Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

2. Границя послідовності

2.5.Довести, що послідовність {xn }, яку означено рекурентним співвідно-

шенням xn 1 2 xn , x1 2, збіжна. Знайти її границю.


Розв’язання. [1.19.10]
Доведімо, що для всіх n правдива нерівність xn				2. Припустімо, що цю нері-
вність доведено при n k,xk 2. Тоді маємо

xk 1 2 xk 2 2 2.
Оскільки x1 2, то, на підставі принципу математичної індукції, нерівність
xn 2 доведено для всіх n. Оскільки, крім того,				0 xn, то послідовність {xn}
обмежена. З нерівності

						x2
x	n 1	2 x	n	2x	n	x2	x	n
	n 1		n		n	n		n

випливає, що вона зростає.

Отже, за ознакою Веєрштраса, ця послідовність має границю, яку позначмо s. Перейдімо до границі в рівності

a2	2 a	.
n 1	n

За теоремою [1.19.8] маємо

			s2 s 2,
звідки s1 1,s2 2. Але, оскільки xn 0 n , то s 0.
Отже,	lim an 2.
	n
					n
					( 1)
					( 1)	n
2.6.	Довести, що послідовність {xn			}			є розбіжною.
2.6.	Довести, що послідовність {xn			}	n 1		є розбіжною.
					n 1
Розв’язання. [1.19.1.]
Розв’язання. [1.19.1.]
Розгляньмо послідовність
	{x	n	} 1	, 2 , 3 ,		4 , ...
		n	2	3	4	5
			2	3	4	5

Якщо вибрати 1, то всі парні члени послідовності потрапляють в інтервал (0; 2) з центром у точці x 1, а всі непарні

— в інтервал ( 2; 0) з центром	у точці	2	1	x	3	x	1	0	x x	1	2
									2 4
x 1, причому ці інтервали не перети-				Рис. до зад. 2.6
наються.
А за означенням, якщо точка x 1	або x 1 була б границею послідовності

{xn }, то всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, мали б потрапи-

ти у вибраний інтервал.

72	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

2.7.Знайти:

lim

(n 2)3 (n 2)3

;

lim

n 6

n10

;

96n2 39n

n (n 4

)3 n3 1

lim

n ! (n 1)!

;

lim

2n 3n .

(n 2)!

n 2n 3n

Розв’язання. [1.19.8, 1.20.1, 1.20.5, 1.20.7] 

1) lim

(n 2)3

lim

6n2 12n 8 (n3

6n2 12n 8)

39n

96n2 39n

96n2

12n2

12 162

lim

96n2

39n

n 96

поділімочисельник

і знаменник на n2

2) lim	n 6	n	5			32n10	1

					)3 n3 1
n (n 4				n	)3 n3 1

поділімочисельник і знаменник на n2 «найвищий степінь» n з урахуванням показників коренів


		1	5 32				1		5
										32
lim	n5 6						n10				2.

n 1				1	3	1		1		1
				n3 4				n3

3) (n 1)! (n 1)n !; (n 2) ! (n 2)(n 1)n !.

	n ! (n 1) !		n !(1 (n 1))		n 2		[1.20.5]
lim		lim		lim			0,

	(n 2)!					2)
n		n n !(n 1)(n 2)		n (n 1)(n

оскільки степінь многочлена в чисельнику менше, ніж степінь многочлена у знаменнику.

				1	2		n			2	n
	n	n										0,	1
	n	n			3
4) lim	2	3			3
			lim											1.
			lim											1.
n 2n 3n			n	1		2		n	3				1
n 2n 3n			n			2		n	n				1
						3			n

Коментар. Щоб знайти границі типу 1)–3) ділять чисельник і знаменник дробу на n у найвищому степені всього виразу (коли цей степінь з’ясується), або на вираз, який найшвидше зростає (приклад 4).

2.8.Знайти:

															1				1		1	...		1
1)	lim n				n2 1 n ;								2)		1			3		9		...			n
																		3		9					n
														lim										3		;
														lim				1		1				1		;
	n													n 1								...
	n													n 1				4		16		...			4n
																		4		16					4n
															3
			1			2			n 1						3	n	2		sin n			2
																	2					2
3)								...					4)	lim									.
	lim											;
	lim					n				n		;				n			1
		n		2		n	2			n	2			n		n			1
	n			2			2				2			n

2. Границя послідовності

Розв’язання. [1.19.7, 1.19.8, 1.20.5, 1.20.7.]

