АРИФМЕТИКА
(24; 12; 8; 3) = 24. Найменшим спільним кратним взаємно простих чисел (зокрема простих чисел) є їх добуток.
Напри клад:
НСК (11; 17) = 187, НСК (25; 12) = 300.
Корисно знати, що
НСД(a; b) НСК(a; b) = ab.
Наприклад:
НСД (12; 18) = 6; НСК (12; 18) = 36;
6 36 = 216; 12 18 = 216.
Дії над звичайними дробами
Основна властивість дробу
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме натуральне число, дістанемо дріб, що дорівнює даному.
Рівні дроби — це різні записи одного й того ж числа.
Застосування основної властивості дробу
Скорочення дробу
Ділення чисельника і знаменника дробу на їхній спільний дільник, відмінний від одиниці, називається с к о р о -
ч е нням д р о бу.
Найбільшим числом, на яке можна скоротити дріб, є найбільший спільний дільник чисельника і знаменника.
Дріб, у якого чисельник і знаменник взаємно прості числа, називається н е с ко р от ним д р о б о м.
Приклади |
|
|
|
|
|
|
||||
|
12 |
= |
4 |
; |
10 |
= |
5 |
= 5; |
7 |
— нескоротний дріб. |
15 |
|
2 |
|
11 |
||||||
5 |
|
1 |
|
|
||||||
28
Дії над звичайними дробами
Іноді доцільно розкласти чисельник і знаменник дробу на кілька множників, а потім скоротити.
Наприклад:
135 |
= |
5 27 |
= |
3 |
= |
3 |
. |
180 |
|
18 10 |
|
2 2 |
4 |
|
|
Скорочення можна проводити поступово, використовуючи ознаки подільності:
12048 = 2460 = 104 = 52 .
Зведення дробу до нового знаменника
Кожний дріб можна записати дробом із будь-яким знаменником, аби новий знаменник був кратним даному. Для цього чисельник і знаменник дробу треба помножити на додатковий множник, тобто частку від ділення бажаного знаменника на даний.
Приклади
1) Зведіть до знаменника 48 дріб 163 .
Оскільки 48:16 = 3, чисельник і знаменник даного дробу помножимо на 3. Дістанемо:
163 = 489 .
2)Запишіть число 7 у вигляді дробу зі знаменником 5. Оскільки 7 = 71, додатковим множником буде число 5.
Отже, 7 = 355 .
Зведення дробів до спільного знаменника
Будь-які дроби можна звести до спільного знаменника. Таким знаменником може бути будь-яке спільне кратне знаменників цих дробів. Зрозуміло, що звичайно обирають найменший спільний кратний знаменник (НСЗ).
Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, треба:
1)знайти найменше спільне кратне знаменників;
2)знайти додаткові множники для кожного дробу;
3)чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідні додаткові множники .
29
АРИФМЕТИКА
Приклади
1)Звести дроби 187 і 364 до НСЗ.
Бачимо, що 36 18. Отже, 36 буде НСЗ цих дробів.
36:18 = 2; |
|
7 |
|
= |
14 |
. |
|
|||
18 |
|
36 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Звести дроби |
|
|
5 |
|
і |
7 |
до НСЗ. |
|||
12 |
|
|
||||||||
|
|
|
8 |
|
||||||
Бачимо, що більший знаменник 12 не є кратним 8. Починаємо розглядати числа 12 2, 12 3 і т. д., перевіряючи, чи ділиться отриманий добуток на 8. 12 2 = 24, 24 8. НСЗ даних дробів 24. Дійсно, 24:12 = 2; 24:8 = 3.
|
5 |
= |
10 |
; |
7 |
= |
21 |
. |
||
|
12 |
24 |
8 |
|
||||||
|
|
|
|
24 |
|
|||||
3) Звести дроби |
3 |
і |
|
11 |
|
до НСЗ. |
||||
28 |
35 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Бачимо, що 28 = 7 4, 35 = 7 5, причому числа 4 і 5 взаємно прості. Робимо висновок, що для даних дробів НСЗ =
= 7 4 5 = 140. Дійсно, 140:28 = 5, 140:35 = 4.
Отже, |
3 |
= |
15 |
; |
11 |
= |
44 |
. |
|
28 |
140 |
35 |
140 |
||||||
|
|
|
|
|
Порівняння, додавання та віднімання дробів
Щоб виконати порівняння, додавання, віднімання дробів із різними знаменниками, треба звести їх до найменшого спільного знаменника, а потім виконати потрібну дію за аналогічним правилом для дробів з однаковими знаменниками.
Завжди треба звертати увагу, чи можна спростити отримане число: виділити цілу частину або скоротити дробову частину.
Приклади
1)5 43 +2 65 =7 912+ 10 =7 1912 = 8 127 .
2)9 12 −3 149 =6 147 − 149 =5 1421 − 149 =5 1412 =5 76 .
30
Дії над звичайними дробами
3) Порівняйте 127 і 1811 .
7 |
= |
21 |
; |
11 |
= |
22 |
. |
Отже, |
7 |
< |
11 |
. |
|
|
18 |
36 |
12 |
18 |
|||||||
12 |
36 |
Іноді дроби з різними знаменниками можна порівняти, не зводячи їх до спільного знаменника.
Приклади
1)79 > 4341 , оскільки дріб 4341 правильний, тобто менший
за 1, а 79 — неправильний, тобто більший за 1.
2) |
7 |
< |
8 |
, оскільки |
7 |
=1− |
1 |
, |
8 |
=1− |
1 |
, а |
1 |
> |
1 |
. |
|
8 |
9 |
|
8 |
8 |
|
9 |
9 |
|
8 |
9 |
|
||||
3)127 > 209 , бо 127 > 126 = 12 , а 209 < 1020 = 12 .
Перетворення звичайних дробів на десяткові
Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, треба ділити чисельник на знаменник за правилом ділення десяткових дробів.
У деяких випадках отримаємо скінченний десятковий дріб.
Приклад
9,0 |
|
25 |
|
9 |
= 0,36. |
|
|
||||
|
|
|
|||
− 75 |
|
|
|
25 |
|
|
0,36 |
|
|||
|
|
|
|||
− 150150 0
В інших випадках дістанемо нескінченний періодичний десятковий дріб, тобто такий, у записі якого одна чи декілька цифр повторюються нескінченно. Таку групу цифр нази-
вають п е р іодо м д р о бу.
31
АРИФМЕТИКА
Приклад
134,0 |
|
165 |
2 |
134 |
=2,8 (12). |
|
|||||
|
|
||||
− 1320 |
|
|
|
165 |
|
|
0,81212… |
|
|
||
|
|
|
|
−165200
−350330
200
Читають: дві цілих вісім десятих і дванадцять у періоді. Якщо в розкладі знаменника звичайного дробу на прості множники є лише числа 2 і 5, такий дріб перетвориться
на скінченний десятковий дріб.
Якщо в розкладі знаменника звичайного нескоротного дробу на прості множники крім чисел 2 і 5 є інші прості числа, такий дріб перетворюється на н е с к інч е нний п е р іод ичний де с я т ко вий д р іб.
Якщо треба знайти значення числового виразу, який містить як звичайні, так і десяткові дроби, бажано привести їх до єдиної форми. Вибір форми запису залежить від конкретного завдання.
Приклади
1)14 +0,7− 15 = 0,25+0,7−0,2 = 0,75 або
14 +0,7− 15 = 14 + 107 − 15 = 5+1420−4 = 1520 = 43 .
2) 54 − 13 +0,6 = 54 − 13 + 106 = 54 − 13 + 53 = 75 − 13 =1 52 − 13 =1151 .
У другому прикладі 13 не можна перетворити на скін-
ченний десятковий дріб, тому всі дроби записуємо у вигляді звичайних.
Треба також зазначити, що додавання та віднімання звичайних дробів мають такі ж властивості дій, що і натуральні числа (перестановка, сполучення, віднімання числа від суми тощо).
32