x + 2arccosx. 2.1.51. f (x)= 3 ln x −5 cos x. 2.1.52. f (x)= 9 sin x − 2tgx. 2.1.53. f (x)= 3tgx − 2arctgx. 2.1.54. f (x)= 3x −5arctgx. 2.1.55. f (x)= 4 cos x −6ctgx.

2.1.56. f (x)= ex + ln x.

2.1.57. f (x)= 4 arcsin x −5arccosx. 2.1.58. f (x)= 3 sin x + 2 cos x. 2.1.59. f (x)= 2arctgx − 3arcctgx. 2.1.60. f (x)= log2 x + 4tgx.

2.1.61. f (x)= 1 + ex . 1 −ex

77

2.1.67.f (x)= ex sin x.

2.1.68.f (x)= ex cos x.

2.1.69.f (x)= x2 sin x.

2.1.70.f (x)= x3 cos x.

2.1.71.f (x)= x2 arcsin x.

2.1.72.f (x)= x2arccosx.

2.1.73.f (x)= x2 ln x.

2.1.74.f (x)= x3 lg x.

2.1.75.f (x)= ex tgx.

2.1.76.f (x)= (1 + x2 )sin x.

2.1.77.f (x)= x3ctgx.

2.1.78.f (x)= x2arctgx.

2.1.79.f (x)= 1 − 2x .

1+ 2x

2.1.80.f (x)= 1 +coscosx x .

78

2.1.81.f (x)= 6 x arctgx.

2.1.82.f (x)= elnx −x2 .

2.1.83.f (x)= extgx− x .

2.1.91.f (x)= sin(3x −1).

2.1.92.f (x)= (5 x − 2)4 .

2.1.93.f (x)= (3x2 + 1)3 .

2.1.94.f (x)= 2 sin(5 x − 2).

2.1.95.f (x)= arcsin 3x .

2.1.96. f (x)= x2 + 4 . 2.1.97. f (x)= 105−3 x .

79

2.1.98. f (x)= ln3 x.

2.1.105. f (x)= arctg (ln x).

2.1.106. f (x)= 1 −ex . 2.1.107. f (x)= 5 x2 −3 x+1 . 2.1.108. f (x)= 34−x2 .

2.1.109. f (x)= earccosx . 2.1.110. f (x)= ex3 .

2.1.111. f (x)= (3x2 −1)6 . 2.1.112. f (x)= sin4 x. 2.1.113. f (x)= cos3 x. 2.1.114. f (x)= tg3 x.

2.1.115. f (x)= arctgx2 .

2.1.116. f (x)= ln3 x. 2.1.117. f (x)= 3x3 +1 . 2.1.118. f (x)= etgx .

80

2.1.119. f (x)= ectgx . 2.1.120. f (x)= cos 2x .

2.1.128. f (x)= (x − 2) x2 + 1.

2.1.129. f (x)= cos x x+ 1 .

2.1.130. f (x)= e−x ln tgx. 2.1.131. f (x)= arctgx . 2.1.132. f (x)= arccos3 x.

2.1.133. f (x)= (1 + 3 x )3 . 2.1.134. f (x)= sin x ecos x . 2.1.135. f (x)= sin ex .

2.1.136. f (x)= 3sin x . 2.1.137. f (x)= x2 x . 2.1.138. f (x)= xln x .

2.1.139. f (x)= ln tgx.

81

2.1.140. f (x)= (1 + ln x)4 .

2.1.141. f (x)= e

2.1.142. f (x)= arctgx3 .

2.1.143. f (x)= cos3 4 x.

2.1.144. f (x)= sin 1x .

2.1.145. f (x)= arct1gx .

2.1.146. f (x)= (x3 + 2 x)4 .

2.1.147. f (x)= (2 sin x − 3 cos x)4 .

2.1.148. f (x)= tg2 5 x. 2.1.149. f (x)= esin2 x .

2.1.150. f (x)= arccosex .

82

2.2. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Геометрический смысл производной. Пусть дана функция и точка M (x0 , y0 ) на ее графике. Если в точке М к графику

функции f (x) проведена касательная, уравнение которой имеет вид

y = kx + b , пусть эта касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол α . Тогда тангенс угла α равен значению производной функции f (x) в точке касания и равен также коэффициенту k в уравнении касательной, то есть

83

Воспользуемся формулой (2.2.2):

y = 13 + 11(x − 2)

или

y = 11x −9.

Воспользуемся для составления уравнения касательной фор-

мулой (2.2.2):

y = −2 + 3(x + 1)

или

y = 3x + 1.

Воспользуемся для составления уравнения нормали форму-

лой (2.2.3):

y = −2 − 13 (x + 1)

или

y = − 13 x −73 .

84

Пример 2.2.4. В каких точках касательная к графику функции f (x)= 13 x3 − 52 x2 +7 x − 4 образует с положительным направле-

нием оси абсцисс угол 45°?