1) [Тут застосувати теорему [1.19.8] безпосередньо не можна. Отже, перетворюємо загальний член послідовності.]

lim n

n2 1 n

lim

[1.2.8]

n2 1 n

lim

n2 1 n

n n2 1 n

найбільший степінь

lim

виразу n, а не n

2) Ця послідовність є часткою сум двох геометричних прогресій із знаменника-

ми q1	1	та q2		1 .
	3			4

								(1 3)n 1		1					n 1
	1	1	1		1		1		1 3 1			3	1	1		[1.20.7]
		1	1		1		1
				...								2		3
		3	9	...	3n							2		3
lim		3	9		3n		lim				lim						9 .

	1			...				(1 4)				4		1	n 1
n	1			...			n	(1 4)		1	n	4		1			8
n		1	1		1		n		n 1		n					[1.19.8]
							1						1	4
		4	16			4n
												3
												3
									1 4 1
									1 4 1

3) [Тут не можна скористатись безпосередньо теоремою [1.19.8], оскільки маємо суму нескінченної кількості н. м. п. Перетворюємо загальний член послідовності, зводячи дроби до спільного знаменника і користуючись формулою суми арифметичної прогресії з різницею 1. ]

n 1

1 2 ... (n 1)

...

lim

n(n 1)

n 1

[1.20.5]

1 .

lim

2n2

4) Послідовність є добутком н. м. п.

(степінь чисельника менша за

степінь знаменника) й обмеженої послідовності {sin n2}, оскільки

	sin n2		1	n .
Отже, властивістю [1.19.7] маємо, що
3
		n2 sin n2			0.
	lim
			n	1
n

74	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

2.9.Запишіть перші 5 членів послідовності {xn }, якщо:

1) xn

( 1)n

;

2) x1 1, xn xn 1 2.

2.10.

Доведіть, що послідовність {xn} зростає, якщо:

1) xn n3 2n;

2) xn n ln n;

3) xn

;

4) xn

1 3 5 ... (2n 1)

n !

2.11.

Доведіть, що числова послідовність {xn} обмежена, якщо:

1) xn ( 1)n;

2) xn

n 1

2.12. Дослідіть послідовність на монотонність і обмеженість:

1) xn

;

2) xn cos n ;

3) xn

;

4) xn n.

2.13.Знайдіть найбільший елемент обмеженої зверху послідовності {xn },

якщо:

1) xn 6n n2 5;

10n

3) xn n ! ;

2) xn e10n n2 24;

4) xn (2n 1)! .

2.14.

Доведіть, що

lim xn

і визначте номер

N , такий, що

xn a

0, 001 n N , якщо:

3n 1

1) lim

3n 2

lim

n n 1

2.15.

Знайдіть:

1) lim

(1 3n)3 27n3

;

lim

(n 1)4 n4

;

(1 4n)2 2n2

n4 3

2. Границя послідовності

3) lim	(n 1)2	;	4) lim	(n 1)(n 2)(2n 1)	;
				4n3 1
n (n 1)3 (n 3)3			n


5)	lim			n 2							3 8n3 3							;					6)		lim				n2 n 9n2 2n														;

						4 n 5 n																					3			n3 1 3								8n3 2
n						4 n 5 n																		n			3			n3 1 3								8n3 2
7)	lim	(2n 1)! (2n 2)!																	;				8)		lim									(n 4) !							;
7)	lim																		;				8)		lim																;
n		(2n 3)! (2n 2)!																						n (n							3)! (n									2) !
9)	lim	2 5n 4n									;												10)			lim				3n 4n							;
9)	lim										;												10)			lim											;
n 3 5n 4n																										n 3n 4n 1

11)	lim				3	n2 n					3	n				;							12)			lim (						n2 3							n2 3);
	n																									n
						n	2					n			3															2n				2	5			n	2	4
						n						n																		2n					5			n		4
13)	lim																;						14)			lim																;

																															4n 1							2n 3
	n		n 1								n	2	1													n					4n 1							2n 3
											n		1
			n cos n !																									4					sin 2n			;
15)	lim		n cos n !							;													16)			lim		4			n		sin 2n
15)	lim									;													16)			lim
	n n2 1																									n				n3 1
					1				3								2n 1
17)					1				3		...						2n 1
	lim																					;
	lim								n									n				;
			n			3			n	3								n		3
	n					3				3										3
								1			1				1									n 1
								1			1				1							( 1)
18)	lim		1													...

