- •Передмова
- •АРИФМЕТИКА
- •Натуральні числа і дії над ними
- •Дії над натуральними числами
- •Числові та буквені вирази
- •Формули
- •Рівняння
- •Звичайні дроби
- •Порівняння звичайних дробів
- •Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
- •Додавання і віднімання мішаних чисел з однаковими знаменниками
- •Десяткові дроби
- •Властивості десяткового дробу
- •Дії з десятковими дробами
- •Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів
- •Порівняння
- •Округлення
- •Перетворення звичайного дробу на десятковий і навпаки
- •Середнє арифметичне
- •Відсотки
- •Масштаб
- •Діаграми
- •Числовий промінь
- •Подільність натуральних чисел
- •Дільники і кратні
- •Прості й складені числа
- •Степінь
- •Розкладання числа на прості множники
- •Найменше спільне кратне (НСК)
- •Дії над звичайними дробами
- •Основна властивість дробу
- •Зведення дробів до спільного знаменника
- •Порівняння, додавання та віднімання дробів
- •Перетворення звичайних дробів на десяткові
- •Множення звичайних дробів
- •Взаємно обернені числа
- •Ділення звичайних дробів
- •Основна властивість пропорції
- •Пряма та обернена пропорційність
- •Приклади розв’язування типових завдань
- •Рівняння
- •Задачі на дроби
- •Задачі на рух
- •Комбінаторні задачі
- •Задачі на знаходження частини від числа
- •Задачі на пряму та обернену пропорційність
- •Задачі на пропорційне ділення
- •Задачі на відсотки
- •Задачі на спільну роботу
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •АЛГЕБРА ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ
- •Дійсні числа
- •Додатні та від’ємні числа
- •Множини чисел
- •Модуль числа
- •Порівняння чисел
- •Дії над дійсними числами
- •Вирази
- •Одночлени
- •Степінь з натуральним показником
- •Одночлен і його стандартний вигляд
- •Многочлени
- •Множення одночлена на многочлен
- •Множення многочлена на многочлен
- •Розкладання многочленів на множники
- •Формули скороченого множення
- •Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •Раціональні вирази
- •Основна властивість дробу. Скорочення дробів
- •Додавання та віднімання дробів
- •Множення, ділення й піднесення до степеня дробів
- •Перетворення раціональних виразів
- •Корені. Ірраціональні вирази
- •Квадратний корень
- •Кoрінь n-го степеня та його властивості
- •Найпростіші перетворення радикалів
- •Узагальнення поняття степеня
- •Основнi означення
- •Властивості степеня з раціональним показником
- •Поняття степеня з ірраціональним показником
- •Логарифм числа
- •Властивості логарифмів
- •Модуль і його властивості
- •Властивості модуля
- •Функції та графіки
- •Лінійна функція
- •Обернена пропорційність
- •Функція y=x2
- •Властивості функцій
- •Перетворення графіків функцій
- •Квадратична функція
- •Екстремуми функції
- •Степенева функція
- •Показникова функція
- •Логарифмічна функція
- •Тригонометричні функції
- •Радіанна система вимірювання кутів і дуг
- •Тригонометричні функції числового аргументу
- •Знаки тригонометричних функцій
- •Періодичність тригонометричних функцій
- •Графіки тригонометричних функцій
- •Властивості тригонометричних функцій
- •Поняття про обернену функцію
- •Рівняння
- •Основні властивості рівнянь
- •Лінійні рівняння з одним невідомим
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Дробові раціональні рівняння
- •Квадратні рівняння
- •Рівняння, що зводяться до квадратних
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
- •Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь
- •Ірраціональні рівняння
- •Розв’язування логарифмічних рівнянь
- •Розв’язування рівнянь графічним способом
- •Системи рівнянь
- •Лінійне рівняння з двома невідомими
- •Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •Розв’язування систем рівнянь другого степеня
- •Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь
- •Нерівності
- •Властивості числових нерівностей
- •НерівностІ з однією змінною
- •Числові проміжки
- •Властивості нерівностей зі змінними
- •Нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним
