Геометрія

Якщо відстані змінюються у k разів, то k називається

к о е ф і ц і є н т о м п о д і б н о с т і. Якщо k =1, перетворення подібності є рухом.

Нехай F — дана фігура й О — фіксована точка.

Через довільну точку Х фігури F проведемо промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок OX′, що дорівнює k OX, де k — додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка Х переходить у точку X′, побудовану в такий спосіб, називається г о м о т е т і є ю в і д н о с н о ц е н т р а

О з коефіцієнтом k. Якщо k — число від’ємне, відрізок k x відкладають на півпрямій, що є доповняльною до ОХ.

На рисунку наведена гомотетія відносно центра з коефіцієнтом 2.

X′

F′

X

F

Теорема. Гомотетія є перетворенням подібності­ .

Властивості перетворення подібності

Теорема 1. Перетворення подібності переводить прямі у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки.

Теорема 2. Перетворення подібності зберігає кути між півпрямими.

Із цього випливає, що перетворення подібності­ переводить паралельні прямі в паралельні прямі. Дві фігури називаються п о д і б н и м и, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Позначення: F F′.

262

планіметрія. Подібність фігур

Властивості подібних фігур

Теорема. Коли фігура F1 подібна фігурі F2, а фігура F2 — фігурі F3, то фігури F1 і F3 подібні.

Із властивостей перетворення подібності­ випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, у подібних трикутниках ABC

іA1B1C1:

A = A1; B =B1 ; C =C1;

AB = BC = AC .

A1B1 B1C1 A1C1

Ознаки подібності трикутників

Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні­ двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.

Теорема 3. Якщо сторони одного трикутника пропор­ ційні сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Із цих теорем випливають факти, що є корисними для розв’язування задач.

1.Пряма, яка паралельна стороні трикутника і яка перетинає дві інші його сторони, відтинає від нього трикутник, подібний даному.

На рисунку ABC A1BC1.

B

A1 C1

A C

263

Геометрія

2.У подібних трикутників відповідні елементи (висоти, медіани, бісектриси тощо) відносяться як відповідні сторони.

3.У подібних трикутників периметри відносяться як відповідні сторони.

4.Якщо О — точка перетину діагоналей трапеції ABCD

(BC AD), то BOC DOA.

На рисунку в трапеції ABCD: BO = CO = BC = FO .

K

BC

A D

Подібність прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо прямокутні трикутники мають рівний гострий кут, то вони подібні.

Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні.

264

планіметрія. Подібність фігур

Теорема 3. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету й гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

Теорема 4. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два прямокутні трикутники, подібні даному.

На рисунку ABC ACD CBD.

A

D

CB

Із подібності прямокутних трикутників випливає таке.

1.Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією­ цього катета на гіпотенузу:

AC2 = AB AD; BC2 = AB BD,

або

AC = AB AD; BC = AB BD .

2.Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу:

CD2 = AD DB, або CD = AD BD.

3.Властивість бісектриси трикутника:

бісектриса трикутника (довільного) поділяє протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам­ .

265