Дії над звичайними дробами
Множення звичайних дробів
До бу т ко м звичайни х д р о бів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників цих дробів, а знаменник дорівнює добутку їхніх знаменників. (Отриманий дріб, як правило, скорочують.)
Наприклад:
7 |
|
9 |
= |
7 9 |
= |
3 |
. |
|
15 |
14 |
15 14 |
10 |
|||||
|
|
|
|
Щоб помножити дріб на натуральне число, його чисельник помножують на це число, а знаменник залишають без зміни. Наприклад :
3 |
2 = |
6 |
; |
3 |
7 = |
3 7 |
= |
3 |
= 1 |
1 |
. |
11 |
11 |
14 |
|
|
2 |
||||||
|
|
14 |
2 |
|
|
||||||
Іноді можна скористатися такою властивістю: щоб помножити дріб на натуральне число, достатньо його знаменник поділити на це число, а чисельник залишити без зміни:
247 8 = 73 = 2 13 .
Щоб виконати множення мішаних дробів, треба їх записати у вигляді неправильних дробів, а потім використати правило множення дробів. Отриманий результат слід, якщо можна, спростити. Наприклад:
2 |
2 |
1 |
9 |
= |
52 25 |
= |
13 |
= 3 |
1 |
. |
25 |
16 |
25 16 |
|
4 |
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|||||
Щоб помножити мішаний дріб на натуральне число, треба помножити цілу частину мішаного дробу на це число, помножити дробову частину на це число, отримані доданки додати й спростити результат:
2 157 5 = 2 5+ 157 5 = 10+ 73 = 12 13 .
Множення дробів підпорядковане переставній, сполучній і розподільній властивостям. a 0 = 0 a = 0; a 1= 1 a = a для будь-якого дробового числа а.
33
АРИФМЕТИКА
Взаємно обернені числа
Два числа, добуток яких дорівнює 1, називають в з а -
є мн о о б е р н е ними.
Наприклад, взаємно оберненими є числа:
7 |
і |
3 |
; |
5 і |
1 |
; 4 і 0,25; |
2 |
4 |
і |
5 |
. |
|
3 |
7 |
5 |
5 |
14 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Число 1 є оберненим до самого себе. Число 0 не має оберненого.
Ділення звичайних дробів
Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене дільнику.
Приклади
1) |
|
3 |
|
: |
9 |
|
|
= |
|
3 25 |
|
= |
5 |
= 1 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
5 9 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) |
|
7 |
|
|
:2 = |
7 1 |
= |
|
7 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) 5: |
15 |
|
= |
5 17 |
|
= |
17 |
|
= 5 |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 15 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
2 |
|
47 |
:12 |
3 |
= |
|
145 7 |
= |
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
49 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
49 87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Знаходження дробу від числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
і числа за даним значенням його дробу |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Щоб знайти дріб від числа, треба число помножити на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цей дріб. Наприклад, знайдемо |
|
5 |
|
від 5 |
|
1 |
: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
= |
|
36 5 |
|
= |
15 |
|
= 2 |
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
7 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Щоб знайти число за даним значенням його дробу, тре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ба це значення поділити на дріб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Наприклад, знайдемо число, |
6 |
|
якого дорівнюють 10 |
1 |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
1 |
: |
|
6 |
|
|
|
= |
21 11 |
= |
77 |
|
= 19 |
|
1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
34
Відношення та пропорції
Ві д н о ш е нням д вох чи се л називається частка цих чисел. Відношення показує, у скільки разів одне число більше від другого або яку частину становить одне число від другого.
При знаходженні відношення двох величин, ці величини мають бути виміряні однією й тією ж одиницею вимірювання. Наприклад, відношення 3 км до 50 см дорівнює
300 000:50 = 6000, тому що 3 км = 300 000 см.
Рівність двох відношень називається пр о п о рц і є ю.
Приклади
1)35:5 = 56:8, або 355 = 568 .
2)a:b = c:d, або ab = dc .
Читають: а так відноситься до b, як c до d. У наведеному записі числа a і d називають крайніми членами пропор ції, а числа b і c — середніми членами. Вважаємо, що a, b, c, d не дорівнюють 0.
Основна властивість пропорції
В істинній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх, і навпаки: якщо добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів, то пропорція істинна.
Приклади
1)12:3 = 20:5 — істинна пропорція, оскільки 12 5 = 20 3.
2)40:8 = 24:4 — неістинна пропорція; дійсно, 40 4 ≠ 24 8. Якщо в істинній пропорції поміняти місцями середні
або крайні члени, то отримаємо нові істинні пропорції:
a |
= |
c |
; |
a |
= |
b |
; |
d |
= |
c |
; |
d |
= |
b |
. |
|
d |
|
d |
b |
a |
c |
|
||||||||
b |
|
c |
|
|
|
|
a |
||||||||
Якщо три члени істинної пропорції відомі, то невідомий член можна знайти, скориставшись основною властивістю пропорції. Наприклад:
35
АРИФМЕТИКА
8,75 |
= |
x |
; |
||
3 |
3 |
|
0,75 |
||
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
x = 8,75 0,75 ; 3,75
x = 1,75.
Пряма та обернена пропорційність
Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються прям о пр о п о рц ійними.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина.
Приклади прямо пропорційних величин
1)У випадку руху з постійною швидкістю пройдена відстань прямо пропорційна витраченому часу. (Дійсно, s:t = v, а швидкість стала.)
2)Якщо купують однаковий товар за фіксованою ціною, вартість товару прямо пропорційна його кількості.
3)Периметр квадрата з довжиною сторони а є прямо про-
порційним довжині сторони, оскільки P = 4a, тобто Pa = 4 — стала величина.
Дві змінні величини, добуток відповідних значень яких є сталим, називаються о б е р н е н о пр о п о рц ійними.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів зменшується (збільшується) друга величина.
Приклади обернено пропорційних величин
1)Якщо пройдена відстань залишається сталою, то витрачений час і швидкість обернено пропорційні. (Дійсно, v t = s, а s — стала величина.)
2)Ширина і довжина прямокутника сталої площі: a b = S.
3) Час, за який буде виконаний певний обсяг роботи, і кількість робітників.
Зверніть увагу на те, що число відсотків деякої величини прямо пропорційне значенню цієї величини.
36