Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Mx N

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

161

Розв’язання. [3.6.9.]

3x 1

x 2

x 1

(x 2)(x 1)

(x 1)

відповідає

відповідає (x 1)3

(x 2)


2)	x2	3		A
2)		2	x 1)	x 1
(x 1)(x			x 1)

відповідає

(x 1)

x2 x 1 .

відповідає

(x2 x 1)


3)	2x 1					A1	A2		M1x N1				M2x N2				.
3)	2	2		2		x											.
(x	2	2	x	2		x	x	2	x	2	1		(x		2	2
(x		1)	x				x		x		1		(x			1)

					відповідає x2							2				2
											відповідає (x			1)

15.4. Знайти коефіцієнти розкладу дробів на елементарні:

1)		6x3			11x2 10x 9			;	2)	4x		;
1)	(x 1)(x 2)(x2						1)	;	2)		(x 3)	;
	(x 1)(x 2)(x2						1)		(x 1)2		(x 3)
3)				1		.

	2		(x	2	2
	x		(x		1)

Розв’язання. [3.6.8, 3.6.9, 0.4.2.]

[Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]

6x3 11x2 10x 9

Cx D

(x 1)(x 2)(x2

x 1

x 2

[Зводимо розкладені дроби до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники дробів в обох частинах рівності (знаменники у них рівні).]

6x3 11x2 10x 9

A(x 2)(x2 1) B(x 1)(x2 1) (x 1)(x 2)(Cx D).

[Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях [0.4.2] .]:
x3		6 A B C
x3
			A 2,

x2
x2		11 2A B 3C D  B 3,

	1	10 A B 2C 3D
x	1	10 A B 2C 3D	C 1,
x
	0
x	0	9 A B 2D
x		9 A B 2D	D 1.

[Записуємо відповідь.]

6x3 11x2 10x 9

x 1

(x 1)(x 2)(x2 1)

x 1

x 2

2) [Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]

162	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

4x		A	B	C
					.
(x 1)2(x 3)		x 1	(x 1)2	x 3

[Коефіцієнти над степенями лінійних многочленів знаходимо методом викреслювання (домноження).]

[3.6.10]

(x 1)2

(x 3)

x 1

[3.6.10]

;

1)2 (x 3)

x 3

[3.6.10]

4(x 3) 4x

1! x

x 1

(x 3)

x 1

Отже,

(x 1)2(x 3)

x 1

(x 1)2

x 3

3) [Розкладаємо дріб на елементарні перетворюючи його (метод перетворення.]


	1		(1 x2) x2				1				1
x2(x2		1)2		x2(x2 1)2		x2(x2 1)					1)2
										(x2
	(1 x2) x2				1	1		1				1	.
	x	2(x2 1)			(x2 1)2	x2		x2				1)2
									1 (x2

Коментар. Два многочлена того самого степеня тотожно рівні, якщо вони мають рівні коефіцієнти при однакових степенях.

Знаходження коефіцієнтів можна дещо спростити, підставляючи у тотожність зручні значення: перші два «зручних» значення — дійсні корені знаменника. (метод зручних значень).

Підставляємо в тотожність значення:

x1 4 2A A 2;

x2 15 5B B 3;

x0 9 2A B 2D D 1.

Оскільки визначення коефіцієнту C потребує ще однієї рівності, прирівнюємо

коефіцієнти в обох частинах тотожності при x 3 :

6 A B C C 1.

15.5. Знайти:

x 4 1

dx;

2x 3

dx;

x 1

7x 12

				15. Інтегрування дробово-раціональних функцій						163
3)		dx		;	4)		x4		dx.
3)	1	x	4	;	4)	8	x	3	dx.
	1	x				8	x

Розв’язання. [3.6.10.]

1) Підінтегральна функція є неправильним дробом.

[Крок 1. Вилучаємо цілу частину неправильного дробу.]

x 4 1	2
	x 1		.
x3 x2 x 1		x3 x2 x 1

[Крок 2. Правильний дріб розкладаємо на суму елементарних дробів методом невизначених коефіцієнтів.]

x3 x2 x 1

(x 1)(x2

1).

Mx N

1 x

;

(x 1)(x2

x 1

x2 1

x4 1

x 1

x2 x

[Крок 3. Інтегруємо суму цілої частини дробу і елементарних дробів.]

x 1

d(x2 1)

ln(x2 1) arctg x C

;

x2 1

2 x2 1

x2 1

x4 1

dx (x 1)dx

x 1

2 x ln

x 1

arctg x 2 ln(x2 1) C.

x2 1

2) 1.

2x 3

— дріб правильний.

x2 7x 12

2. x2 7x 12 (x 3)(x 4).

2x 3

(x 3)(x 4)

x 4

2x 3

(x 3)(x 4)

x 3

2x 3

11.

