Трикутники

Середня лінія трикутника

С е р е д н ь о ю л і н і є ю т р и к у т н и к а називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

Теорема 1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині.

На рисунку праворуч:

MN AC;

MN = 1 AC.

2

B

MN

AC

Утрикутнику можна провести три середні лінії. Вони утворюють трикутник з такими ж кутами, як даний, і вдвічі меншими сторонами­ .

На рисунку нижче ABC — трикутник; MN, NK, MK — його середні лінії.

Чотирикутники AMNK, BNKM, MNCK — паралелогра-

ми.

B

M N

A K C

250

планіметрія. Трикутники

Теорема 2. Середня лінія трикутника ділить навпіл висоту, бісектрису, медіану трикутника, що проведені до паралельної їй сторони:

Спираючись на властивість середньої лінії, легко довести, що:

1)середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма (рисунок нижче ­зліва);

2)середини сторін прямокутника є вершинами ромба (рисунок посередині);

3)середини сторін ромба є вершинами прямокутника (рисунок справа);

B

N

M C

K

A P D

4)середини сторін квадрата є вершинами квадрата (рисунок нижче зліва);

5)медіани довільного трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини ( BO = 2OD і т. д.) (рисунок справа).

251

Геометрія

B

K N

O

A D C

Теорема Піфагора

Теорема 1 (Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Правильною є і теорема, обернена до теореми Піфагора. Теорема 2 (обернена). Коли в трикутнику сторони a, b, c і a2 + b2 = c2 , то цей трикутник є прямокутним з гіпоте-

нузою c.

Теорема 3. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу.

Доцільно пам’ятати довжину сторін деяких прямокутних трикутників.

Єгипетський трикутник: сторони дорівнюють 3, 4, 5 одиниць. Тобто можливі варіанти: 3, 4, 5 або 6, 8, 10, або

3k, 4k, 5k, де k   N.

Також прямокутними є трикутники зі сторонами,

які дорівнюють 5k, 12k, 13k; 8k, 15k, 17k; 7k, 24k, 25k, де k   N.

Перпендикуляр і похила

Нехай BA — п е р п е н д и к у л я р, опущений із точки B на пряму a, а С — будь-яка точка прямої a, відмінна від A (див. рисунок). Відрізок BC називається п о х и л о ю, проведеною з точки B до прямої a. Точка С називається о с н о ­ в о ю п о х и л о ї. Відрізок AС називається п р о е к ц і є ю п о х и л о ї.

252

планіметрія. Трикутники

B

a

AC

Властивості похилих

Теорема. Коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції, а з двох похилих більша та, у якої проекція більша.

На рисунку BD, BC, BP — похилі, AB — перпендику-

ляр, BC = BD; BC > BA; AD = AC.

B

D A C P

Нерівність трикутника

Теорема. Які б не були три точки, відстань між будьякими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них до третьої точки.

Звідси випливає, що у будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін, але більша за модуль різниці двох інших сторін.

Якщо a, b і c — сторони трикутника (див. рисунок), то b−c < a < b+c;

a−c < b < a+c;

b−a < c < b+a.

b

c

a

253