Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumD+ICh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

sin 2xdx

xdx;

16. Інтегрування тригонометричних виразів

171

7) sin3 x dx; cos4 x

9) ctg4 xdx;

11) 5 3 cos x;

13) 5 4 sin x 3 cos x;

15) 4 sin2 x 7 cos2 x;

15) sh3 xdx;

17) sin4 x cos4 x;

8) sin4 x dx; cos2 x

10) tg5 xdx;

12) 5 4 sin x;

14) 3 2 sin x cos x;

16) 4 3 cos2 x 5 sin2 x.

16) ch3

18) cos4 x sin4 x.

Відповіді

16.4. 1)							1		sin 2x									1		sin 4x C; 2)																1	sin				11			x			1		sin					9	x C; 3) cos x								1 cos x C;
16.4. 1)							4		sin 2x											sin 4x C; 2)															11		sin			2				x		9			sin				2		x C; 3) cos x								1 cos x C;
							4										8																		11					2						9							2								2		2
4)		3x			sin x sin 2x																			C.
	8						2										16
16.5. 1) cos x																	cos3 x								C; 2) sin x												2 sin3 x									sin5 x								C;
16.5. 1) cos x																			3						C; 2) sin x												3											5						C;
																			3																		3											5
3)		1		cos3 x(3 cos2 x 5) C; 4)																									1		sin3 x											2	sin5 x									1	sin7 x C;
	15																												3											5										7
5)		x				sin 4x								C; 6)										x			sin 4x							sin3 2x								C; 7)								1							1				C;
5)	8						32							C; 6)									16				64								48							C; 7)							3 cos3 x								cos x				C;
	8						32																16				64								48														3 cos3 x								cos x
8) tg x									1		sin 2x									3		x C; 9)						x						1	ctg3 x ctg x C;
8) tg x											sin 2x								2			x C; 9)						x					3		ctg3 x ctg x C;
							4												2														3
10)			1	tg4 x										1	tg2 x ln											cos x		C;							11)			1	arctg 2 tg												x		C;			12)				2	arctg	5 tg x2 4		C;
10)			1	tg4 x										1	tg2 x ln											cos x		C;							11)			1	arctg 2 tg												x		C;			12)				2	arctg	5 tg x2 4		C;
			4										2																								2													2										3			3
			4										2																								2													2										3			3
							1																									x																1
13)							1																14)									x													15)			1
																C;										arctg tg											1 C;													arctg(3 tg x) C;
										x						C;										arctg tg											1 C;													arctg(3 tg x) C;
										x		1)																				2																3
					2(tg 2							1)																				2																3
16)				1				ln				2 tg x											7		C; 17)					1			ch3 x ch x C;																			18) sh x						1	sh3 x C;
16)								ln			2 tg x														C; 17)								ch3 x ch x C;																			18) sh x							sh3 x C;
			4			7					2 tg x												7						3																											3
17) C							1					arctg(									ctg 2x) C; 18) arctg(tg2 x) C.
							1												2

							2
							2

172Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

17.Інтегрування ірраціональних виразів

Навчальні задачі

17.1. Зінтегрувати, використовуючи відповідну замінну змінної:

xdx

;

2x 1

;

2x 1 2x 1

;

3x2 6x 4

x x2 x 1

Розв’язання. [3.8.]

xdx

[3.8.4]

x 1

t6,

(t6

1)t5dt

x t6 1,

x 1

dx 6t5

t3(t6 1)

dt 6 t8 t7 t6 t5 t4 t3 dt

t 1

6 x 1

[3.8.4]

2x 1

1 t2

2x 1 dx

2x 1

2tdt

2x 1 2x 1

; 2x 1

(1 t2)2

1 t2

t 2tdt

2 2

1 t

(1 t )

1 t2

1 ln

1 t

2x 1

1 ln

2x 1

1 t

2x 1

2x 1 2x 1

[3.8.1]

3x2

6x 4

(x 1)

x 1

(x 1)2

(x 1)

[3.8.3]

1 ; x

1 ;dx dt2

x2 x 1

17. Інтегрування ірраціональних виразів

173

					dt				dt			dt

	1						1		1 t t2		5		1			2
t								1				t
			2
		t	2				t				4			2
		t				1	t
arcsin		t				1	C arcsin 2t			1 C arcsin 2					x C.
		t				2

