PraktykumD+ICh

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

31

Числова послідовність. Числовою

x1, x2,...,xn,... — члени послідовності;

послідовністю

xn

f(n),n , — n -й (загальний)

x1,x2,...,xn,... {xn },n ,

член послідовності

називають числову функцію

xn f (n) означену на множині

натуральних чисел .

Обмежена послідовність {xn }

M 0 n :

xn

M

Необмежена послідовність {xn }

M 0 n :

xn

M

Монотонні послідовності ( xn 1

xn;

q

xn 1

, xn 0)

xn

Зростаюча послідовність {xn }

n : xn

xn 1

{xn }

0

q 1

Неспадна послідовність {xn }

n : xn

xn 1

0

q 1

Спадна послідовність {xn }

n : xn

xn 1

{xn }

0

q 1

Незростаюча послідовність {xn }

n : xn

xn 1

0

q 1

Границя числової послідовності xn.

0

N : n N

a lim xn

xn U (a).

n

Збіжні (розбіжні) послідовності.

Якщо a , або не існує, то

Якщо a , то послідовність

послідовність називають розбіжною.

називають збіжною.

Збіжна послідовність

0

N : n N

lim xn a

xn a

n

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

33

1.20. Деякі важливі границі послідовностей

 lim

1

0, 0

 lim n , 0

n

n n

n

 lim

n

lim n

1,a 0

a

n

 lim

1

n

n

1

e

n

n

l m,

0,

a nl a nl 1

... a

a

0

 lim

0

1

l

, l m,

n

b0n

m

b1n

m 1

... bm

b

0

,

l m

Невизначеності

0

, 0 , 0 , ,1 , 00, 0

a ( ) ;

( ) ( ) ;

a ( ) ,a 0;

( ) ( ) ;

a

0;

a ;

0

0 0;

0 ;

a 0, 0 a 1;

a , 1 a ;

( )b 0, b 0;

( )b , 0 b

Означення за Гейне, мовою

{xn } : xn D(f ), n :

послідовностей

lim xn x0, xn x0

lim f (x) A

n

f(xn ) A

x x0

lim

n

Означення за Коші, мовою околів

U (A) U (x0 ) :

lim f (x) A

x X U (x0) \ {x0} f (x) U (A)

x x0

Означення за Коші, мовою -

0 ( ) 0 x D(f ) :

lim f(x) A (x0, A )

0

x x0

f(x) A

x x0

Ліва границя.

Права границя.

lim f(x) f (x0

0) lim f (x)

lim f(x) f(x0 0) lim

f (x)

x x0 0

x x0,

x x0 0

x x0,

x x0

x x0

Необхідна і достатня умова

коли в цій точці існують рівні границі

існування скінченної границі.

зліва і справа:

Функція f (x), x X, має скінченну

lim f (x) A

границю в точці x0

тоді й лише тоді,

x x0

lim f(x) A

lim f (x)

x x0 0

x x0 0

Нескінченно мала функція

lim (x) 0

в точці x0 (н. м. ф.)

x x0

Нескінченно велика функція

lim f (x) (або )

в точці x0 (н. в. п.)

x x0

Властивості функцій, що мають

Властивості н. м. ф.

скінченну границю.

 Алгебрична сума і добуток

 Якщо функція має границю в точці,

скінченної кількості нескінченно

то ця границя єдина.

малих функцій, коли x x0, є

 Функція, що має скінченну

н. м. ф., коли x x0.

границю в точці, обмежена в деякому

 Добуток н. м. ф., коли x x0, на

околі цієї точки.

 Якщо функція f

має додатну

обмежену в околі точки x0 функцію є

(від’ємну) границю A в точці x0, то

н. м. ф., коли x x0.

існує проколений окіл точки x0, в

якому функція f додатна (від’ємна).

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

37

 (x) — н. м. ф. вищого порядку

lim

(x)

0

(x) o( (x)),

x x0

мализни, ніж (x), коли x x0

x x0

(x)

 (x) — н. м. ф. нижчого порядку

lim

(x)

(x) o( (x)),

x x0

мализни, ніж (x), коли x x0

x x0

(x)

 (x) та (x) — н. м. ф. одного

lim

(x) A 0

(x) (x)),

порядку мализни, коли x x0

x x0

(x)

x x0

 (x) та (x) — еквівалентні

lim

(x)

1

(x) (x),

н. м. ф., коли x x0

x x0

(x)

x x0

 (x) та (x) — непорівнянні

lim

(x)

н. м. ф., коли x x0

x x0

(x)

 (x) н. м. ф. порядку k щодо

lim

(x)

C,

(x) C( (x))k ,

н. м. ф. (x),

коли x x0

x x0

( (x))k

x x

,

0

C 0,C ;

C( (x))k — головна частина розкладу

функції (x) щодо (x), x x0

 Якщо н. м. ф.

f еквівалентна

Нескінченно малі в точці функції

функції g, коли x x0,

то для будь-

(x) та (x) еквівалентні тоді й лише

якої функції h(x) правдиві формули:

тоді, коли їхня різниця є н. м. ф.

вищого порядку щодо (x) та (x),

lim f(x)h(x) lim g(x)h(x);

коли x x0, тобто

x x

0

x x

0

f (x)

g(x)

lim

lim

.

(x) (x) o( (x)),

x x0

h(x)

x x0 h(x)

(x) (x) o( (x))

 Сума скінченної кількості н. м.

f (x) axm bxn,m n :

ф. різних порядків еквівалентна

f(x) axm,x 0;

доданку найменшого порядку.

 Сума скінченної кількості н. в. ф.

f(x) bxn,x

різних порядків еквівалентна доданку

найвищого порядку.

Перша визначна границя

lim

sin x

1

x

x 0

Наслідки.

 lim tg x

1;

 lim arcsin x

1;

x 0

x

x 0

x

 lim 1 cos x

1 ;

 lim arctg x

1

x 0

x2

2

x 0

x

Друга визначна границя

x

1

1 y

e

lim 1

lim(1 y)

x

y 0

x

Наслідки.

 lim

loga(1 x)

1

;

 lim

ax

1

lna;

x

lna

x

x 0

x 0

 lim

ln(1 x)

1;

 lim

ex

1

1;

x

x

x 0

x 0