4. Показатели направления зависимости: эмпирическая линия регрессии (для сгруппированных данных), теоретическая линия регрессии.
Эмпирическая линия регрессии показывает как в среднем изменяется признак-результат «y» в зависимости от изменения признака-фактора «х» при условии неизменности всех остальных факторов. Эмпирическая линия регрессии применяется только для сгруппированных данных, она равна:
Втором показателем направления зависимость является теоретическая линия регрессии, которая показывает как в среднем изменяется признак-результат «y» в зависимости от изменения признака-фактора «х» при полном исключении всех остальных факторов.
Теоретическая линия регрессии строится по результатам математическим функциям в зависимости от исходных данных1.
Теоретическая линия регрессии по прямой равна:
,
где
а – параметр, который показывает высоту графика и экономического смысла не имеет;
b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько в среднем изменится признак-результат «y» при увеличении признака-фактора «х» на единицу измерения (то есть параметр b изучает направление признака-результата).
Для определения параметров (а и b) необходимо решить систему нормальных уравнений.
Для несгруппированных данных:
Для сгруппированный данных:
Показатели направления зависимости для сгруппированных данных.
Рассчитаем эти показатели для сгруппированных данных по данным корреляционной таблице.
Значения эмпирической линии регрессии следующие:
для
для
для
для
Нанесем эти значения на графики – на поле корреляции.
Находим параметры (а и b) при помощи системы нормальных уравнений:
Получаем значение параметров:
Коэффициент регрессии b показывает, что с увеличением производительности на 1 руб./чел., товарная продукция вырастает на 1,162 тыс. руб.
Теоретическая линия регрессии равна:
Значение теоретической линии регрессии такие:
для
для
для
для
Нанесем на рисунок теоретическую линию регрессии.
Показатели направления зависимости для несгруппированных данных.
Рассчитаем показатель направления зависимости – теоретическую линию регрессии для несгруппированных данных. Для этого на основании таблицы 15 определим направление зависимости среднесуточного производства продукции «y» (тыс. руб.) от «х» - простоев (в % к календарному времени работы).
Таблица 15
Зависимость среднесуточного производства продукции от простоев
|
№ п/п |
Простой в % к календарному времени работы |
Среднесуточное производство продукции, тыс. шт. |
|
|
xy |
bx |
|
|
|
|
|
|
«х» |
«y» | ||||||||||
|
А |
1 |
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
35,5 |
3,8 |
1260,25 |
14,42 |
134,9 |
-7,7 |
2,62 |
-2,88 |
8,2944 |
-4,06 |
16,4836 |
|
2 |
29,5 |
3,7 |
870,25 |
13,69 |
109,15 |
-6,4 |
3,92 |
-2,98 |
8,8804 |
-2,76 |
7,6176 |
|
3 |
24,2 |
4,2 |
585,64 |
17,64 |
101,64 |
-5,22 |
5,1 |
-2,48 |
6,1504 |
-1,58 |
2,4964 |
|
4 |
17,9 |
5,4 |
320,41 |
29,16 |
96,66 |
-3,88 |
6,44 |
-1,28 |
1,6384 |
-0,24 |
0,0576 |
|
5 |
14,5 |
6,5 |
210,25 |
42,25 |
94,25 |
-3,12 |
7,22 |
-0,18 |
0,0324 |
0,52 |
0,2704 |
|
6 |
10,4 |
7,9 |
108,16 |
62,41 |
82,16 |
-2,26 |
8,06 |
1,22 |
1,4884 |
1,38 |
1,9044 |
|
7 |
9,3 |
9,1 |
86,19 |
82,81 |
84,63 |
-2,02 |
8,3 |
2,42 |
5,8564 |
1,62 |
2,6244 |
|
8 |
9,1 |
9,1 |
82,81 |
82,81 |
82,81 |
-1,97 |
8,35 |
2,42 |
5,8564 |
1,67 |
2,7889 |
|
9 |
9,0 |
8,8 |
81 |
77,44 |
79,2 |
-1,92 |
8,4 |
2,12 |
4,4944 |
1,72 |
2,9584 |
|
10 |
8,8 |
8,3 |
77,44 |
68,89 |
73,04 |
-1,91 |
8,41 |
1,62 |
2,6244 |
1,78 |
2,9929 |
|
итого |
|
|
=3682,7 |
|
|
|
=66,8 |
|
|
|
|
=168,2
=66,8
=491,54
=938,44
=45,316
=40,1946
Найдем параметры
теоретической линии регрессии -
,
при помощи решение системы нормальных
уравнений.
Получаем значение параметров:
- коэффициент
регрессии показывает, что с ростом
простоев на 1% к календарному времени
работы среднесуточное производство
продукции снизилось на 0,21689 тыс. шт. или
на 216,89 шт.
Теоретическая линия регрессии равна:
Значение теоретической линии регрессии такие:
для:
Надо отметить, что при выборе вида теоретической линии регрессии можно не только воспользоваться графическими изображениями эмпирических данных и эмпирическим путем определять вид направления зависимости, но и можно использовать метод конечных разностей между последующими и предыдущими вариантами.
Так если первые
разности между последующими и предыдущими
вариантами одинаковы, т.е.