				5
				5					5				5x

				2
				2

17.2. Використовуючи тригонометричні підстанови, знайти:

			1)								dx							;																2)									dx						.
			1)															;																2)															.
							x	2			x	2	9																													(4 x				2	3
							x				x		9																													(4 x					)
Розв’язання. [3.8.6–3.8.8.]
																																								3dt
																																								3dt

				dx										x 3 tg t, t											0; ; dx																2
				dx																																					2
1)																													2										cos t
1)																																							cos t
	x	2		x		2	9																																3
		2				2										x2 9 9 tg2 t 9																							3
																x2 9 9 tg2 t 9																						cos t
																																						cos t
												3dt												1		cos tdt											1				d sin t										1
																								9																													C
								2					2							3				9			sin			2	t						9					sin		2	t						9 sin t		C
					cos				t		9 tg						t
					cos				t		9 tg						t			cos t
									1			1					1			C						1				1					x	2		C										x2 9				C.
									9 cos t						tg t					C					3x					1					9			C											9x			C.
									9 cos t						tg t										3x										9														9x
																										0;					;dx 2 cos tdt; sin t x ;

				dx										x 2 sin t, t
2)																													2																						2

			(4 x2)3
			(4 x2)3														4 x				2			4							2		t			2 cos t
																	4 x							4	4 sin								t			2 cos t
																			2 cos tdt						1							dt							1			tg t			C

																			8 cos			3	t		4						2				t				4
																			8 cos				t		4					cos					t				4
										1						sin t							1						x						C										x					C.
																							1												C															C.
										4				1 sin2 t										4 2				1				x2									4				4 x2
														1 sin2 t										4 2				1				4									4				4 x2

17.3. Знайти, використовуючи теорему Чебишова:

			dx						3	1		4
			dx						3	1		4	x
1)								;	2)					dx;
				3			3
	x(1			3			3				x
	x(1				x )						x
3)		dx				.

	4
	4	1
		1	x 4

Розв’язання. [3.8.5.]

174	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

																																												m 1, n															1	, p 3
1)				dx										x 1(1 x														1 3			) 3dx																												3	3; x t3;
				dx																								1 3																	k НСК(1, 3)

	x(1					3				3
						3				3
								x)					записуємопідінтегральний вираз																																										dx 3t2dt
													як диференціальний біном
																																																			визначаємовипадок
																																																			визначаємовипадок
																				1			(1 t) 3 3t2dt 3																														dt
																				3			(1 t) 3 3t2dt 3																									t(1										3
																			t																													t(1					t)
														1 t t																				1													1									...
														1 t t																				1													1
														t(1 t)3																	(1 t)3												t(1 t)2
														t(1 t)3																	(1 t)3												t(1 t)2
																				1								1										1															1
																				1							1 t									(1			t)2
																				t							1 t									(1			t)2									(1 t)3
																				1								1										1									1
													3							1								1										1									1

																																										2															3
																																										2															3	dt
																										1		t							(1 t)
																		t								1		t							(1 t)												(1 t)
											3 ln					t		3 ln											1 t												3												3						C
																																									3												3

																																						1 t											2(1 t)2
																						3																1 t											2(1 t)2
												3 ln										3			x												3										3												C.

																			3					1									1 3													2(3						1)2
																			3		x			1									1 3							x						2(3					x	1)2

	3 1 4
2)	3 1 4								x	dx				x			1 2									x				1 4 1 3							dx
																						(1										)

					x
					x
																							m									1		, n								1	, p 1										;
																							m									1		, n								1	, p 1										;
												m 1																				2										4					3
												m 1						2 1 x1 4 t3; t (1 x1 4 )1 3;
														n														1 x 3 4dx 3t2dt
																												1 x 3 4dx 3t2dt
																												4
	x1 4(1 x1 4)1 3x 3 4dx (t3 1)t 12t2dt 12 (t6 t3)dt
													7		t		4														12 3
													7				4																									4																	4
											t																															4				7								3					4		4
							12																													(1 x)														3 (1 x ) C.

