Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения функции:

1.1.4.f (x)= log2 (x −1)+ x −1 2 .

1.1.5.f (x)= log2 (6 − x)+ log2 (x − 2).

1.1.6.f (x)= 1x− x .

1.1.7.f (x)= arcsin2 x −1x .

1.1.8.f (x)= logx (2 x −1).

14

1.2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некотороечисло an , тоговорят, чтозаданачисловаяпоследовательность.

Число an называется общим членом числовой последовательности. Числоваяпоследовательностьсобщимчленом an обозначается {an }.

Примеры числовых последовательностей:

1)2, 5, 8, ... an = 3n −1.

2)3, 6, 12, ... an = 3 2n .

5)1, 4, 9, … an = n2 .

6)sin1, sin 2, sin 3,... an = sin n.

Для того чтобы задать последовательность, чаще всего используются два способа: аналитический и рекуррентный.

Суть аналитического способа задания числовой последовательности состоит в том, что последовательность задается формулой

общего члена an = f (n). Например,

an = 2n + 3 или an = n12 .

Суть рекуррентного способа задания функции состоит в том, что задаются один или несколько первых членов последовательности и формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие. Примером рекуррентно заданной последовательности может служить последовательность Фибоначчи: эта

последовательность задается следующим образом: a1 = a2 = 1; an+2 = an + an+1 . Начало этой последовательности выглядит так:

1,1,2,3,5,8,13,... .

17

В школьном курсе алгебры изучаются два вида числовых последовательностей – арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Арифметической прогрессией называется числовая последо-

вательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему плюс некоторое число d, постоянное для данной последовательности. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Примерами арифметической прогрессии являются последовательности:

1)5, 8, 11, … an = 3n + 2 , d = 3.

2)25, 21, 17, … an = 29 − 4n , d = −4.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое число q , постоянное для данной

последовательности. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Примерами геометрической прогрессии являются последовательности:

1) 6,18,54,... an = 2 3n , q = 3.

Свойства числовых последовательностей. Последователь-

ность {an}называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что an ≤ M для любого n N . Число М называется верхней

границей последовательности. Примерами последовательностей, ограниченных сверху являются последовательности:

1)an = 5 − 2n. 3;1;−1;−3; ... .

2)an = −n3 .

−1;−8;−27 ;−64; ... .

18

Последовательность {an}называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что an ≥ m для любого n N . Число

М называется нижней границей после-довательности. Примерами последовательностей, ограниченных сверху являются последовательности:

1)an = 4n − 3.

1;5;9;13; ... .

2)an = 4n .

4;16;64;256; ... .

Последовательность {an} называется ограниченной, если она

является ограниченной и сверху и снизу, иными словами, числовая последовательность является ограниченной, если существует число М

такое, что an ≤ M для любого n N .

Примерами ограниченных последовательностей являются последовательности:

cos 1;cos 2;cos 3;cos 4; ... .

19

Числовая последовательность называется возрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (не

меньше) предыдущего, то есть an+1 > an (an+1 ≥ an ) для любого

n N . Примерами возрастающих последовательностей являются последовательности:

1)an = 5n + 1.

6;11;16;21; ... .

2)an = 3n−1 .

1;3;9;27 ; ... .

3)an = n n+ 1 .

21 ; 23 ; 43 ; 54 ; ... .

Примером неубывающей последовательности является после-

довательность: 1;2;2;3;3;3;4;4;4;4; ... .

Числовая последовательность называется убывающей (невозрастающей), если каждый ее член, начиная со второго, меньше (не

больше) предыдущего, то есть an+1 < an (an+1 ≤ an ) для любого

n N . Примерами убывающих последовательностей являются последовательности:

1)an = 3 − 2n. 1;−1;−3;−5; ... .

2)an = n12 .

1; 41 ; 91 ; 161 ; ... .

Примером невозрастающей последовательности является по-

следовательность: 1; 21 ; 21 ; 13 ; 13 ; 13 ; ... .

20

Числовая последовательность называется монотонной, если она является возрастающей (неубывающей) или убывающей (невозрастающей). Все приведенные выше последовательности являются монотонными. Примерами немонотонных последовательностей являются последовательности:

1) an = (−1)n n. −1;2;−3;4; ... .

(−1)n

2)an = n + 1 .

−21 ; 13 ;− 41 ; 51 ; ... .

Тот факт, что число а является пределом числовой последовательности {an} записывается так:

lim an = a.

n→∞

Если числовая последовательность имеет предел, она называ-

ется сходящейся.

Пример 1.2.1. Доказать, что число 0 является пределом число-

21

Доказательство. Пусть дано число ε > 0. Рассмотрим нера-

венство 0 − n1 < ε .

Решим это неравенство относительно п.

0 − n1 < ε n1 < ε n > ε1 .

ся неравенство 0 − n1 < ε , что в соответствии с определением преде-

целая часть числа р, то есть наибольшее целое число, не превосходящее р).

венство 1 − n n+ 1 < ε , что и доказывает утверждение.

22