Решение. В соответствии с геометрическим смыслом производной (формула (2.2.1)) тангенс угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, равен значению произ-

водной в точке касания. Найдем производную функции f (x).

Пусть искомой точкой касания является точка M (x0 , y0 ). Тогда значение производной в точке М равно:

f ′ (x0 )= x0 2 −5 x0 +7.

Таким образом, в соответствии с геометрическим смыслом производной

86

Решение. Утверждение, что прямая параллельна оси абсцисс равносильно условию, что угол между ними равен нулю, а следовательно, тангенс этого угла равен нулю. Пусть такой точкой является

точка M (x0 , y0 ).

смыслом производной (формула (2.2.1)) в точке x0 производная функции f (x) должна равняться нулю. Найдем производную функ-

ции f (x).

f ′(x)= (x3 + x2 + 2 x −1)′ = 3x2 + 2 x + 2.

Поскольку дискриминант квадратного трехчлена

3x2 + 2 x + 2 отрицателен, ни при каком значении переменной x квадратный трехчлен не равен нулю, а следовательно, производная ни в одной точке не равна нулю, что означает, что ни в одной точке касательная не параллельна оси абсцисс, что и требовалось доказать.

Пример 2.2.6. Составить уравнение касательной к кривой, заданной параметрически

x = t2 −1,

y = t2 + t − 3

в точке M (3;−1).

Решение. Найдем значение параметра t, соответствующее точке М. Это значение должно удовлетворять системе уравнений

Корнями первого уравнения являются числа t1,2 = ±2; кор-

нями второго – числа -2 и 1. Таким образом, решением системы является значение параметра t = −2.

Найдем производные функций x (t ) и y (t ). xt′ (t )= (t2 −1)′ = 2t ,

87

yt′ (t )= (t2 + t − 3)′ = 2t + 1.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М равен

Механический смысл производной. Производная f ′ (x0 )

функции y = f (x), вычисленная при значении аргумента x0 , пред-

ставляет собой скорость изменения этой функции относительно не-

зависимой переменной x в точке x0 .

В частности, пусть прямолинейное движение материальной точки задано формулой

S = S (t ),

где S – пройденный путь; t – время движения. Тогда мгновенная точки (т. е. скорость точки в момент времени t ) равна

Мгновенное ускорение a (t ) точки (т. е. ускорение точки в момент времени t ) равно производной функции V (t ) или второй производной функции S (t ) то есть

88

Пример 2.2.7. Прямолинейное движение материальной точки задано формулой

S (t )= t3 + 2t2 + 4t −1,

где S – пройденный путь (в метрах); t – время движения (в секундах). Найти скорость и ускорение точки через 3 секунды после начала движения.

Решение. В соответствии с формулой (2.2.4) мгновенная скорость V (t ) точки равна

V (t )= S′ (t )= (t3 + 2t 2 + 4t −1)′ = 3t2 + 4t + 4.

Скорость точки через 3с. после начала движения равна

V (3)= 3 32 + 4 3 + 4 = 43.

Скорость равна 43м / с.

В соответствии с формулой (2.2.5) мгновенное ускорение a (t ) точки равно

a (t )=V ′ (t )= (3t2 + 4t + 4)′ = 6t + 4.

Ускорение точки через 3с. после начала движения равно a (3)= 6 3 + 4 = 22.

Ускорение равно 22м / с2 .

Пример 2.2.8. Прямолинейное движение материальной точки задано формулой

S (t )= 21 t4 −5t3 + 12t2 + 4t − 2,

где S – пройденный путь (в метрах); t – время движения (в секундах). В какие моменты времени ускорение движения точки равно нулю?

Решение. В соответствии с формулой (2.2.5) мгновенное ускорение точки равно

89

6t2 − 30t + 24 = 0 t2 −5t + 4 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа t1 = 1, t2 = 4.

Ускорение точки равно нулю через 1с. и через 4с. после начала движения.

Дифференциал функции. Пусть функция y = f (x) диффе-

ренцируема в точке x , то есть y = f ′(x) x +αΔx, где α – бесконечно малая при x → 0 . Тогда главная линейная часть прираще-

дифференциал dy в точке x0 есть приращение ординаты касательной при переходе от точки x0 к точке x0 + x .

90

f (x)− f (x0 )≈ f ′(x0 )(x − x0 ),

или

f (x)≈ f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ), (2.2.6)

Приближенное равенство (2.2.6) можно использовать в приближенных вычислениях. Для того, чтобы найти приближенное зна-

чение функции f (x) в точке x , нужно:

1.Найти достаточно близкое к x значение аргумента x0 , для которого значение f (x0 ) было бы вычислить достаточно легко.

2.Вычислить f (x0 ).

3.Найти производную f ′(x).

f (4,03)≈ f (4)+ f ′(4)(4,03 − 4)= 2 + 41 0,03 = 2,0075 ≈ 2,008.

Ответ: 2,008.

91