Получим:

= 61 π3 − 61 π4 = 18π − 24π = 72π .

Ответ: 72π .

Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:

b b

∫u(x)v′(x)dx = u(x) v (x) ba − ∫u′(x) v (x)dx. (3.2.8)

отрезке [a;b] и ϕ (t ) – непрерывно дифференцируема на отрезке

t1 ;t2 , где a = f (t1 ), b = f (t2 ). Тогда

190

Такое преобразование определенного интеграла называется

заменой переменной.

Часто удобно вводить новую переменную как функцию старой, т. е. полагать t =ψ (x). Тогда новыми пределами интегрирова-

ния являются числа t1 =ψ (a) и t2 =ψ (b).

Пример 3.2.5. Найти интеграл:

Пример 3.2.6. Найти интеграл:

191

t2 = π3 − 4 24π = π3 − π6 = π6 . Получим:

192

y

y = x2 + 1

x −1 O 2

Рис. 3.2.3

Воспользуемся формулой (3.2.10).

194

y

−π4

Рис. 3.2.4

Очевидно, фигура состоит из двух частей – на отрезке

Найдем площади этих фигур отдельно.

1) Первую из них вычислим по формуле (3.2.11).

2) Площадь второй фигуры найдем по формуле (3.2.10).

Площадь искомой фигуры равна сумме найденных площадей.

195

Пример 3.2.10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривы-

Решение. Рассмотрим фигуру, площадь которой мы ищем

(рис. 5).

y

Рис.3.2.5

Для вычисления площади фигуры воспользуемся формулой (3.2.12). Найдем сначала абсциссы точек пересечения кривых. Для этого следует решить уравнение

196

−arctg (−1)− 61 (−1)3 = π4 − 61 − −π4 + 61 =

=π4 − 61 + π4 − 61 = π2 − 31 .

Ответ: π2 − 13 .

Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образован-

ного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = a

и x = b (a < b), находится по формуле

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x =ϕ (y),

осью ординат и прямыми y = c и y = d (c < d ), находится по формуле

c

Пример 3.2.11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной гипер-

болой y = 4x , прямыми x = 3, x = 12 и осью абсцисс.

Решение. Воспользуемся формулой (3.2.13).

197

Ответ: 48π .

Пример 3.2.13. Воспользуемся формулой (3.2.13), чтобы вывести известную нам из школьного курса стереометрии формулу объема прямого кругового конуса

V = 13 π R2 H ,

где R – радиус основания, H – высота. Конус, имеющий перечисленные параметры, образуется при вращении вокруг оси абсцисс тре-

угольника, ограниченного прямыми y = HR x, x = H , а также осью

абсцисс (рис. 6). Этот треугольник является криволинейной трапецией и, следовательно, для вычисления объема тела вращения можно воспользоваться формулой (3.2.13).

198