Системи рівнянь

лінійне Рівняння з двома невідомими

Л інійним р івнянням з д во ма н е ві до мими

називається рівняння виду ax+by = c, де x і y — невідомі, a, b і с — числа (ко е фіц і є н т и р івняння).

няння перетворюється на правильну числову рівність. Наприклад: 2x+y = 8;

(1; 6)—розв’язокрівняння, адже 2 1+6 = 8—правильно; (6; 1) не є розв’язком, бо 2 6+1= 8 — неправильно.

Щоб знайти розв’язок рівняння з двома невідомими, можна підставити в рівняння довільне значення одного невідомого і, розв’язавши одержане рівняння, знайти відповідне значення другого невідомого. Наприклад:

2x+y = 8,

x = −1,  2 (−1) +y = 8, y =10,  (−1; 10).

Рівняння з двома невідомими називаються р івн о ­ с и льними, якщо вони мають одні й ті ж розв’язки або не мають розв’язків.

Властивості рівнянь з двома невідомими відповідають властивостям рівнянь з одним невідомим.

Використовуючи ці властивості, можна знаходити розв’язки рівняння за такою схемою: виразити з даного рівняння одне невідоме через друге, а потім брати довільне значення другого невідомого й обчислювати відповідне значення першого. Наприклад:

154

Системи рівнянь

Графік лінійного рівняння з двома невідомими

Гр а фіко м р івняння з д во ма н е ві до мими на-

зивається множина всіх точок координатної площини, координати котрих є розв’язками цього рівняння. Графіком рівняння ax+by = c, у якому хоча б один із коефіцієнтів (a або b) відмінний від нуля, є пряма.

Для побудови будь-якої прямої досить знати координати двох точок.

Приклад. Побудуйте графік рівняння 2x+y =5. y =5−2x.

Задаємо значення x та обчислюємо відповідне значення y. Таким чином, заповнимо таблицю­ :

155

Алгебра та елементарні функції

Якщо a ≠ 0, b = 0, маємо x = ac . Графік рівняння x = ac :

y

c1

a

x = ac

Системи лінійних рівнянь з двома невідомими

Якщо треба знайти спільні розв’язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють с и с т е м у р івнянь.

Розв’язо к си с т е ми р івнянь з д во ма н е ві ­ до мими — пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’яз­ ки або довести, що їх немає.

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь си­ стеми й знайти їхні спільні точки. Координати цих точок і є розв’язками системи рівнянь.

Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв’язок, не мати розв’язків, мати безліч розв’язків.

Приклади

Розв’яжіть графічно системи лінійних рівнянь.

156

Системи рівнянь

Визначимо точки для побудови графіків кожного з рівнянь системи:

157

Алгебра та елементарні функції

Прямі будуть збігатися.

Відповідь: система має безліч розв’язків, котрі описуються рівнянням x+y =2.

розв’язування систем лінійних рівнянь Способом підстановки

При розв’язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:

1)виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;

2)підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;

3)розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;

4)знайти відповідне значення іншого невідомого.

Приклади

3x+y = 4, 1) 5x−2y =14;

y = 4−3x,

5x−2(4−3x)=14;

y = 4−3x,

5x−8+6x =14;

y = 4−3x,11x =22;

x =2,

y = 4−3 2;

x =2,

y = −2.

Відповідь: (2; −2).

158

Системи рівнянь

y = −3,

x = −2.

Відповідь: (−2; −3).

розв’язування систем лінійних рівнянь Способом додавання

При розв’язуванні системи рівнянь способом додавання треба:

1)помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;

2)почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;

3)розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;

4)знайти відповідне значення іншого невідомого.

Приклади

5x−6y =7,

1) + =

10x 6y 8;

159

Алгебра та елементарні функції

Відповідь: (5; 2).

160