Початки теорії ймовірностей

Основні поняття теорії ймовірностей

П о д і я — це будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається.

Подія відбувається внаслідок в и п р о б у в а н н я. Події позначають великими буквами латинського алфавіту

( A, B, C, …).

Випа д ко во ю п оді є ю називається подія, яка може відбутися чи не відбутися під час здійснення певного випробування. Масо вими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов і які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати­ аналогічні випробування у великій кількості. Множина подій утворює п о вн у г ру п у п одій, якщо внаслідок кожного випробування хоч одна із цих подій напевно відбудеться.

Події називаються п о пар н о н е с у міс ними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Вір о г і д н о ю називається подія, яка внаслідок випробування обов’язково має відбутися, а н е м ож ливо ю — подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Ім о вір ніс т ь — числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.

Ім о вір ніс т ю випа д ко вої п одії називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, і кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.

Позначення: P( A) = mn , де n — загальна кількість рів-

номожливих і несумісних подій, які утворюють повну групу, m — число елементарних подій, які сприяють події A.

205

КОМбінаторика.початкитеоріїймовірностей.математичнастатистика

Су м о ю п одій A і B називається подія C, яка полягає у здійсненні під час одиночного випробування або події A, або події B, або обох разом.

Позначення: C = A + B або C = A B.

Теорема 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

P( A +B) = P( A) + P(B).

Наслідки

1.Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну­ групу, дорівнює 1.

2.Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тоб-

то P( A) + P( A) =1.

Дві події називаються пр от и л е ж ними, якщо одна

ітільки одна з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.

До бу т ко м д вох п одій A і B називається подія С,

що полягає у здійсненні під час одиничного випробування

іподії A, і події B.

Позначення: C = AB або C = A∩B.

Подія А називається н е з а л е ж н о ю від події B, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи ні подія B.

Теорема 2. Імовірність добутку двох незалежних подій A і B дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто

P( AB) = P( A)P(B).

Теорема 3. Якщо події A1, A2 , ... , An — взаємно незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через імовірність цих подій за формулою

P( A) =1−(1−P( A1 ))(1−P( A2 ))…(1−P( An )).

бування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.

206