Рівняння
Розв’язування показниково-степеневих рівнянь
Показниково-степенева функція має вигляд y = u(x)v(x). Її область визначення знаходимо, розглядаючи три випадки:
1)u(x) > 0; v(x) — будь-яке число;
2)u(x) < 0; v(x) — ціле число;
3)u(x) = 0; v(x) — ціле додатне число.
Приклад
Розв’язати рівняння:
а) (x+5)x2 −x−1 = x+5.
Розглянемо випадки:
1) x+5 =1, |
x1 |
= −4. |
2) x+5 = −1, |
x2 |
= −6. |
3) x+5 = 0, |
x3 |
= −5. |
4) x2 −x−1=1; x |
=2, x = −1. |
|
|
4 |
5 |
Перевіркою переконуємося, що всі знайдені корені задовольняють рівняння.
Відповідь: –4; –6; –5; 2; –1.
б) (x+8)x2 +9x+8 =1. |
|
|
1) x+8 =1, x1 = −7. |
|
|
2) x+8 = −1, |
x2 = −9. |
|
3) x2 +9x+8 = 0 |
; x = −1 |
, x = −8. |
Перевірка |
3 |
4 |
|
|
|
1)x = −7, 1−6 =1.
2)x = −9, 1−8 =1.
3)x = −1, 70 =1.
4)x = −8; 00 не має змісту.
Відповідь: –7; –9; –1.
Розв’язування логарифмічних рівнянь
Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння loga x = b, де a > 0, a ≠1. Корінь цього рівняння дорівнює ab .
Рівняння loga f(x) = loga g(x), де a > 0, a ≠1, рівносильне системі:
149
Алгебра та елементарні функції
f(x) = g(x),
f(x) > 0,g(x) > 0.
Зверніть увагу: у цій системі можна випустити одну
з нерівностей. |
|
|
|
|
|
|
Із цього випливає, що для |
розв’язання |
рівняння |
||||
loga f(x) = loga g(x), |
де a > 0, a ≠ 1, |
треба : розв’язати рів- |
||||
няння f(x) = g(x); зі знайде них |
коренів відібрати ті, які |
|||||
задовольняють нерівність f(x) > 0 |
або g(x) > 0 |
(зазвичай |
||||
обирають простішу з нерівностей). |
|
|
||||
Приклади |
|
|
|
|
|
|
1) log3 (3x−1) +log3 (x+1) =1+log3 (x+3). |
|
|||||
3x−1> 0, |
|
|
|
|
|
|
ОДЗ: x+1> 0, |
x > |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
x+3 > 0; |
|
|
|
|
|
|
(Зверніть увагу: спочатку записують ОДЗ, а тільки потім починають перетворювати рівняння.)
log3 (3x−1)(x+1) = log3 3(x+3),
(3x−1)(x+1) =3(x+3),
3x2 +2x−1=3x+9, 3x2 −x−10 = 0,
x |
= |
1± 121 |
|
, |
|
|
1,2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =2 |
, x = − |
5 |
не задовольняє ОДЗ. |
|||
|
||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: 2.
2) log52 x+3log5 x−4 = 0; ОДЗ: x > 0.
log5 x = y, |
|
y2 +3y−4 = 0, |
|||
y1 = −4. |
|
y2 =1. |
|||
log5 x = −4, |
|
log5 x =1, |
|||
x = |
1 |
. |
|
x =5. |
|
|
|||||
1 |
625 |
|
2 |
||
Відповідь: 5; |
1 |
. |
|||
625 |
|||||
|
|
|
|
||
150
Рівняння
3) |
x1+lgx = 100; ОДЗ: x > 0. |
|||||||
|
lg(x1+lgx ) = lg100, |
|
||||||
|
(1+lgx)lgx =2, |
|
|
|
||||
|
lg2 x+lgx−2 = 0, |
|
||||||
|
lgx = y, |
|
|
|
||||
|
y2 +y−2 = 0, |
|
|
|
||||
|
y1 = −2. |
|
|
y2 = 1. |
||||
|
lgx = −2, |
|
|
lgx =1, |
||||
|
x = 0,01. |
|
|
x = 10. |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Відповідь: 0,01; 10. |
|||||||
4) |
|
log |
4 |
(x2 + x −2)−1 |
= 0 |
, |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
log4 (x −1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 +x−2 > 0, |
||||
|
ОДЗ: x−1> 0, |
|
|
x >1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x ≠ 2; |
|
|
|
|
|
x−1≠1 |
|
|
|
|
|
x (1; 2) (2; +∞). |
|
||||||
|
log4 (x2 +x−2) =1, |
|
||||||
|
x2 +x−2 = 4, |
|
|
|
||||
|
x2 +x−6 = 0, |
|
|
|
||||
|
x1 = −3 — не задовольняє ОДЗ. |
|||||||
|
x2 =2 — не задовольняє ОДЗ. |
|||||||
|
Відповідь: коренів немає. |
|||||||
5) |
log32 (27x) +log3 |
x3 |
=17; ОДЗ: x > 0. |
|||||
|
|
|||||||
9
(log3 27x)2 +log3 x3 −log3 9 =17, (log3 x+3)2 +3log3 x−2 =17,
log23 x+6log3 x+9+3log3 x−19 = 0,
151
Алгебра та елементарні функції
log23 x+9log3 x−10 = 0, log3 x = y,
y2 +9y−10 = 0,
y1 = −10. |
y2 =1. |
|||
log3 x = −10, |
log3 x =1, |
|||
x = |
1 |
. |
x =3. |
|
10 |
||||
1 |
|
2 |
||
|
3 |
|
|
|
Відповідь: 3−10 ; 3. |
|
|||
6) logx |
125x log52 x = 4; ОДЗ: x > 0, |
|
x ≠1. |
(3logx 5+1)log52 x = 4,
|
3 |
|
|
|
|
|
+1 log52 x = 4, |
|
|
||
log5 |
x |
|
|
3log5 x+log52 x = 4 (далі див. приклад 2).
Дуже часто в систему рівнянь об’єднують показникові й логарифмічні рівняння.
Приклад
|
x+y |
|
x+y |
|
2 |
3 |
+2 |
6 |
=6, |
|
|
(x−2y) +log3 (3x−6y) =3. |
||
|
|
|||
log3 |
||||
ОДЗ: x−2y > 0; x >2y.
Розглянемо перше рівняння системи:
|
x+y |
+2 |
x+y |
|
=6. |
||
2 3 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
x+y |
|||
Нехай 2 |
6 |
|
= a, a > 0, |
||||
a2 +a−6 = 0,
a1 =2; a2 = −3 не задовольняє умову a > 0.
|
x+y |
x + y |
=1, |
||
2 |
6 |
=2, |
|||
6 |
|||||
|
|
|
|
||
x+y =6. |
|
|
|||
152