,
то теоретическая линия регрессии
выражается линейным уравнением
.
Если вторые разности
вариантов рядов распределения одинаковые,
т.е.
,
то теоретическая линия регрессии
выражается параболой второго порядка
.
Данное уравнения позволяет выявить не
только скорость изменения вариантов
«х»,
которую отражает коэффициент регрессии
– «b»,
но и ускорение, которое учитывает
параметр «с».
Для определения параметров a, b и с решаются следующие уравнения нормальных уравнений:
Для несгруппированных данных:
Для сгруппированных данных:
Надо отметить, что криволинейную тенденцию во многих случаях можно аппроксимировать при помощи параболы более высокого порядка:
Существуют и другие методы при выборе формы уравнения1.
5. Показатели тесноты связи: коэффициент корреляции, эмпирическое корреляционное отношение (для сгруппированных данных), теоретическое корреляционное отношение (для сгруппированных и несгруппированных данных).
Показатели тесноты связи показывают, какой удельный вес занимает признак-фактор «x» среди всех факторов, влияющих на признак-результат – «y». Они отвечают на вопрос: насколько необходимо изучение данной связи между признаками и целесообразности её практического применения, а также позволяет выявить наиболее значимые факторы, которые являются решающими при формировании результативного признака.
Коэффициент корреляции2 r является показателем тесноты связи. Он измеряется так же и направление зависимости.
Коэффициент корреляции равен:
Для сгруппированных данных:
Для не сгруппированных данных:
Если коэффициент корреляции принимает значение:
- от 0
до 0,45, то связь междух
и y
– слабая
- от 0,4
до 0,6, то связь междух
и y
– средняя
- от 0,6
до 0,8, то связь междух
и y
– сильная
- от 0,8
до 1 – очень тесная
Кроме того, коэффициент корреляции, как указано выше, показывает направление зависимости.
Если коэффициент корреляции принимает значение: от -1 до 0, то связь обратная.
Если коэффициент
корреляции принимает значение от 0 до
1 – то связь прямая. Если
=
0, то связь отсутствует, если
=
1, то связь функциональная.
Коэффициент корреляции применяется только для прямолинейной связи.
Эмпирическое корреляционное отношение – ρ, которое является универсальным показателем тесноты связи, так как применяется для прямо или криволинейной зависимости. Но в отличие от коэффициента корреляции, этот показатель не показывает направления связи. Он применяется только для сгруппированных данных. Эмпирическое корреляционное отношение равно:
,
где
- дисперсия по
эмпирической линии регрессии
или
- общая дисперсия
Степень тесноты связи у эмпирического корреляционного отношения такая же как у коэффициента корреляции.
При прямолинейной зависимости эмпирическое корреляционное отношение всегда будет немножко больше, чем абсолютное значение коэффициента корреляции.
Теоретическое
корреляционное отношение
–
,
где:
Для сгруппированных данных:
- дисперсия по
теоретической линии регрессии
Расчет:
общая дисперсия см. выше
Для несгруппированных данных:
- дисперсия по
теоретической линии регрессии
- дисперсия по
теоретической линии регрессии
- общая дисперсия
Поэтому, для несгруппированных данных теоретическое корреляционное отношение примет такой вид:
Теоретическое корреляционное отношение так же, как и эмпирическое корреляционное отношение является универсальным показателем, так как применяется при прямолинейной и криволинейной зависимости.
Степень тесноты связи у теоретического корреляционного отношения такая же как у коэффициента корреляции и у эмпирического корреляционного отношения.
При прямолинейной зависимости теоретическое корреляционное отношение будет всегда равно коэффициенту корреляции. А эмпирическое корреляционное отношение всегда будет незначительно больше теоретического корреляционного отношения.
Рассмотрим показатели тесноты связи для сгруппированных данных. Для расчета воспользуемся корреляционной таблицей зависимости товарной продукции «y» от производительности труда «х» (см. табл. 14).
Коэффициент корреляции равен:
или 63,5%, т.е. связь
между производительностью труда и
товарной продукцией будет тесная,
прямолинейная корреляционная, на 63,5%
изменения товарной продукции зависят
от изменения производительности труда,
и на 36,5% - от других факторов (учтенных
и не учтенных).
Эмпирическое корреляционное отношение равно:
,
где
Таким образом, связь между производительностью труда и товарной продукцией будет тесная, корреляционная; на 66% изменение товарной продукции зависит от изменения производительности труда.
Теоретическое корреляционное отношение равно:
или 63,5%
1
Таким образом,
связь между производительностью труда
и товарной продукцией будет тесная,
корреляционная; на 63,5% изменение товарной
продукции зависит от изменения
производительности труда. Мы видим, что
.
Далее рассчитаем показатели тесноты связи для несгруппированных данных на основе таблицы …
Коэффициент корреляции равен:
Связь между среднесуточным производством продукции и простоями будет обратная, довольно-таки тесная; т.е. на 94% среднесуточное производство зависит от снижения простоев, а на 6 % от других факторов.
Теоретическое корреляционное отношение равно:
Таким образом, связь между среднесуточным производством продукции и простоями будет довольно таки тесная и на 94% среднесуточное производство зависит от простоев.