												7			4			C													7
												7			4																7

3)				dx						x0(1 x 4) 1 4dx
		4
		4	1 x4
			1 x4

17. Інтегрування ірраціональних виразів

175


	m 0, n 4, p 1 ;
m 1 p 0 x 4					4
					1 t4;
n		1			t3dt
x				;dx
	(t4 1)1 4				(t4 1)5 4
(t4 1)1 4			t3dt			t2dt

t			(t4 1)5 4			t4 1

(x 4 1) 1 4x 1dx

1			1			1

							dt
		2			2
2			1	t
	t					1

1 ln

t 1

1 arctg t C

1 ln

x 4 1

1 arctg 4

x 4

1 C.

t 1

4 x 4 1 1

Задачі для самостійного розв’язання

17.4. Знайдіть:

dx;

2 x

;

2x 1

1 x dx

;

x 1 x

;

13x 8x2

xdx

9) 2x2 5x 3;

xdx

11) 8 3x 2x2 ;

13) (2x 3)4x x2 ;

15) 1 x2 dx; 2 x2

2)						dx							;

						3				4
		x				3	x 2			4
		x					x 2				x

4)				2x				3	dx;
	3
	3
		2x 3 1

			1					3
6)			1		x
6)								dx;
			1
			1		x
8)						dx						;


		11			9x 7x2
		11			9x 7x2

10)3x2 x 9 dx;

12)

5x 3

dx;

1 13x 5x2

14)

;

2x2 1

16)

;

x2 1

176	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

17)							(1 3							)4dx;	18)	x 1(1 x1 3) 3dx;
17)				x			(1 3						x	)4dx;	18)	x 1(1 x1 3) 3dx;
							dx
19)							dx					;			20)	x5 3 (1 x 3)2dx;
		3
		3
	x					x2 1

21)					dx					;					22)			1 x			4		dx;

	4																		x	5
	4		1 x 4																	5
			1 x 4
	3
				1 4
									x
23)															24)		3 1 4
											dx;											xdx.

								x
								x

Відповіді

17.4. 1) 65 6x5 32 3x2 2x 33x 66x 6 ln 6x 1 C;

2) 2x 33x 84x 66x 4812x 3 ln(1 12x ) 332 ln(6x 12x 2)

171	arctg	212 x 1	C;

7		7

3) t	3 3		36		3 ln(6
3) t	3 3	t	36	t	3 ln(6	t 1) C	;
	2						t 2x 1
							t 2x 1

	3 6											3 6													36							3 arctg 6
4)	3 6				t7							3 6				t5						t			36					t		3 arctg 6								t	C							;
	7											5																															t 2x 3
	7											5																															t 2x 3

5) ln								1 x										1 x								2 arctg								1 x					C; 6) (5 x)												1 x			6 arctg	1 x	C;
5) ln																										2 arctg								1 x					C; 6) (5 x)															6 arctg		C;
								1 x 1 x																										1 x																	1 x				1 x
		1													13																											1	arcsin						14x			9
7)		1					ln				x				13						x2 13 x												5			C; 8)						1							14x			9	C;
7)							ln				x										x2 13 x															C; 8)																	C;
	2		2												16													8					8									7								389

	1																					5											5									5 x			3
9)	1			2x2 5x 3																		5						ln			x		5		x2										3		C;
9)				2x2 5x 3																								ln			x				x2												C;
	2																		4							2							4									2			2

		1																					47										1								x 3
10)		1					3x2 x 9																47					ln			x		1			x2										C;
10)							3x2 x 9																					ln			x					x2										C;
		3																	6							3							6									3
				1																								3		arcsin						4x			3
11)				1						8 3x 2x2																		3								4x			3		C;
11)			2							8 3x 2x2																															C;
			2																							4		2						73
																								19					arcsin				10x					13
12)						1 13x 5x2																		19									10x					13			C;
12)						1 13x 5x2																																			C;
																			2							5								189
																	x 6
13) C									1					ln			x 6											60x 15x2									; 14) arccos								1				C;
																									2x 3
									15																																			x			2
									15																																			x			2

15)		1											2 2x2							x
		1							ln				2 2x2							x							ln(x									x2 1) C;

		2	2										2 2x2							x
		2	2										2 2x2							x

																							17. Інтегрування ірраціональних виразів																																				177
		x2				x												1
16)		x2				x		x2 1										1		ln				x						x2 1				C;
16)	2					2		x2 1										2		ln				x						x2 1				C;
	2					2												2
		2 x							24 x 6												36 x2 6											8 x									6
17)													x5																				2										x2 6 x5 C;
					x																							x							x
					x																							x							x					17
	3								11												13											5								17
						3			x									2		3	x			3
						3														3
18)																															C;
	3		ln
	3		ln						3															3			2
						1			3		x					2(1								3		x)
						1					x					2(1										x)

