Пример 1.2.3. Доказать, что lim 12 = 0.
n→∞ n
Доказательство. Пусть дано число ε > 0. Рассмотрим нера-
венство 0 − n12 < ε .
Решим его относительно п.
|
0 − |
1 |
|
< ε |
1 |
< ε n2 |
> |
1 |
n > |
1 |
. |
|||||
n2 |
|
ε |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
ε |
||||
Таким образом, если n > n , где |
n |
= |
1 |
+ 1 , то выполня- |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
ется неравенство |
|
0 − |
1 |
|
|
< ε , что в соответствии |
с определением |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
n2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
предела числовой последовательности доказывает, что lim 12 = 0 .
n→∞ n
Свойства пределов числовых последовательностей
Теорема 1.2.1. Если числовая последовательность сходится, то только к одному пределу.
Теорема 1.2.2. Если числовая последовательность сходится, то она ограничена.
Теорема 1.2.3. Если числовые последовательности {an } и
{bn } сходятся, и an ≤ bn для всех n N , то lim an ≤ lim bn .
n→∞ n→∞
Теорема 1.2.4. Пусть даны три последовательности {an },
{bn } и |
{cn } и для всех n N справедливо неравенство an ≤ bn ≤ cn |
|||
и lim a |
n |
= lim c |
n |
= b, то lim b = b. |
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ n |
||
Для вычисления пределов числовых последовательностей часто используются теоремы об арифметических операциях над пределами.
23
Теорема 1.2.5. Предел постоянной равен ей самой: |
|
lim c = c. |
(1.2.1) |
n→∞ |
|
В данном случае под постоянной мы понимаем стационарную последовательность, все члены которой равны с.
Теорема 1.2.6. Пусть lim a |
n |
= a и lim b |
= b. Тогда: |
|
n→∞ |
|
n→∞ n |
|
|
lim (an + bn )= a + b. |
(1.2.2) |
|||
n→∞ |
|
|
|
|
Теорема 1.2.7. Пусть lim a |
n |
= a и lim b |
= b. Тогда: |
|
n→∞ |
n→∞ n |
|
||
lim (an −bn )= a −b. |
(1.2.3) |
|||
n→∞ |
|
|
|
|
Теорема 1.2.8. Пусть lim a |
n |
= a и lim b |
= b. Тогда: |
|
n→∞ |
n→∞ n |
|
||
lim |
(an bn )= ab. |
(1.2.4) |
||
n→∞ |
|
|
|
|
Следствием этой теоремы является следующее свойство пре-
делов:
Теорема 1.2.9. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k an )= ka. (1.2.5)
n→∞
Теорема 1.2.10. Пусть lim a |
n |
= a и lim b |
= b. Тогда: |
||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|||
lim |
|
an |
|
= |
a |
|
, |
(1.2.6) |
|
|
|
|
|||||||
|
b |
||||||||
n→∞ |
|
b |
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
если b ≠ 0.
n2 − 2n + 5
Пример 1.2.4. Вычислить: lim 2 . n→∞ 2n + 3n + 1
Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на n2 .
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
2 |
|
+ |
|
|
5 |
|
|
|
lim |
|
1 |
− |
2 |
+ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
2 |
− 2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ 2n2 + 3n + 1 |
|
|
|
n→∞ |
2 + |
3 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
lim |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
lim |
(1)− lim |
|
|
|
|
+ lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1)− |
2 lim |
|
|
|
|
|
+ 5 lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 0 + 5 0 |
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
n→∞ |
|
n→∞ n |
n→∞ n |
|
|
|
= |
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
= |
= |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 + 3 0 +0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
( |
2)+ lim |
|
|
|
|
+ lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (2)+ 3 lim |
|
|
|
|
+ lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
n→∞ n |
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ n |
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
В ходе вычисления предела мы использовали свойства пределов: предел частного равен частному пределов (теорема 10); предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов (теоремы 6 и 7); постоянный множитель можно вынести за знак предела (теорема 9); предел постоянной равен ей самой (теорема 5). Использовали мы
также результат примера 1.2.1. ( lim 1 = 0 ), а также примера 1.2.3.
n→∞ n
( lim 12 = 0 ).
n→∞ n
Существует также связь между монотонностью, ограниченностью последовательности и ее сходимостью.
Теорема 1.2.11. Если последовательность возрастает (не убывает) и ограничена сверху, то она сходится.
Теорема 1.2.12. Если последовательность убывает (не возрастает) и ограничена снизу, то она сходится.
Бесконечно малые и бесконечно большие последователь-
ности. Последовательность {an } называется бесконечно малой, если для любого ε > 0 существует номер n0 , начиная с которого каждый член последовательности {an } по модулю меньше ε , т. е. an < ε .
Последовательность {an } называется бесконечно большой, если для любого M > 0 существует номер n0 , начиная с которого
25