- •Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
- •Розв’язування показникових нерівностей
- •Логарифмічні нерівності
- •Системи нерівностей з однією змінною
- •ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
- •Послідовності
- •Арифметична прогресія
- •Геометрична прогресія
- •Границя
- •Границя числової послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Основні теореми про границі числової послідовності
- •Границя функції
- •Основні теореми про границі функцій
- •Неперервність функції в точці
- •Основні властивості неперервних функцій
- •Метод інтервалів
- •Похідні елементарних функцій
- •Застосування похідної
- •Інтеграл і його застосування
- •Поняття первісної функції
- •Правила знаходження первісних
- •Таблиця первісних
- •Інтеграл
- •КОМБІНАТОРИКА. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
- •Елементи комбінаторики
- •Початки теорії ймовірностей
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •Вступ до статистики
- •Основні властивості найпростіших геометричних фігур
- •Суміжні й вертикальні кути
- •Властивості суміжних кутів
- •Властивості вертикальних кутів
- •Перпендикуляр
- •Паралельні прямі
- •Бісектриса
- •Висота, бісектриса, медіана трикутника
- •Рівнобедрений трикутник
- •Рівносторонній трикутник
- •Ознаки рівнобедреного трикутника
- •Сума кутів трикутника
- •Прямокутний трикутник
- •Коло
- •Геометричне місце точок
- •Пряма й обернена теореми
- •Доведення від супротивного
- •Приклади розв’язування типових задач
- •Чотирикутники
- •Паралелограм
- •Прямокутник
- •Ромб
- •Квадрат
- •Трапеція
- •Теорема Фалеса
- •Трикутники
- •Середня лінія трикутника
- •Теорема Піфагора
- •Перпендикуляр і похила
- •Нерівність трикутника
- •Співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника
- •Властивості руху
- •Симетрія відносно точки
- •Симетрія відносно прямої
- •Поворот
- •Паралельне перенесення та його властивості
- •Співнаправленість півпрямих
- •Властивості перетворення подібності
- •Властивості подібних фігур
- •Кути, пов’язані з колом
- •Кути, вписані в коло
- •Пропорційність відрізків хорд і січних кола
- •Вписані й описані чотирикутники
- •Розв’язування трикутників
- •Теорема косинусів
- •Теорема синусів
- •Розв’язування трикутників
- •Правильні многокутники
- •Довжина кола
- •Площі фігур
- •Площа паралелограма
- •Площа прямокутника
- •Площа ромба
- •Площа квадрата
- •Площа трикутника
- •Площа трапеції
- •Площа чотирикутника
- •Площа круга
- •Площі подібних фігур
- •Аксіоми стереометрії
- •Паралельність прямих і площини
- •Ознака паралельності прямих
- •Ознака паралельності прямої і площини
- •Ознака паралельності площин
- •Властивості паралельних площин
- •Зображення просторових фігур на площині
- •Перпендикулярність прямих і площин
- •Перпендикуляр і похила
- •Теорема про три перпендикуляри
- •Перпендикулярність площин
- •Відстань між мимобіжними прямими
- •Кут між мимобіжними прямими
- •Кут між прямою та площиною
- •Кут між площинами
- •Многогранники
- •Двогранний кут
- •Тригранний і многогранний кути
- •Многогранники
- •Тіла обертання
- •Конус
- •Зрізаний конус
- •Куля
- •Комбінації геометричних тіл
- •Циліндр, вписаний у кулю
- •Циліндр, описаний навколо кулі
- •Конус, вписаний у кулю
- •Куля, вписана в конус
- •Інші комбінації геометричних тіл
- •Описані кулі
- •Вписані кулі
- •Декартові координати на площині
- •Координатна площина
- •Координати середини відрізка
- •Відстань між точками
- •Рівняння кола
- •Рівняння прямої
- •Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будь-якого кута від 0° до 180°
- •Вектори на площині
- •Координати векторa
- •Додавання векторів
- •Множення вектора на число
- •Скалярний добуток векторів
- •Розкладання вектора за координатними осями
- •Декартові координати в просторі
- •Перетворення в просторі
- •Подібність просторових фігур
- •Вектори в просторі
- •Предметний покажчик
АРИФМЕТИКА
2.Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від’ємник:
x−23 =14,
x=14+23,
x=37.