																																																							3 x2 1 1
	1																			1																											3							2
19)	1		ln(3 x2 1									1)								1			ln(3 (x2								1)2			3 x2							1 1)						3				arctg			2					C;
	2																			4																											2
																																																							3
																																																							3
		1												1																										4						x								4
20)															3														C; 21)							1		ln				1 x 4								1	arctg					1 x 4
			3	(1 x3 )8															(1 x3 )5																							1 x 4														1 x 4		C;
	8												5
																																																									x
																																	4							4 1 x4 x									2								x
22)	1						1 x4					1								1					1 x 4						C;		23)				3
	1		ln				1 x4					1								1					1 x 4												3		(4					4 x 3)3 1 4												x C ;
																																											x
	4								x2											4						x4											7						x
	4								x2											4						x4											7
	123 (1 4										)13											(1 4															(1 4
										x							183												x )10				363										x )7
24)																																													33			(1 4					)4			C.
																																																				x
						13																				5													7													x
						13																				5													7

178	Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Список використаної і рекомендованої літератури

Підручники і посібники

1.Вища математика: підручник. У 2 кн. Кн. 1 / Г. Й. Призва, В. В. Плахотник, Л. Д. Гординський та ін.; за ред. Г. Л. Кулініча. — К.: Либідь, 2003. — 400 с. — ISBN 966-06-0229-4.

2.Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко и др. — Т. 1. — М.: Эдиториал УРСС, 2010. — 336 с. — ISBN 978- 5-354-01237-4.

3.Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко и др. — Т. 2. — М.: Эдиториал УРСС, 2007. — 192 с. — ISBN 978- 5-382-00208-8.

4.Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. . Юрик. —

К: А. С. К., 2006. — 647 с. — ISBN 966-539-320-0.

5.Жевняк P. M. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Дифференциальное исчисление / P. M. Жевняк, А. А. Карпук. —

Мн.: Выш. шк., 1992. — 384 с.

6.Жевняк P. M. Высшая математика: учеб. пособие Ч.2. / P. M. Жевняк, А.

А. Карпук. — Мн.: Выш. шк., 1985. — 224 с.

7.Овчинников П. П. Вища математика: підручник. У 2 ч. Ч. 1 / П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. — К.: Техніка, 2003. — 600 с. — ISBN: 966-575-055-0.

8.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс /

Д. Письменный. — М.: Айрис-Пресс, 2008. — 608 с. ISBN 978-5-8112-3118-8, 978-5-8112-3480-6.

9.Шипачев В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев. — М. Оникс, 2009. — 608 с. — ISBN 978-5-488-02067-2.

Задачники і розв’язники

10. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. — С.Пб.: Лань, Специальная литература, 2002. — 448 с. — ISBN 5-8114-0107-8.

11.Барковський В. В. Вища математика для економістів: навч. посібник / В. В. Барковський, Н. В. Барковська. — К.: ЦУЛ, 2010. — 417 с. — ISBN 978-966-364-991-7.

12.Вища математика: збірник задач: Навч. посібник /В. П. Дубовик, І. І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін.; За ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика. – К.: А.

С. K., 2005. – 480 с.

13.Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах: навч. посіб. Ч. 1. Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов

—К.: Книги України ЛТД, 2009. — 578 с. — ISBN 978-966-2331-03-5.

180	Список використаної і рекомендованої літератури

14.Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах: навч. посіб. Ч.2. Невизначений, визначений та невласні інтеграли. Звичайні диференціальні рівняння. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. — К. : Книги України ЛТД, 2010. — 470 с.

— ISBN 978-966-2331-05-9.

15.Клепко В. Ю. Вища математика в прикладах і задачах: навч. посібн. / В. Ю.

Клепко, В. Л. Голець. — К.: ЦУЛ, 2009. — 592 c. — ISBN 978-966-364-928-3.

16.Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие / Болгов В. А., Демидович Б. П., Ефимов А. В. и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.

— М.: Наука, 1993. — 480 с. — ISBN 5-02-014433-9.

17.Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И. Гутарина, П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019414.35 Кб1Poyasnyuvalna_zapiska (1).docx
#
04.09.2019986.31 Кб3Poyasnyuvalna_zapiska.docx
#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc