В силу второго достаточного условия экстремума при β = π2

функция имеет максимум.

Таким образом, мы пришли к тому же выводу, что и в результате первого пути решения: среди всех равнобедренных треугольников с заданной боковой стороной наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Задачи для самостоятельного решения

Найти интервалы монотонности, экстремумы функции, интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

2.3.1.f (x)= 13 x3 − 2 x2 + 10 x − 3.

2.3.2.f (x)= 13 x3 − 2 x2 + 3x −1.

2.3.3.f (x)= 13 x3 + 2 x2 + 3x + 2.

2.3.4.f (x)= x3 −6 x2 + 9 x −5.

2.3.5.f (x)= x3 +6 x2 + 9 x −7.

2.3.6.f (x)= x3 + 9 x2 + 15 x −1.

2.3.7.f (x)= x3 −12 x2 +7 x − 3.

2.3.8.f (x)= x3 + 9 x2 −7 x − 4.

2.3.9.f (x)= 13 x3 −7 x2 + 48 x −12.

2.3.10.f (x)= x3 + 3x2 −9 x −5.

2.3.11.f (x)= x3 −6 x2 −5 x +7.

2.3.12.f (x)= 13 x3 +7 x2 + 40 x − 31.

137

2.3.13.f (x)= 13 x3 + 3x2 + 5 x −6.

2.3.14.f (x)= − 13 x3 + 4 x2 −15 x + 2.

2.3.15.f (x)= −x3 +6 x2 −9 x +7.

2.3.16.f (x)= − 13 x3 + 5 x2 − 21x − 4.

2.3.17.f (x)= x3 + 15 x2 + 27 x −11.

2.3.18.f (x)= −x3 − 3x2 + 9 x + 5.

2.3.19.f (x)= 13 x3 − 2 x2 + 10 x − 3.

2.3.20.f (x)= − 13 x3 + 112 x2 −10 x + 4.

2.3.21.f (x)= x3 −12 x2 + 21x −7.

2.3.22.f (x)= x3 + 12 x2 + 45 x −64.

2.3.23.f (x)= −x3 −9 x2 −15 x + 32.

2.3.24.f (x)= 13 x3 + 112 x2 + 30 x −74.

2.3.25.f (x)= 13 x3 − 4 x2 + 12 x −7.

2.3.26.f (x)= 13 x3 + 5 x2 −11x − 4.

2.3.27.f (x)= 13 x3 −6 x2 + 35 x −9.

2.3.28.f (x)= −x3 + 3x2 + 45 x − 31.

2.3.29.f (x)= 13 x3 + 9 x2 + 80 x − 21.

138

2.3.30. f (x)= 13 x3 + 2 x2 −5 x + 11.

Найти асимптоты заданных кривых:

2.3.31.f (x)= x +1 3 .

2.3.32.f (x)= xx22 +−93 .

139

2.3.44.f (x)= x2 −5 x + 3 .

x+ 2

2.3.50. f (x)= xe− x − 2.

2.3.51. f (x)= x − 2 + x2 . x2 + 9

2.3.52.f (x)= 4 x − sinx x .

2.3.53.f (x)= e−x2 + 2.

2.3.54.f (x)= xx +−13 .

2.3.55.f (x)= 3xx−−21 .

2.3.56.f (x)= xx +−12 .

2.3.57.f (x)= 32xx +−21 .

2.3.58.f (x)= x21−1 .

140

2.3.59.f (x)= x22− 4 .

2.3.60.f (x)= 9 −3x2 .

Исследовать функцию и построить график:

2.3.61.f (x)= x3 − 4 x2 − 3x +6.

2.3.62.f (x)= −x3 +6 x2 −9 x.

2.3.63.f (x)= 2xx++51 .

2.3.64.f (x)= x2 1+ 4 .

2.3.65.f (x)= 16 −8 x2 .

2.3.66.f (x)= 3x3 − x + 2.

2.3.67.f (x)= (x + 4)2 (x −5).

2.3.68.f (x)= x2 x− 4 .

2.3.69.f (x)= xx−2 3 .

2.3.70.f (x)= x2x−−31x .

2.3.71.f (x)= xx22 +−61 .

2.3.72.f (x)= x2 − 8x .

2.3.73.f (x)= x3x+2 4 .

141

2.3.76.f (x)= x + x42 .

2.3.77.f (x)= x3 x−8 .

2.3.81.f (x)= x2x−1 .

2.3.82.f (x)= 1x + 4 x2 .

2.3.86.f (x)= 1 + x21−1 .

2.3.87.f (x)= x4x+2 1 .

142

2.3.89.f (x)= xx−2 2 .

2.3.90.f (x)= 2x + 2x .

2.3.91.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= −3x2 + 4 x −8

на отрезке [0;1].

2.3.92. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 + 3x2 −9 x −7

на отрезке [−4; 3].

2.3.93. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 25 − x2

на отрезке [−4;4].

2.3.94. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 − 3x2 + 3x + 2

на отрезке [−2; 2].

2.3.95. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 3x4 + 4 x3 + 1

на отрезке [−2;1].

2.3.96. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= 3x + 3x

на отрезке [−5;−1].

2.3.97. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= 8x + 2x

на отрезке [1;6].

143

2.3.98. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x + x84

на отрезке [−2;−1].

2.3.99. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= x + x84

на отрезке [1; 3].

2.3.100. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 − 3x2 + 3

на отрезке [−1;1].

2.3.101. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x2 − 2 x + 2

на отрезке [−1; 2].

2.3.102. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 1 + 4 x − x2

на отрезке [0; 3].

2.3.103. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= 13 x3 − x2 + 1

на отрезке [−1;1].

2.3.104. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= 13 x3 + x2 + 1

на отрезке [−3;−1].

2.3.105. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f (x)= 31 x3 − 23 x2 + 2 x

на отрезке [0;3].

144

2.3.106. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 18 x2 + 8 x3 − 3x4

на отрезке [0;4].

2.3.107. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x4 − 2 x2

на отрезке [0; 2].

2.3.108. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 − 3x2

на отрезке [−4;1].

2.3.109. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 51 x5 + x + 4

2.3.110. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 −12 x

на отрезке [−1; 3].

2.3.111. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 2 x4 − x −1

на отрезке [0;1].

2.3.112. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 21 x4 − 2 x + 23

на отрезке [−1; 2].

2.3.113. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 − 3x2

на отрезке [1; 3].

145

2.3.114. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= −x4 + 2 x2 + 3

на отрезке [−2; 2].

2.3.115. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 2 x3 − 3x2 −12 x − 2

на отрезке [−2;1].

2.3.116. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= 3x3 −9 x2 + 3

на отрезке [−1;1].

2.3.117. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 −12 x + 11

на отрезке [−5; 3].

2.3.118. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x4 − 2 x2 + 5

на отрезке [−2; 2].

2.3.119. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)= x3 − 3x2 −9 x

на отрезке [−3;4].

2.3.120. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x)=7 + 4 x3 − x4

на отрезке [−1; 3].

146

3. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Первообразная. Свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Основные приемы интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла.

Рекомендованная литература

1.Алгебра и начала анализ. Ч. 2: Учебник для техникумов / М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н. Яковлев и др.

/Под ред. Г.Н. Яковлева. М.: Наука, глава 3, § 10-12; глава 4, § 13-22;

глава 5, § 23-25.

2.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. М.: Высшая школа, 1983, глава 11, § 1-7, глава 12, § 1-3; глава 13, § 1.

3.Рассолов М.М., Чубукова С.Г., Элькин В.Д. Элементы высшей математики для юристов: Учебное пособие. М.: Юристъ, 1999,

глава 2, § 3, с. 56-70.

4.Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М. Математика: Учебный курс для юристов. М.: Юрайт, 1999, глава 6, § 3, с. 123-133.

Номер студента Номера задач для индивидуального выполнения по списку

13.1.01.; 3.1.31.; 3.1.61.; 3.1.91.; 3.1.121.; 3.1.151.; 3.2.01.; 3.2.31.; 3.2.46.; 3.3.01.

23.1.02.; 3.1.32.; 3.1.62.; 3.1.92.; 3.1.122.; 3.1.152.; 3.2.02.; 3.2.32.; 3.2.47.; 3.3.02.

33.1.03.; 3.1.33.; 3.1.63.; 3.1.93.; 3.1.123.; 3.1.153.; 3.2.03.; 3.2.33.; 3.2.48.; 3.3.03.

43.1.04.; 3.1.34.; 3.1.64.; 3.1.94.; 3.1.124.; 3.1.154.; 3.2.04.; 3.2.34.; 3.2.49.; 3.3.04.

53.1.05.; 3.1.35.; 3.1.65.; 3.1.95.; 3.1.125.; 3.1.155.; 3.2.05.; 3.2.35.; 3.2.50.; 3.3.05.

63.1.06.; 3.1.36.; 3.1.66.; 3.1.96.; 3.1.126.; 3.1.156.; 3.2.06.; 3.2.36.; 3.2.51.; 3.3.06.

73.1.07.; 3.1.37.; 3.1.67.; 3.1.97.; 3.1.127.; 3.1.157.; 3.2.07.; 3.2.37.; 3.2.52.; 3.3.07.

83.1.08.; 3.1.38.; 3.1.68.; 3.1.98.; 3.1.128.; 3.1.158.; 3.2.08.; 3.2.38.; 3.2.53.; 3.3.08.

147

93.1.09.; 3.1.39.; 3.1.69.; 3.1.99.; 3.1.129.; 3.1.159.; 3.2.09.; 3.2.39.; 3.2.54.; 3.3.09.

103.1.10.; 3.1.40.; 3.1.70.; 3.1.100.; 3.1.130.; 3.1.160.; 3.2.10.; 3.2.40.; 3.2.55.; 3.3.10.

