Нерівності

Властивості нерівностей зі змінними

1.Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

2.Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

3.Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при

цьому знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

Множини розв’язків нерівностей можна записувати у вигляді проміжків.

Приклади

1)4(2−3x) −(5−x) >11−x, 8−12x−5+x >11−x,

−12x+x+x >11−8+5,

−10x > 8, x < −0,8.

-0,8 x

Відповідь: x < −0,8 (можна записати у вигляді

(−∞; −0,8)).

2)3x+7 >5(x+2) −(2x+1) , 3x+7 >5x+10−2x−1, 0 x > 9−7,

0 x >2,

0 >2.

Відповідь: (розв’язків немає).

3) 12x −1 < 4x+3,

3

12x−1<12x+9, 0 x <10.

Відповідь: x — довільне число (або (−∞; +∞)).

169

Алгебра та елементарні функції

4)Приклади нерівностей, котрі мають один чи кілька ізольованих розв’язків:

5) При яких значеннях х має зміст вираз 2x−7?

Цей вираз має зміст при тих і тільки тих значеннях х, які є розв’язками нерівності

2x−7 0, x 3,5.

3,5 x

Відповідь: [3,5; +∞).

Нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним

Теорема. Середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їх середнього геометричного.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщолівоючастиноюнерівностієвиразвиду ax2 +bx+c, де a ≠ 0, b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерів-

ність називають к в а д р ат н о ю н е р івніс т ю.

Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій­ .

Для цього треба:

1)знайти корені тричлена ax2 +bx+c або з’ясувати, що їх немає;

2) зобразити схематично графік функції y = ax2 +bx+c, звертаючи увагу тільки на точки перетину­з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;

3)знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.

170

Нерівності

171

Алгебра та елементарні функції

Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «за коренями», а від’ємних — «між коренями»; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «між коренями», а від’ємних — «за коренями».

Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Найзручнішим є спосіб розв’язування тригономет­ ­рич­ них нерівностей за допомогою тригонометричного кола.

Приклади

1) cosx 1 . Побудуємо одиничне коло (див. рисунок ниж-

23

коло на дві дуги. Точки однієї дуги мають абсцису, біль-

шу за 1 , другої дуги — меншу.

2

− π

3

Щоб описати всі точки потрібної дуги, «пройдемо» по ній у додатному напрямку, тобто проти годинникової стрілки. Ураховуючи періодичність функції y = cosx, дістанемо відповідь:

172

Умову задачі задовольняють точки, що розташовані на

колі нижче прямої y = 1 .

2

Але щоб записати проміжок, треба точку π записати

6

в другому вигляді. Для цього додамо 2π до π :

6

π +2π = 13π .

66

Ураховуючи період, дістанемо відповідь:

3) tgx 2. Ураховуючи, що функція y = tgx є зростаючою на кожному з проміжків виду­

отримуємо arctg2+πn x < π +πn, n   Z.

173

Алгебра та елементарні функції

Ірраціональні нерівності

A(x) 0, A(x) < B(x) B(x) > 0,

2k

A(x) < B2k (x).

B(x) 0,

A(x) > B2k (x);

2k A(x) > B(x)

A(x) 0,

B(x) < 0.

Приклади

1)5− 2x < 6x−1

174