PraktykumD+ICh

Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

11

Гіперболічний синус.

Гіперболічний косинус.

sh x

ex e x

ch x

ex

e x

;

;

2

2

sh( x) sh x

ch( x) ch x

Гіперболічний тангенс.

Гіперболічний котангенс.

th x sh x

;

cth x ch x , x 0;

ch x

sh x

th( x) th x

cth( x) cth x

«Стандартні» значення.

Основні тотожності.

sh 0 0;

 ch

2

x sh

2

x 1;

ch 0 1;

 th x cth x 1;

th 0 0

1

 1 th2 x

;

ch2 x

 1 cth2 x

1

sh2 x

Формули подвійного аргументу.

Формули зниження степеня.



ch 2x sh

2

x

ch

2

x;

 sh2 x

ch 2x 1

;

 sh 2x 2 sh x ch x

2

 ch2

x

ch 2x 1

2

Показникове рівняння

 b 0 x loga b;

ax b, a 0, a 1

 b 0 x

Логарифмічне рівняння

log x b, a 0, a 1

x ab

a

Тригонометричне рівняння



a

1

sin x a

x ( 1)k arcsina k,k ;

1 x



a

Тригонометричне рівняння



a

1

cos x a

x arccosa 2 k,k ;

1 x



a

Тригонометричне рівняння

tg x a

x arctg a k,k

Тригонометричне рівняння

ctgx a

x arcctg a k,k

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

Характеристична властивість

an

an 1

an 1

, n 2

bn2 bn 1bn 1, n 2

2

Формула n -го члена

an an 1 d a1 d(n 1)

bn bn 1q b1qn 1

Формула суми n перших членів

S

n

a1 an

n

S

n

b

qn 1

q 1

2

1

Квантор існування

«існує x такий, що виконано A(x)»

— «існує», «знайдеться»

x : A(x)

Квантор спільності

«для будь-якого x виконано A(x)»

— «для будь-якого», «для всіх»

x : A(x)

Імплікація

«з A випливає B », «якщо A, то B »

A B

Еквіваленція

«A тоді й лише тоді, коли B »

A B

Заперечення

«не A »

A

Правила заперечення кванторів

(x);

1) x : A(x) x : A

(x)

2) x : A(x) x : A

Необхідна і достатня умови.

P — достатня умова для Q;

Нехай правдива теорема

Q — необхідна умова для P

Якщо:

індукції.

1) твердження P(n), n , правдиве

 Перевіряють правдивість

для n 1;

твердження P(n) для n 1.

2) із правдивості твердження P(k)

 Припускаючи правдивість

випливає правдивість твердження

твердження P(k), доводять

твердження P(k 1).

P(k 1), то твердження P(n)

правдиве для всіх натуральних n.

 На підставі принципу математичної

індукції висновують правдивість

твердження P(n) n .

Факторіал.

n ! 1 2

... n;

(n 1)! n !(n 1)

0 ! 1

Сума n доданків a1,a2,...,an

n

ak

a1

a2

... an

k 1

Біноміальний коефіцієнт

Основні властивості біноміальних

Ck

n !

коефіцієнтів.

k

n k

, k

0, n;

(n

k)!k !

n

 Cn

Cn

n(n 1)...(n k 1)

 Cn0

Cnn

1;

k !

 Ck 1 Ck

Ck 1, k 0, n 1

n 1

n

n

Біноміальна формула Ньютона.

n

(a b)n bn Cn1abn 1 Cn2a2bn 2

... Cnn 1an 1b an

Cnkakbn k

k 0

Окремі випадки формули Ньютона.

Паскалів трикутник.

 (a b)2 a2 2ab b2;

1

C00

 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3

1 1

C10 C11

1 2 1

C 0

C1

C 2

2

2

2

1 3 3 1

C30 C31 C32 C33

1 4 6 4 1 C

0

C1

C 2

C 3

C 4

4

4

4

4

4

Формули скороченого множення.

Формули перетворення

 a2 b2 (a b)(a b);

ірраціональностей.

a

b

 a3 b3 (a b)(a2 ab b2)



a

b

;

a

b

a b

 3 a 3 b

3 a2

3

3 b2

ab

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

15

Під множиною розуміють

Об’єкти, які утворюють множину

сукупність об’єктів довільної природи,

називають елементами множини.

об’єднаних за якою-небудь ознакою.

x належить множині A

x A (x є елементом A )

x не належить множині A

x A (x не є елементом A )

універсальна множина (множина всіх

U

елементів, які розглядають у задачі)

Порожня множина (множина, яка

не містить жодного елемента)

Способи задавання множин:

 переліком своїх елементів

A {a1, a2, ...,an };

 характерною властивістю

A {x | P(x)} — множина всіх x, які

мають властивість P(x)

Включення множин.

U

B

1) A A;

A B x A x B

2) A

A

A є підмножиною B

A B

Рівність множин.

x

B,

B,

x A

A

A B

A B

x

A

A

x B

B

Об’єднання множин.

1) A A A;

A B {x | x A або x B}

2) A A

B

A

A B

Переріз (добуток) множин.

1) A A A;

A B {x | x A і x B}

A

B

2) A

A B

16

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

Різниця множин.

1) A \ A ;

A \ B {x | x A і x B}

B

2) A \ A

A

A \ B

Доповнення множини.

U

1) A A

U;

U \ A

A

A

2) A A

A

Основні властивості дій над множинами.

комутативність об’єднання

A B B A

комутативність перерізу

A B B A

асоціативність об’єднання

A (B C ) (A B) C

асоціативність перерізу

A (B C ) (A B) C

дистрибутивність об’єднання щодо

A (B C) (A B) (A C )

перерізу

дистрибутивність перерізу щодо

A (B C) (A B) (A C )

об’єднання

закони де Моргана

A B A B, A B A B

закони поглинання

A (A B) A, A (A B) A

Множина натуральних чисел.

Множина цілих чисел.

{1, 2, 3,...,n,...}

{..., 2, 1, 0,1, 2,...}

Множина раціональних чисел.

Множина дійсних чисел

{a, 1 2 3...

m

m , n

a , i {0,1, 2,..., 9}}

n

Множина ірраціональних чисел

Властивості числових множин.

\

 ;



Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

17

Відрізок