																										;
	n							3			9				27								n 1
								3			9				27							3
																						3
					1						1										1
19)					1						1		...								1
	lim																							;
	lim				1 2					2		3							n(n					;
					1 2					2		3							n(n				1)
	n
						1					1												1
20)						1					1			...									1
20)	lim				1 3					3		5		...					(2n								.
					1 3					3		5							(2n			1)(2n 1)
	n

2.16. Доведіть існування границі послідовності

xn		1	1	...	1	.
	2	1	22 1
					2n 1

2.17. Доведіть існування границі послідовності і знайдіть її:

1) 2, 2	2, 2 2			2,...;	2) 0, 2, 0, 23, 0, 233, 0, 2333, ...;
3) xn 1		xn	,x1	a	0.
	2 xn

76	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

2.18.Встановіть, які із заданих послідовностей є нескінченно великими, а які нескінченно малими:

			2) xn n( 1)n ;
1) xn 2 n ;			2) xn n( 1)n ;
3) xn n sin	n	;	4) xn lg(lg n), n 2;
	2

5)xn n 32 n n3 ;

6)xn 2n2 4n 1 2n2 3n 2.

Відповіді

2.9. 1) {xn } 1, 1

, 1

1 ,....; 2)

{xn } 1, 3, 5, 7, 9,....

2.10. 1) xn

; 2) xn

;

(2n

1) 2n 2

2.12. 1) зростаюча, необмежена; 2)

немонотонна, обмежена;

зростаюча,

обмежена;

4) спадна, обмежена зверху.

2.13. 1) xmax x3 4;

2) xmax x5

3) xmax

x9 x10

109

; 4) xmax x1 2 .

9 !

2.15. 1) 3 ;

2) 0;

1 ;

4) 1 ;

5) 2;

6) 2;

7) 0; 8)

; 9) 2 ; 10)

; 11) 1 ; 12)

0; 13) 1;

14) 5 ; 15)

0; 16)

0; 17)

0; 18)

3 ; 19) 1; 20)

1 .

2.17. 1) 2; 2)

;

3) 0.

2.17. 1), 4) — н. в. п.; 5) — н. м. п.

3. Границя функції

Навчальні задачі

3.1.Виходячи з означення границі функції за Коші (мовою ), довести, що:

1)	lim(4x 1)		9;	2) lim	1		0;


	x 2			x x 2
3)	lim	1	.


	x 2 x 2
Розв’язання. [1.21.3.]
1) Візьмімо 0 і знайдімо таке ( ), що для всіх x,						які справджують нерів-

ність	x 2	, виконано нерівність

3. Границя функції

(4x 1) 9 ; x 2 4 .

Якщо 4 , то

x 2 4 (4x 1) 9 .

Отже, lim(4x 1) 9.

x 2

2) За означенням

lim

x x 2

0 0 x : x

x 2

Візьмімо довільне 0,

тоді

(0) O

U ( )

x 2

; x 2

;

Якщо			1 2,			коли 1 2 0,				або	0,		коли

1 2 0,			то

											1
									x				,
									x			x 2	,
а, отже, lim					1			0 .
а, отже, lim							2	0 .
		x x					2
3) За означенням
	lim		1		0 0							x : 0		x 2
			1


x 2 x				2
x 2 x				2
Візьмімо довільне 0, тоді
						1			x 2		1 .
	1
	1

	x 2				x	2
	x 2				x	2

Рис. до зад. 3.1.2)

		1		.
	x 2

U ( )

Якщо 2	1	, то для всіх x :				2
						O	x
0	x 2			1	.	U ( 2)
0	x 2			x 2	.
Отже, lim		1	.				U ( )
Отже, lim			.
x 2 x 2

Рис. до зад. 3.1.3)

78	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

3.2.Знайти:

lim

;

lim

x2 1

;

x 1

x 0 2x2 x 1

x 1 2 2x2

lim

;

lim

x 1 2x2 x 1

x 2x2 x 1

Розв’язання. [1.20.7, 1.21.11, 1.23.] 