113.1.11.; 3.1.41.; 3.1.71.; 3.1.101.; 3.1.131.; 3.1.161.; 3.2.11.; 3.2.41.; 3.2.56.; 3.3.11.

123.1.12.; 3.1.42.; 3.1.72.; 3.1.102.; 3.1.132.; 3.1.162.; 3.2.12.; 3.2.42.; 3.2.57.; 3.3.12.

133.1.13.; 3.1.43.; 3.1.73.; 3.1.103.; 3.1.133.; 3.1.163.; 3.2.13.; 3.2.43.; 3.2.58.; 3.3.13.

143.1.14.; 3.1.44.; 3.1.74.; 3.1.104.; 3.1.134.; 3.1.164.; 3.2.14.; 3.2.44.; 3.2.59.; 3.3.14.

153.1.15.; 3.1.45.; 3.1.75.; 3.1.105.; 3.1.135.; 3.1.165.; 3.2.15.; 3.2.45.; 3.2.60.; 3.3.15.

163.1.16.; 3.1.46.; 3.1.76.; 3.1.106.; 3.1.136.; 3.1.166.; 3.2.16.; 3.2.31.; 3.2.46.; 3.3.01.

173.1.17.; 3.1.47.; 3.1.77.; 3.1.107.; 3.1.137.; 3.1.167.; 3.2.17.; 3.2.32.; 3.2.47.; 3.3.02.

183.1.18.; 3.1.48.; 3.1.78.; 3.1.108.; 3.1.138.; 3.1.168.; 3.2.18.; 3.2.33.; 3.2.48.; 3.3.03.

193.1.19.; 3.1.49.; 3.1.79.; 3.1.109.; 3.1.139.; 3.1.169.; 3.2.19.; 3.2.34.; 3.2.49.; 3.3.04.

203.1.20.; 3.1.50.; 3.1.80.; 3.1.110.; 3.1.140.; 3.1.170.; 3.2.20.; 3.2.35.; 3.2.50.; 3.3.05.

213.1.21.; 3.1.51.; 3.1.81.; 3.1.111.; 3.1.141.; 3.1.171.; 3.2.21.; 3.2.36.; 3.2.51.; 3.3.06.

223.1.22.; 3.1.52.; 3.1.82.; 3.1.112.; 3.1.142.; 3.1.172.; 3.2.22.; 3.2.37.; 3.2.52.; 3.3.07.

233.1.23.; 3.1.53.; 3.1.83.; 3.1.113.; 3.1.143.; 3.1.173.; 3.2.23.; 3.2.38.; 3.2.53.; 3.3.08.

243.1.24.; 3.1.54.; 3.1.84.; 3.1.114.; 3.1.144.; 3.1.174.; 3.2.24.; 3.2.39.; 3.2.54.; 3.3.09.

253.1.25.; 3.1.55.; 3.1.85.; 3.1.115.; 3.1.145.; 3.1.175.; 3.2.25.; 3.2.40.; 3.2.55.; 3.3.10.

263.1.26.; 3.1.56.; 3.1.86.; 3.1.116.; 3.1.146.; 3.1.176.; 3.2.26.; 3.2.41.; 3.2.56.; 3.3.11.

273.1.27.; 3.1.57.; 3.1.87.; 3.1.117.; 3.1.147.; 3.1.177.; 3.2.27.; 3.2.42.; 3.2.57.; 3.3.12.

283.1.28.; 3.1.58.; 3.1.88.; 3.1.118.; 3.1.148.; 3.1.178.; 3.2.28.; 3.2.43.; 3.2.58.; 3.3.13.

293.1.29.; 3.1.59.; 3.1.89.; 3.1.119.; 3.1.149.; 3.1.179.; 3.2.29.; 3.2.44.; 3.2.59.; 3.3.14.

303.1.30.; 3.1.60.; 3.1.90.; 3.1.120.; 3.1.150.; 3.1.180.; 3.2.30.; 3.2.45.; 3.2.60.; 3.3.15.

148

3.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1.1.Основные свойства первообразной

инеопределенного интеграла

Первообразная. Функция F (x) называется первообразной

для функции f (x), если для любого x из области определения

функции f (x) выполнено равенство F′ (x)= f (x).

Примеры:

1) Первообразной для функции cos x является функция sin x, т. к. (sin x)′ = cos x.

2) Первообразной для функции sin x является функция

−cos x, т. к. (−cos x)′ = sin x.

3)Первообразной для функции x2 является функция 13 x3 ,

т.к. (ln x)′ = 1x .

Теорема 3.1.1 (основное свойство первообразной). Любые две первообразные данной функции f (x) различаются постоянной величиной.

Следствие из теоремы 3.1.1. Пусть F (x) – первообразная для f (x). Тогда функция F (x)+C при любом значении постоян-

ной С также является первообразной для f (x).

149