PraktykumD+ICh

Укладачі:

Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.

Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.

Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Відповідальний

В. В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, професор

редактор

Рецензенти:

С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Вступ ........................................................................................................................

4

Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ .............................

5

Розділ 1.

ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ.......................................

13

Розділ 2.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ...........................................................................

42

Розділ 3.

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ..........

53

1.

Множини. Функції .........................................................................................

61

2.

Границя послідовності ...................................................................................

68

3.

Границя функції .............................................................................................

76

4.

Нескінченно малі та нескінченно великі функції.........................................

84

5.

Неперервність функції. Точки розриву функції ...........................................

91

Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

6.

Похідна. Техніка диференціювання ..............................................................

99

7.

Застосування похідної..................................................................................

110

8.

Похідні вищих порядків...............................................................................

115

9.

Правило Бернуллі — Лопіталя ....................................................................

118

10.

Тейлорова формула ....................................................................................

123

11.

Дослідження функцій за допомогою похідних.........................................

128

12.

Побудова графіків функцій........................................................................

134

Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

13.

Інтегрування внесенням під знак диференціала.......................................

145

14.

Методи замінювання змінної і інтегрування частинами..........................

153

15.

Інтегрування дробово-раціональних фунцій ............................................

159

16.

Інтегрування тригонометричних виразів ..................................................

168

17.

Інтегрування ірраціональних виразів........................................................

172

Список використаної і рекомендованої літератури......................................

179

Модуль дійсного числа. Модулем

Властивості модуля.

(абсолютною величиною) дійсного

 x y

x

y

;

числа x називають число

0;

x 0,



x

x,

x

x,

x 0



x

x

x

;

Геометричний зміст модуля.



x

x

;

Віддаль між точками A(a) та B(b)

x

числової прямої дорівнює

b a

.



xy

y

;

b a



x

x

A

B

x

y

y

a

b

Ціла частина числа. Цілою

Дробова частина числа. Дробовою

частиною числа x називають

частиною числа x називають число

найбільше ціле число, яке не

{x} x [x].

перевищує числа x, і позначають [x].

Середнє арифметичне. Середнім

Середнє геометричне. Середнім

арифметичним чисел a1,a2,...,an

геометричним чисел a1,a2,...,an

a1 a2 ... an

називають число

.

називають число n a1a2...an .

n

Нерівності з модулем



x y

x

y

(нерівність

трикутника);



x

y

x y

x

y

Нерівність Коші

a1

a2 ... an

n a a

...a

1 2

n

n

Нерівність Бернуллі

(1 h)n 1 nh,h 1,n

Степені.

Властивості степенів.

x

n

x x x (n

);



a

x

b

x

a b

;

x

n разів

xa

xa b;



x0 1 (x 0); x1

x;

xb

x a

1

(x 0,a )

 (xa )b xab;

xa

 (xy)a

xaya

Арифметичний корінь n -го

Властивості коренів.

степеня. Арифметичним коренем n -

 n

n a;

го степеня з невід’ємного числа x

a

називають таке невід’ємне число

a n

, що

 am n n

am

,m ,n ;

x

an x.

 2n a2n

a

, n ;

Для від’ємних чисел x :

 2n 1 a2n 1 a, n

2n x не існує;

2n 1 x 2n 1

.

x

Логарифми. Логарифмом

Властивості логарифмів. Для

додатного числа x за основою

x,y 0 правдиві співвідношення:

a (a 0,a 1) називають показник

 loga(xy) loga x loga y;

степеня, до якого потрібно піднести

 loga

x

loga x loga y;

число a, щоб одержати число x, і

позначають loga x.

y

p

loga x b a

b

x.

 logar

xp

loga x;

r

loga 1 0, loga a 1.

 log

ax

x;

aloga x x,x 0;

a

log10 x lg x — десятковий

 loga x

logb x

;

логарифм;

logb a

loge x ln x — натуральний

1

lnb

lgb ;

логарифм.

 log

b

a

logb a

lna

lga

 x

a loga x , x 0

Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

7

Многочлен n -го степеня. P (x) a xn

a xn 1 ...

a

x

a .

n

0

1

n 1

n

a0,a1,a2,...,an

— коефіцієнти

P0(x) a0 — стала;

многочлена;

P1(x) a0x a1

— лінійний двочлен;

a xn — старший член многочлена;

P (x) a x2

a x a

—

0

2

a0

— старший коефіцієнт;

2

0

1

квадратний тричлен.

an

— вільний член многочлена.

Число x0

називають коренем

многочлена Pn (x), якщо Pn(x0 ) 0.

Властивості многочленів.

Теорема Безу. Остача від ділення

Два многочлени Pn (x) та Qm (x)

многочлена Pn (x) на двочлен x a

дорівнює значенню цього многочлена

тотожно рівні, якщо вони:

для x

a :

1) однакового степеня (n m);

Pn (x) (x a)Qn 1(x) Pn (a).

2) мають рівні коефіцієнти при

Якщо x x0 — корінь многочлена

однакових степенях.

Цілі корені многочлена з цілими

Pn (x), то

коефіцієнтами можуть бути лише

Pn (x) (x x0 )Qn 1(x).

дільниками його вільного члена.

Квадратний тричлен ax2 +bx +c.

D b2 4ac — дискримінант; x1, x2

— корені многочлена.

 Вилучення повного квадрату.

 Розклад на множники.

2

2

D

ax2 bx c a(x x

)(x x

2

),

b

1

ax

bx

c

a x

.

4a

2a

x1, x2 — корені многочлена.

 Корені.

 Теорема Вієта.

D 0

D 0

x

x

b

;

не має

b

D

1

2

x1,2

c

a

коренів

2a

x1x2

a

Синус. Синусом числа t

називають

y

Pt

II

y

I

ординату точки Pt

одиничного кола і

sin t

позначають sin t.

t

sin(t 2 k) sint,k ;

O

1 x

O

1 x

sin( t) sint

III

IV

Косинус. Косинусом числа t

y

Pt

II

y

I

називають абсцису точки Pt

одиничного кола і позначають cost.

t

1 x

cos(t 2 k) cost,k ,

O

cost 1 x

O

cos( t) cost

IV

III