1) [Функція є відношенням двох многочленів. Оскільки знаменник не прямує до нуля, коли x 0, то до обчислення цієї границі застосовна теорема [1.21.11.]]


lim	x2	1	0 1		1.
lim			2 02	0 1	1.
x 0 2x2 x 1			2 02	0 1

2) [Знаменник дробу прямує до нуля, коли x 2 , а чисельник до нуля не пря-

мує — це «визначена» ситуація.]

		x2 1	3		[1.20.7]

				4
lim						.
lim			0			.
x 1 2 2x2 x 1			0

3) [Маємо невизначеність	0	— чисельник і знаменник раціонального дробу
	0

прямують до нуля — щоб знайти границю, треба перетворити вираз під знаком границі.]

x2 1

[0.4.3]

(x 1)(x 1)

x 1

lim

2 x 1 x

x 1

2x 1 3

4) [Оскільки найвищі степені чисельника і знаменника рівні, то границя відношення многочленів, коли аргумент прямує до нескінченності, дорівнює відношенню старших коефіцієнтів чисельника і знаменника.]

					x	2	1		[1.20.5]		1 .
			lim		x		1
			lim	2x	2	x 1
		x		2x		x 1					2
		x
Справді,
		x2 1								1		1		1
		x2 1								1		x2		1
lim								lim							.
lim	2x		x		1			lim	2 x		x2			2	.
	2x		x		1				2 x		x2			2
x		2						x	1				1
x		2						x	1

Коментар.  Способи відшукання границі функції в точці залежать як від самої функції, так і від точки, до якої прямує аргумент функції.

3. Границя функції

3.3.Знайти:

lim

x2 3x 2

;

2) lim

x2 5x 6

;

(x 3)2(x

x 2 2x2 x

x 3

3) lim

x 4

x 5 3

Розв’язання. [1.21.11.]

2 3x

[0.4.3]

(x 2)(x 1)

x 1

1) lim

lim

2(x 2) x

x 2

2) lim

2 5x 6

[0.4.3]

(x 3)(x 2)

lim

x 3

3) (x 1)

(x 3) (x 1)

	x 2		1
lim				.
lim				.
x 3	(x 3)(x	1)	0
	(x 3)(x	1)	0

[1.2.8]

x2 16

(x2 16)(

x 5

3) lim

lim

x 5

x 5 3 x 5

x 4

lim (x 4)(x

4)(

x 5

3) lim(x 4)(

3) 48.

x 5

x 4

3.4.Знайти:


1) lim	x2	2x 5	;	2) lim	3x2		6	;
		x 1				4x2
x x3				x 5

lim

x3 1

;

4) lim

4x2 x

x x2 2

x 4

x8 5x 3

Розв’язання. [3.3, 3.2.6.]

[1.23.5]

lim

0 (степінь многочлена знаменника вищий за

x 1

степінь многочлена чисельника).

lim 3x

[1.23.5]

(степінь многочлена чисельника дорівнює сте-

5 4x

пеню многочлена знаменника — границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів многочленів).

	x	3	1	[1.23.5]
3) lim	x		1		(степінь многочлена чисельника вищий за сте-
x	x	2	2
x		2

пінь многочлена знаменника).

80	Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

		4x2 x					4		1
		4x2 x					4		x
4) lim				lim							4
4) lim				lim							4
x 4	x	8	5x 3		x	4	5		3
x 4		8			x		5		3
							1
							1	x7		x8

(найвищі степені чисельника і знаменника дорівнюють 2 з урахуванням показника кореня).

3.5.Знайти:

lim

3x 1

;

2) lim

x 2

Розв’язання.

1) lim

9x2 3x 1

[ ]

lim 3x

1 3x 9x2

3x 1

[1.2.8]

9x2 3x 1

lim

9x2 9x2

3x 1

lim

(3x 1)

3x 9x2

3x 1

x 3x

9x2 3x 1

lim

9x2 3x 1

[ ] .

(x 1) 3

2) lim

[ ] lim

x 2

2)(x 1)

x 2

lim

x 2

lim

1 .

(x 2)(x

x 2

x 2 x 1

3.6.Знайти а) f (x0 0); б) f (x0 0):

f(x)

x 1

1), x0

2) f (x)

, x0 2;

x 1

x 2

x 1,

x 2,

f (x)

x 2,

Розв’язання. [1.21.4, 1.21.5.]

1) lim		x 1
		x 1
x 1 0


lim	x 1		1;
lim			1;
x 1 0	(x 1)
	lim	x 1		lim x 1	1.
	lim	x 1		lim x 1	1.
x 1 0		x 1		x 1 0 x 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc