- •I. Перетворення та рівняння
- •II. Прогресії
- •III. Графіки
- •IV. Вектори
- •VI. Розв’язання тригонометричних рівнянь
- •VII. Тригонометричні функції
- •VIII. Комбінаторика. Біном Ньютона. Теорія ймовірностей
- •X. Інтегрування
- •XI. Логарифми
- •XII. Нерівності
- •XIV. Трикутники
- •XV. Трикутники. Коло
- •XVI. Чотирикутники
- •XVII. Стереометрія
|
|
|
|
Короткий математичний довідник |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I. Перетворення та рівняння |
|
: Збірник |
|
||||||||
А. |
Формули скороченого множення |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1. |
(a±b)2 =a2 ±2ab+b2 |
3. |
a3 ±b3 =(a±b)(a2 ab+b2 ) |
|
|||||||||||||
|
|
2. (a+b)(a−b) =a2 −b2 |
4. (a±b)3 =a3 ±3a2b+3ab2 ±b3 |
завдання |
|
||||||||||||||
Б. |
|
Ступені та корені |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ak an =ak+n |
|
11. |
a |
−n |
|
b n |
|
тестові |
|
||||||||
|
|
6. |
a |
k |
:a |
n |
=a |
k−n |
|
|
|
|
= |
, a ≠0 , b ≠0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
=1, a ≠0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
7. |
a |
|
|
|
|
|
k |
|
|
Типові |
112 с. |
||||||
|
|
|
|
12. |
n ak |
=an , a >0 |
|
||||||||||||
|
|
8. |
(ak )n =akn |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
13. |
n k a = nk a |
|
||||||||||||||
|
|
|
(ab)n =anbn |
|
|
Математика. Веста, 2010.— |
|||||||||||||
|
|
9. |
|
14. nk amk |
= n am |
|
|||||||||||||
|
|
10. a−n = |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
; a ≠0 |
15. |
x |
2 |
= |
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|||||||
В. |
|
Лінійні рівняння |
ax = b |
|
|
|
|
|
|
|
до видання: . Міхеєва.— Х.: |
||||||||
Якщо a ≠0 , то x = b |
; якщо a =b =0, то x — будь-яке число; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
якщо a =0 , а b ≠0, то розв’язків немає ( ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
довідник. Додаток / А. Р. Гальперіна, О. Я |
|||||||||||||||
Г. |
|
Квадратні рівняння ax2 +bx+c =0 , |
a ≠0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
−b± D , де D =b2 −4ac |
|
D |
|
|
|
y =ax2 +bx+c |
||||||||||
|
x1,2 = |
|
|
|
|
a >0 |
a <0 |
||||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
D >0 |
|
|
|
|
|||
1) |
|
Якщо D >0 |
— 2 розв’язки |
|
|
|
|
математичний |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
|
Якщо D =0 — 1 розв’язок |
2) |
D =0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x = − |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Короткий |
|
||
3) |
|
Якщо D <0 — розв’язків |
3) |
D <0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
немає |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
2
II. Прогресії
|
|
|
|
А. Арифметична |
|
|
Б. Геометрична |
||||||||||||||||||||||
|
Формули |
|
|
|
прогресія |
|
|
|
|
|
|
|
|
прогресія |
|||||||||||||||
|
|
|
|
a1 , a2 ,…, an |
|
|
|
|
b1 , b2 ,…, bn , q ≠0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Формула n-го |
|
1. an = a1 +d(n−1) |
|
|
|
|
1. bn =b1 qn−1 |
|
|
||||||||||||||||||||
члена прогресії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Характеристична |
|
2. ak = |
|
|
ak−1 +ak+1 |
|
|
|
|
|
2. b |
= ± b |
|
b |
|||||||||||||||
властивість про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
−1 |
|
k+1 |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гресії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сума n перших |
|
3. |
Sn = |
a1 +an |
n , |
|
|
|
|
3. Sn |
= |
|
b1 −bnq |
, |
|
||||||||||||||
членів прогресії |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−q |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Sn = |
|
|
2a1 +d |
(n−1) |
n |
|
4. Sn |
= |
|
b1 (1−qn ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−q |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Сума нескінченної спадної геометричної |
|
5. S = |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
прогресії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−q |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
Координати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Нехай дано точки A(x1;y1;z1) |