(x 3)(x 4)

x 4

2x 3

x2 7x 12

x 4

2x 3

x2 7x 12

x 3

x 4

9 ln x 3 11 ln x 4 C.

164	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3) 1. 1 x4 — дріб правильний. 2. 1 x4 (1 x)(1 x)(1 x2).

								1										A									B				Mx N .
						1 x4										x 1									x				1		Mx N .
						1 x4										x 1									x				1							x2 1
				A														1																				1 ;
				A									1)(x 1)(x2																									1 ;
											(x		1)(x 1)(x2																1)				x 1								4
				B														1											1)				x 1								1 .
																		1
													1)(x 1)(x2
										(x			1)(x 1)(x2																1)			x 1									4
																													1)			x 1
				x3 \| A B M 0 M 0;
				x 0 : 1											1			1					N N																1 .
															4			4																					2
					1										1 1									1					1										1	1					.

				1 x 4											4 x 1
				1 x 4											4 x 1												4 x 1												2 x2				1
3.	dx			1			dx							1					dx						1									dx
3.		4		1	x 1									4				x 1							1							x		2
	1 x			4	x 1									4				x 1							2							x				1
						1							x 1							1		ln				x 1										1		arctg x C.
						1			ln											1																1
									ln
	x 4				4													4																	2
					4													4																	2
4) 1.			— неправильний дріб.
4) 1.	8 x3		— неправильний дріб.
															x4															8x
																					x																.
																					x														8		.
														x3 8														x3							8
2. x3 8		(x 2)(x2 2x 4).
												8x															A											Mx N
				(x 2)(x2 2x 4)																						x 2									x2				2x					4
				(x 2)(x2 2x 4)																						x 2									x2				2x					4
								A(x2 2x 4) (Mx N)(x																																	2)		.
														(x 2)(x											2 2x 4)																		.
														(x 2)(x											2 2x 4)
				8x A(x2 2x 4) (Mx N)(x 2).
																													A 4
								x 2							16 12A														A 4													;
																																									3
												x2					0 A M												M												4	;
																																									3
												x0				0 4A									2N N																8 .
																																									3

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

165

								x		4								4			1						x 2
								x										4			1						x 2
													x																		.
								3					x													2					.
							x	3	8													2			x	2	2x 4
							x		8									3 x				2			x		2x 4
3.	x	4dx		xdx							4					dx			4					x 2					dx
3.	3		8	xdx							3			x 2					4		x	2							dx
	x		8								3			x 2					3		x		2x 4
								x 2								dx				d(x2 2x 4) 2x 2,
																				d(x2 2x 4) 2x 2,
																								1
																				x 2
						x2 2x 4														x 2					(2x 2) 3
																								2
								1				d(x2 2x 4)												2				dx
								1				d(x2 2x 4)										3						dx
								2					x	2	2x				4			3			(x			2		3
								2					x		2x				4						(x			1)		3
						1 ln(x2								2x 4)									arctg x							1 C .
						1 ln(x2								2x 4)								3	arctg x							1 C .
								2																				3			1
								2																				3
				x2	4		ln(x				2)						2	ln(x2			2x 4)							4		arctg		x 1	C.
				2	3												3
																												3				3
																												3				3

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

15.6. Розкладіть на суму елементарних раціональний дріб:

2x2 41x 91

;

5x2 25x 26

;

(x 1)(x 3)(x 4)

(x 1)(x 2)(x 3)

3x3 10x2 11x 21

;

x 3 9x2 10x 14

;

x2 5x 4

x2 2x 8

x2 x 14

;

2x2 3x 4

;

4)3(x 2)

x2(x 2)2

;

3x 7

x2 4x 4

15.7. Знайдіть:

4dx

;

3dx

;

x 5

3dx

;

7dx

;

(x 2)

;

4x 5

166	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

xdx

7) (x2 4)2 ;

xdx

9) (x 1)(2x 1);

xdx

11) x2 5x 4;

15.8. Знайдіть:

2x2 41x 91

dx;

(x 1)(x 3)(x 4)

x 3 1

dx;

x2dx

;

8x 4

x 3

6x2 9x 7

dx;

(x 2) (x 5)

;

x(x

11)

(2x2 3x 3)dx

;

(x 1)(x

13) x3 x 1 dx; (x2 2)2

15) (1 x2)4 ;

17) x4 4x2 3;

8)									xdx												;

	x		4						6x			2					13
	x								6x								13
10)									xdx											;

			2x				2		3x 2
			2x						3x 2
12)							4x 3												dx.

			x		2			2x
			x					2x									6
2)									dx													;

