Стереометрія

5. Коло зображується еліпсом.

Якщо A1B1 — проекція хорди AB (див. рисунок), то, щоб побудувати зображення діаметра, перпендикулярного до AB, досить провести пряму через центр О і середину A1B1. (Діаметр, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину.)

A1

O B1

Перпендикулярність прямих і площин

Дві прямі називаються п е р п е н д и к у л я р н­ и м и, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Теорема  1.  Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні.

Теорема  2.  Через будь-яку точку прямої у просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих (див. рисунок). (Усі прямі лежать у площині, яка перпендикулярна до даної прямої і перетинає її у даній точці.)

a

αA

Через будь-яку точку в просторі, що не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну. Це буде та перпендикулярна до даної прямої пряма, яка лежить у площині, визначеній даними прямою й точкою:

301

Геометрія

A

αa

Зверніть увагу, що в просторі дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, не обов’язково паралельні.

Пряма, яка перетинає площину, називається п е р ­ п е н д и к у л я р н о ю д о ц і є ї п л о щ и н и, якщо вона пер-

пендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині й проходить через точку перетину даної прямої та площини (див. рисунок).

a

αA

Теорема 3. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини (див. рисунок).

a

Ab

αc

302

Стереометрія

Зверніть увагу: якщо пряма перпендикулярна до однієї прямої площини, то цього не досить для перпендикулярності прямої і площини.

На рисунку a b,але a не перпендикулярна до β,зокрема a не перпендикулярна до с.

αa

b

β c

Теорема 4. Через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини, і тільки одну­ .

Теорема 5. Через дану точку площини можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї пряму.

Теорема 6. Через дану точку прямої можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї площину.

Теорема 7. Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести одну, й тільки одну, площину, перпендикулярну до даної прямої.

Теорема 8. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до

Теорема 9. Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої площини, паралельні.

303

Геометрія

Перпендикуляр і похила

П е р п е н д и к у л я р о м, опущеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини й лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається о с н о в о ю п е р п е н д и к у л я р а. В і д с т а н н ю в і д т о ч к и д о п л о щ и н и називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на пло­ щину.

На рисунку AB — перпендикуляр; AC — похила; BC — проекція.

A

B

αC

В і д с т а н н ю в і д п р я м о ї д о п а р а л е л ьн о ї їй п л о щ и н и називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.

В і д с т а н н ю м і ж п а р а л е л ьн и м и п л о щ и н а м и

називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.

П о х и л о ю, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається

о с н о в о ю п о х и л о ї.

Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається

п р о е к ц і є ю п о х­ и л ої.

Властивості похилих, проведених з однієї точки до однієї площини

1.Похилі, проведені до площини з однієї точки (рисунок нижче зліва), рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають рівні проекції.

304