Тригонометричні функції

Графіки показникової і логарифмічної функцій з однаковою основою симетричні відносно прямої y = x (див. рисунки).

Тригонометричні функції

Радіанна система вимірювання кутів і дуг

1 р а діан — це такий центральний кут, для якого дов­ жина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса.

де α° — градусна міра деякого кута, a — його радіанна міра.

103

Алгебра та елементарні функції

Якщо кути виміряні в радіанній мірі, спрощується­ форму-

l — довжина дуги, r — радіус кола, a — радіанна міра цент­ рального кута, S — площа сектора.

Тригонометричні функції числового аргументу

Розглянемо одиничне (тригонометричне) ­коло, центр якого розташований у точці O(0; 0) і радіус якого дорівнює 1 (див. рисунок­ ).

Нехай точка P0 — це точка (1; 0). Кожну іншу точку кола можна дістати поворотом P0 навколо початку координат. Будемо вважати від’ємним напрямок повороту за годинниковою стрілкою, додатним — проти.

Точку, яку дістанемо поворотом P0 навколо початку координат на кут α, назвемо Pα. Очевидно, що значення α можуть бути від −∞ до +∞,причому кути, міри яких відрізняються на 2πn, n Z, дають на колі одну й ту саму точку.

Значення sinα, cosα, tgα, ctgα залежить тільки від кута α.

104

Тригонометричні функції

Для 0 < α < π ці означення дають той самий результат,

2

що й означення за допомогою елементів прямокутного трикутника.

Якщо означення sinα, cosα, tgα, ctgα уведені таким чином, то очевидно, що ми дістали числові функції. Дійсно, кожному значенню α (−∞; +∞) відповідає єдине значення

sinα і cosα. Також кожному дійсному значенню α ≠ π +πn,

2

n Z, відповідає єдине значення tgα і кожному значенню α ≠ πn, n Z, відповідає єдине значення ctgα.

Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці P0 (1; 0)

Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці Pπ

2

(див. рисунок нижче справа). Для довільного числа α ≠ πn,

n Z, абсциса точки перетину прямої OPα з прямою q дорівнює котангенсу кута α. Тому пряма q називається ліні є ю котанг е н сів.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

105

Алгебра та елементарні функції

Основою для виведення решти формул є ф о р м ули дод авання:

cos(α−β) = cosαcosβ+sinαsinβ; sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ; cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ; sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ;

π±α, 3π ±α, 2π±α через функції кута α (табл. 1). Відповідні

2

формули легко запам’ятати, користуючись такими правилами:

106

Тригонометричні функції

1) якщо аргумент функції має вигляд π ±α або 3π ±α, на-

2 2

зва функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), а якщо аргумент має вигляд π±α, 2π±α, назва функції не змінюється;

2)перед утвореною функцією ставиться той знак, який має початкова функція, якщо α — кут у І чверті.

Використовуючи ці формули, а також періодичність тригонометричних функцій (див. нижче) можна значення тригонометричної функції довільного кута звести до значення функції гострого кута.

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

sinα+sinβ =2sin α +β cos α −β ;

22

sinα−sinβ =2sin α −β cos α +β ;

22

cosα+cosβ =2cos α +β cos α −β ;

22

cosα−cosβ = −2sin α −β sin α +β ;

22

tgα+tgβ = sin(α +β) ; cosαcosβ

tgα−tgβ = sin(α −β) . cosαcosβ

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму

cosα cosβ = 12 (cos(α−β) +cos(α+β)); sinα sinβ = 12 (cos(α−β) −cos(α+β)); sinα cosβ = 12 (sin(α+β) +sin(α−β)).

107