	6x				3			7x					2		3x
	6x							7x							3x
4)		(2x2 5)dx																;
4)	x		4						5x		2							;
	x								5x							6
6)		x 3 1										dx;
6)	x		3			x				2		dx;
	x					x
8)				(7x3 9)dx																		;
8)	x		4						5x			3					6x			2		;
	x								5x								6x
10)						dx					;
10)			1		x					3	;
			1		x
12)			x5 2x3 4x 4																						dx;
12)					x			4	2x						3		2x							2	dx;
					x				2x								2x
14)					(5x2 12)dx																		;
14)					2																	2	;
			(x					6x 13)
16)				x2				x					dx;
16)								9					dx;
		(x 1)
18)								dx						.
18)			(x			4							2	.
			(x					1)

																												15. Інтегрування дробово-раціональних функцій																																															167
Відповіді
15.6. 1)										4														7													5									2)								3																4									2						; 3) 3x																1					3
																																													;																																														5																		;
									x 1													x 3											x 4												;							x 1													x 2													x	3												5								x 1								x 4		;
4) x2 x 1																								1													1								;	5)								13																			3													2						2						;
4) x2 x 1																					x			2								x									4				;	5)				(x										3																		2					x 4								x 2							;
																					x			2								x									4									(x									4)											(x 4)													x 4								x 2
	1							1														1																				3															1		2																			x 1																		2								2x 1
6)																																																		; 7)																																						; 8)																				.
6)			2																								2																							; 7)																										2												; 8)																2				.
		x							4x						2(x 2)																				4(x											2)																								1				x x																				x 1										x 4
		x							4x						2(x 2)																				4(x											2)											3 x													1				x x													1							x 1										x 4
15.7. 1) 4 ln														x 5												C; 2)													3				ln				4x 1												C;											3) C										1								;	4)									7							C;
																																							3																																									1																		7
																																							4																																																						2(x 2)2
																																							4																																							(x 2)3															2(x 2)2
5)	1		ln					x 1								C; 6)													1							arctg											2(x 1)												C;											7)										1								C;			8)			1		arctg							x2 3					C;
	1							x 1																					1																		2(x 1)																																	1														1									x2 3
	6							x 5																																																																																						4												2
																															6																						6																						2(x				2 4)
																															6																						6																						2(x				2 4)
					x 1																								1																																																			1							x2 5x															5				x 4
					x 1																								1																																																			1																						5				x 4
9) ln																C; 10) 5 ln((x 2)2																																							2x 1) C; 11)																										2 ln															4						6 ln				x 1			C;

							2x 1
							2x 1
12) 2 ln(x2 2x 6)																													1						arctg x																1 C.
12) 2 ln(x2 2x 6)																																			arctg x																1 C.
																															5																			5
15.8. 1) ln												(x 1)4(x 4)5																											C; 2)															3																								2						2x 3									1 ln							x		C;

																																																									ln					3x 1																			ln
																	(x 3)7																																								ln					3x 1																			ln
		x																																																			11																							33																	3
																																																					11																							33																	3
3)																			7																										9			ln					2x 1											C;
			ln							x									7				ln				2x 1																		9
			ln							x													ln				2x 1
	4														16																													16																												4
	4														16																													16
			1								x																		1												x
4)							ln													2														ln																3				C; 5)																							ln					x 1								C;
																				2																														3
																																																																					x
	2 2										x 2																2 3													x 3																																	2
	2 2										x 2																2 3													x 3																																	2
6) x							1 ln								(x 1)2														C;										7)											3									ln									x 5									C;
															(x 1)2																																			3
																						x																							2(x												2
							x															x																							2(x									2)
8)		3							5 ln					x				20 ln												x 3																	47 ln									x 2											C;
		3
		2x
								4																																						4
								4																																						4
									x						C; 10) 1 ln																										(x 1)2																				1					arctg									2x						1
9) ln																																																																																			C;

																																						x2 x
							x2 1																						6									x2 x																1					3																			3
11) ln								(x2 2x 5)3																								1 arctg x 1																						C;
11) ln													x 1																			1 arctg x 1																						C;
													x 1																		2															2
12)			x2				2x								2							2 ln(x2													2x 2) 2 arctg(x 1) C;
12)			2				2x									x						2 ln(x2													2x 2) 2 arctg(x 1) C;
			2													x					ln(x2 2)
13)				2 x																	ln(x2 2)																								1														x
																																																	arctg														C;
			4(x2 2)																								2															4
			4(x2 2)																								2															4					2															2
14)						13x 159																							53																x 3									C; 15)																	15x5 40x3 33x																							5			arctg x C;
																													16 arctg																	2
			8(x2 6x 13)																										16 arctg																	2																													48(1 x2 )3																				16

16)								1																			3																			1								C; 17)																		1				ln				x 3											1	ln				x 1								C;
				6(x									6																		7									4(x										8																														x											4					x 1
													6																		7																			8																				4 3																3
													1)									7(x 1)																								1)																								4 3																3
18)			3 arctg x																						x													3					ln					x 1										C.
																									x													3										x 1
																		4(x 4											1)								16											x 1
			8															4(x 4											1)								16											x 1

168Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

16.Інтегрування тригонометричних виразів

Навчальні задачі

16.1. Знайти:

1) 3 cos x sin x 5;

3) cos5 x dx; sin4 x

Розв’язання. [3.7.1–3.7.4.]