|
і B(x2;y2;z2 ) , тоді середина |
||||||||||||||||||||||||||
|
відрізка AB — точка O |
x1 +x2 |
; |
|
|
y1 |
+y2 |
; |
z1 +z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Нехай дано точки |
A(x1;y1;z1) |
|
і B(x2;y2;z2 ) , тоді довжина |
|||||||||||||||||||||||||
|
відрізка AB = |
(x2 −x1 )2 +(y2 −y1 )2 +(z2 −z1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Точки, симетричні точці A(x; y; z) : відносно площини xOy — A1 (x; y; −z) ; відносно початку координат — A2 (−x; −y; −z)
4.Рівняння кола: (x−a)2 +(y−b)2 = R2
5.Рівняння сфери: (x−a)2 +(y−b)2 +(z−c)2 = R2
|
|
|
III. Графіки |
|
|
|
||
1. |
y = kx+ b |
y = kx+ b |
6. |
y =loga x |
|
|
|
|
а) k >0 |
|
б) 0<a <1 |
завдання: Збірник |
|||||
|
|
|
а) a >1 |
|||||
|
b >0 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = b |
|
|
7. |
y =x3 |
|
|
|
|
k =0 |
|
y = b |
|
|
|
|
Типові тестові 112 с. |
|
b >0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
x = a |
|
x = a |
8. |
y = x |
|
|
|
|
a >0 |
|
|
|
|
|
|
Математика. Веста, 2010.— |
2. |
y =ax2 |
|
9. |
y = sinx |
|
|
||
|
a >0 |
|
|
|
|
|
|
до видання: . Міхеєва.— Х.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y = |
x , |
|
10. y = cosx |
|
|
довідник. Додаток / А. Р. Гальперіна, О. Я |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. y = tgx |
|
|
||
4. |
y = k , |
|
|
|
математичний |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
k >0 |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y =ax |
|
12. (x−a)2 +(y−b)2 |
= R2 |
||||
|
Короткий |
|||||||
|
а) a >1 |
б) 0<a <1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
4
IV. Вектори
1.Нехай задано точки A(a1; a2 ) і B(b1; b2 ) ,
тоді AB(b1 −a1; b2 −a2 )
2.Нехай задано точки A(a1; a2 ) і B(b1; b2 ) ,
тоді довжина вектора AB : |
|
|
|
= |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
AB |
|
(b1 −a1 ) |
+(b2 −a2 ) |
3.Вектори a(a1; a2 ) і b (b1; b2 ) колінеарні тоді й тільки тоді, коли
a1 = a2 =λ b1 b2
4. a(a1; a2 ) =b (b1; b2 ) тоді й тільки тоді, коли a1 =b1 ; a2 =b2
5.a(a1; a2 ) ±b (b1; b2 ) =(a1 ±b1; a2 ±b2 )
6.a(a1, a2 ) =a1e1 +a2e2 , где e1 і e2 — одиничні, взаємно перпендикулярні вектори (орти)
Скалярний добуток векторів |
|
|
|
|
7. a b =a1b1 +a2b2 |
або |
8. a b = |
a |
b cosϕ , |
де ϕ — кут між векторами
Із формули 8 випливають формули 9—11
9.cosϕ= a1ba1 +ab2b2
10.a a = a a cos0°=a2
11.(a b) ( a b cos90°=0)
Аналогічно для тривимірного простору
V. Основні формули тригонометрії А. 1. sin2 α+cos2 α =1
2.tg2 α+1= cos12 α , α ≠ 2π + πk, k Z
3.ctg2 α+1= sin12 α , α ≠ πn , n Z
4.tgα ctgα =1, α ≠ π2k , k Z
Б. |
1. |
sin(α±β) =sinαcosβ±cosαsinβ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2. |
cos(α±β) =cosαcosβ sinαsinβ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3. |
tg(α±β) = |
tgα±tgβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 tgαtgβ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В. |
1. |
sin2α =2sinαcosα = |
|
|
2tgα |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
+tg2 α |
|
|
|
1−tg2 α |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
|
2. |
cos2α =cos α−sin |
|
α =1−2sin |
|
α =2cos |
α−1= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1+tg2 α |
|||||||||||||||||||||||
|
3. |
tg2α = |
|
2tgα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−tg2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Г. |
1. |
sin2 α = |
|
1−cos2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
cos2 α = |
|
1+cos2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. |
tgα = |
|
sin2α |
= |
|
1−cos2α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
+cos2α |
|
|
sin2α |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Д. |
1. |
sinα±sinβ=2sin |
α±β |
cos |
α β |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2.cosα+cosβ=2cos α2+β cos α2−β
3.cosα−cosβ= −2sin α2+β sin α2−β
Е. 1. sinαsinβ= 12 (cos(α−β) −cos(α+β))
2.cosαcosβ= 12 (cos(α−β) +cos(α+β))
3.sinαcosβ= 12 (sin(α−β) +sin(α+β))
Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
5