3.Щоб знайти невідомий від’ємник, треба від зменшуваного відняти різницю:
35−x =15,
x=35−15,
x=20.
4.Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділили на відомий множник:
7x =630,
x=630:7,
x= 90.
5.Щоб знайти невідоме ділене, треба дільник помножити на частку:
x:25 =6,
x=25 6,
x=150.
6.Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку:
273:x =3,
x=273:3,
x= 91.
Звичайні дроби
Записи виду 73 називаються звичайними д р о б а -
ми або д р о б ами.
Звичайні дроби записують за допомогою двох натуральних чисел та горизонтальної риски, яка називається
10
Звичайні дроби
дробовою рискою. Число, записане під рискою, називається знам е ннико м дробу, а число, записане над рискою,— чи се льнико м. Знаменник показує, на скільки рівних частин поділено одиницю (ціле), а чисельник — скільки таких частин узято. Дробова риска заміняє, по суті, знак ділення.
Отже, частка від ділення одного числа на друге дорівнює дробу, чисельник якого — ділене, а знаменник — дільник. Наприклад:
3:5 = |
3 |
; |
10:3 = |
10 |
. |
|
|
||||
5 |
|
3 |
|
Дріб, чисельник якого менший від знаменника, назива-
ється пр ави льним д р о б о м.
Дріб, чисельник якого більший від знаменника або до-
рівнює йому, називається н е пр ави льним |
д р о б о м. |
|
Суму натурального числа й правильного дробу запи- |
||
сують зазвичай без знака «+». Наприклад: 5 |
3 |
(читають: |
|
||
4 |
|
п’ять цілих три четвертих). Числа такого виду називаються мішаними числами . Число 5 називається цілою частиною мішаного числа, а 43 — його дробовою частиною.
Неправильний дріб можна записати у вигляді мішаного дробу. Для цього треба чисельник поділити на знаменник. Одержана неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником дробової частини, а знаменник неправильного дробу — знаменником дробової частини.
Наприклад:
36 |
=5 |
1 |
; |
−36 |
|
7 |
. |
|
|
||||||||
7 |
7 |
|||||||
|
|
35 |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Щоб мішане число записати у вигляді неправильного дробу, треба помножити цілу частину на знаменник дробової частини, додати до отриманого числа чисельник дробової ча- стини й записати цю суму в чисельник, а знаменник дробової частини залишити без зміни.
Наприклад:
4 53 = 4 55+ 3 = 235 .
11
АРИФМЕТИКА
Будь-яке натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу з будь-яким знаменником. Наприклад:
3 = 13 = 62 = 39 = 124 і т. д.
Порівняння звичайних дробів
Із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, чисельник якого більший.
Із двох дробів з однаковими чисельниками менший той, знаменник якого більший.
Правильний дріб менший за одиницю.
Дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, дорівнює одиниці.
Дріб, у якого чисельник більший від знаменника, більший від одиниці.
Неправильний дріб більший, ніж правильний .
Приклади
3 |
< |
5 |
; |
7 |
> |
7 |
; |
9 |
<1; |
6 |
=1; |
8 |
>1. |
|
11 |
11 |
12 |
19 |
17 |
6 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники і суму записати в чисельнику, а зна-
менник залишити той самий:
ac + bc = a +c b .
Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника й різницю записати в чисельнику, а знаменник залишити той самий:
ac − bc = a c−b .
Приклади
3 |
+ |
5 |
= |
8 |
; |
15 |
− |
3 |
= |
12 |
. |
11 |
11 |
11 |
23 |
23 |
|
||||||
|
|
|
|
23 |
|
12