2) sin3 xdx; cos2 x

4) sin2 x 3 sin x cos x cos2 x .

							[3.7.1]			t tg x			; sin x					2t			,
		dx					[3.7.1]			t tg x			; sin x					t2			,
		dx									2		1 t2			1		t2
3 cos x sin x 5										cos x			1 t2			, dx				2dt
										cos x			1	t2		, dx			1 t			2
													1	t2					1 t			2
						2dt
																dt										dt
					1 t2											dt										dt
			3 3t2					2t				5			t2 t 4								t		1		2		15
			1 t2				1 t2					5											t		2		2		4
			1 t2				1 t2
	2				2									2							2			x				1
	2				2						1			2							2			x				1
			arctg					t				C					arctg						tg							C.


	15													15										2
	15					15					2			15					15					2				2
sin3 xdx				( sin x)3					sin3 x					[3.7.2]
														[3.7.2]


cos2 x				cos2 x								cos2 x

sin2 x sin xdx

(1 cos2 x)d(cos x)

cos2 x

d(cos x)

cos x

cos

cos5 x

( cos x)5

cos5 x

[3.7.3]

cos4

x cos xdx

sin

t sin x;dt cos xdx;

(1 sin2 x)2d(sin x)

cos2 x 1 t2

sin4 x

d(sin x)

sin x C.

sin

3 sin

sin x

sin

x 3 sin x cos x cos

16. Інтегрування тригонометричних виразів

169

[3.7.4]

( sin x)2 3( sin x)( cos x) ( cos x)2

sin2 x

3 sin x cos x cos2 x

d(tg x)

tg2 x 3 tg x 1

cos2 x

tg2 x 3 tg x 1

d(tg x)

2 tg x 3

tg x

2 tg x 3 5

16.2.

Знайти:

dx;

;

cos

sin

cos4 x

dx;

4) tg4 xdx;

sin

5) ctg3 xdx.

Розв’язання. [3.7.]

cos2 x sin2 x

sin2 x

[3.4.3]

cos

cos x

cos

u sin x

du cos xdx

sin x

dv sin xdx

cos x

2 cos2 x

cos x

cos3 x

2 cos2 x

sin x

2 cos

[3.7.1]

t tg

, dx

2dt

(1 t2)6dt

1 t

....

sin

sin x

64t

1 t2

cos4 x

[3.7.4]

ctg5 x

ctg4

xd(ctg x)

sin6 x dx

sin2 x

[3.7.8]

4) tg

xdx

cos

170	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

xd(tg x) tg

xdx

1 dx

tg3 x

cos

tg x x

[3.7.9]

5) ctg

xdx

ctg x ctg

x dx ctg x

sin

ctg xd(ctg x) ctg xdx

d sin x

2 ctg2 x

sin x

1 ctg2 x ln

sin x

16.3. Знайти:

1) sin 6x cos 7xdx;

2) cos4 3xdx.

Розв’язання. [3.7.7, 3.7.10.]

[3.7.10]	1		1		1

		( sin x sin 13x)dx
sin 6x cos 7xdx		( sin x sin 13x)dx		cos x		cos 13x	C.
	2		2		13
	2		2		13

		4		[3.7.7]			1 cos 6x 2					1	1 2 cos 6x cos				2	6x dx
cos		4	3xdx														2
cos			3xdx						dx
							2					4
							2					4
	1	cos 12x			1			1		3			1		1
	1	cos 12x			1			1		3			1		1
						cos 6x			dx		x			sin 6x		sin 12x C.
						cos 6x			dx		x			sin 6x		sin 12x C.
			8		2					8			12		96
			8		2			4		8			12		96

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
16.4.	Знайдіть:
	1)	cos 3x cos xdx;					2)	sin 5x sin			x	dx;
	1)	cos 3x cos xdx;					2)	sin 5x sin				dx;
								2
	3)	sin	3	x cos	x	dx;	4)	cos4	x	dx.
	3)	sin		x cos	4	dx;	4)	cos4		dx.
		4			4			2
16.5.	Знайдіть:
	1)	sin3 xdx;					2)	cos5 xdx;
	3)	sin3 x cos2 xdx;					4)	sin2 x cos5 xdx;
	5)	sin2 x cos2 xdx;					6)	sin2 x cos4 x;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc