PraktykumD+ICh

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

21

Степенева функція y x2n ,

y

y x6

n .

y x4

D(f ) , E(f ) [0; ).

Функція парна.

y x2

Графіком є парабола порядку 2n .

1

O

1

x

Степенева функція y x2n 1,

y

y x5

n .

y x3

D(f ) , E(f ) .

1

y x

Функція непарна;

1

O

x

зростає на .

1

Графіком є парабола порядку 2n 1.

1

Степенева функція y 1

,

y

1

y

x2n

x

4

n .

Функція парна.

y

1

Графік має асимптоти:

x2

O

1

x

вертикальну x 0

1

і горизонтальну

y 0.

22

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1

y

1

Степенева функція y x2n 1

,

y x3

n .

1

1

y x

1

O

D(f ) \ {0}, E(f ) \ {0}.

1

x

Функція непарна;

1

спадає на \ {0}.

Графік має асимптоти: вертикальну

x 0 і горизонтальну y 0.

Степенева функція y 2n x,

y

y

x

n .

1

D(f ) [0; ), E(f )

[0; ).

y

4

x

Функція зростає на [0; ).

O

1

x

Степенева функція y 2n 1 x,

y

y 3 x

n .

1

D(f ) , E(f ) .

Функція непарна;

O

1

x

зростає на .

Лінійна функція y ax b

y

(a,b ).

b

b

D(f ) .

Графіком є пряма лінія з кутовим

a

x

O

коефіцієнтом k a tg .

Квадратична функція

y

a 0

y

M

a 0

y ax2 bx c (a,b,c ).

D(f ) .

b

O

2a

x

x

y ax 2 bx c

O

b

M

2a

b

2

b

2

4ac

2

,

y ax

bx c

a x

2a

4a

Парабола

a 0.

24

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.11. Тригонометричні функції

Синус y sin x.

y sin x

y

D(f ) , E(f ) [ 1;1].

1

3

O

2

x

Функція непарна;

2

1

2

періодична з періодом T 2 .

Синусоїда

Косинус y cos x.

y cos x

y

D(f ) , E(f ) [ 1;1].

1

3

Функція парна;

O

2

2

2 x

періодична з періодом T 2 .

1

Косинусоїда

Тангенс y tg x.

y

,

D(f ) \

k | k

2

E(f ) .

O

Функція непарна;

3

x

2

2

2

періодична з періодом T ;

зростає на D(f ).

Тангенсоїда

Графік має вертикальні асимптоти

x 2 k, k

Котангенс y ctg x.

y

періодична з періодом T ;

O

x

спадає на D(f ).

2

2

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

25

Арксинус y arcsin x.

y

y arcsin x

2

D(f ) [ 1;1], E(f )

;

.

2

2

Функція непарна;

1 O

1

x

зростає на D(f ).

Арккосинус y arccos x.

y

D(f ) [ 1;1], E(f ) [0; ].

y arccos x

Функція спадає на D(f ).

2

Арктангенс y arctg x.

y

y arctg x

D(f ) , E(f ) 2 ;

2 .

2

Функція непарна;

O

x

зростає на D(f ).

Графік має горизонтальні асимптоти

2

y .

2

Арккотангенс y arcctg x.

y

y arcctg x

D(f ) , E(f ) 0; .

Функція спадає на D(f ).

2

Графік має горизонтальні асимптоти

O

x

Гіперболічний синус y sh x.

y

D(f ) , E(f ) .

y sh x

Функція непарна.

Зростає на .

O x

Гіперболічний косинус y ch x.

y

D(f ) , E(f ) [1; ).

y ch x

Функція парна.

1

O

x

Гіперболічний тангенс y th x.

y

D(f ) , E(f ) ( 1;1).

1

y th x

O

Функція непарна;

x

зростає на .

1

Графік має горизонтальні асимптоти

y 1.

Гіперболічний котангенс

y

y cth x.

D(f ) \ {0}, E(f ) \ [ 1;1].

y cth x

1

Функція непарна;

спадає на D(f ).

Графік має асимптоти: вертикальну

O

x

x 0 і горизонтальні y 1.

1

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

27

1.14. Обернені гіперболічні функції

Ареасинус

y y arsh x

y arsh x ln(x x2 1).

O

x

D(f ) , E(f ) .

Ареакосинус

y

y arch x

y arch x ln(x

x2 1).

O

1

x

D(f ) [1; ), E(f ) [0; )

Функція зростає на D(f ).

Ареатангенс

y

y arth x 1 ln

1 x .

2

1 x

y arcth x

D(f ) ( 1;1), E(f ) .

O

Функція непарна;

1

x

1

зростає на D(f ).

Графік має вертикальні асимптоти

x 1.

Ареакотангенс

y

y arcth x 1 ln x 1 .

2

x 1

y arcth x

D(f ) \ [ 1;1], E(f ) \ {0}.

1

O

1

Функція непарна;

x

спадає на ( ; 1),(1; ).

Графік має асимптоти: вертикальні

x 1 і горизонтальну y 0.

Основні елементарні функції. До

Клас елементарних функцій. Всі

основних елементарних функцій

функції, одержані скінченною

належать: стала, степенева,

кількістю арифметичних дій над

показникова, логарифмічна,

основними елементарними функціями,

тригонометричні й обернені

і суперпозиції таких функцій,

тригонометричні функції.

утворюють клас елементарних

функцій.

Функція модуль y

x

.

y

D(f ) , E(f ) [0; ).

y

x

Функція парна.

O

x

Функція знак числа (сигнум)

y

y sgn x

1

x

0,

1,

x

0,

y sgnx 0,

O

x

x

0.

1,

1

D(f ) , E(f ) { 1, 0, 1}.

Функція непарна.

Функція Гевісайда

y

y (x)

x 0,

1

1,

y (x)

0,

x 0.

1

O

x

D(f ) , E(f ) {0, 1}.

Ціла частина числа

y

y [x] n,

11

y [x]

де x n r,n , 0 1 r.

O 1 2 3 4 x

D(f ) , E(f ) .

Дробова частина числа

y

y {x}

y {x} x [x]

1

D(f ) , E(f ) [0;1).

1 O

1 2 3 x

Функція періодична з періодом T 1.

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

29

Паралельне перенесення вздовж

y

осі Ox. Щоб побудувати графік

y f (x a ) y f(x) y f (x a )

y f(x a), графік y f(x)

паралельно переносять уздовж осі Ox

a

a

на a (праворуч для a 0, ліворуч для

O

x

a 0).

Паралельне перенесення вздовж

y

y f (x) b

осі Oy. Щоб побудувати графік

b

y f (x) b, графік y f(x)

y f(x)

паралельно переносять уздовж осі Oy

b

на b (вгору для b 0, вниз для

O

x

b 0).

y f (x) b

Стискання (розтягування) вздовж

y

y f(x)

y f(kx), 0

k 1

осі Ox. Щоб побудувати графік

y f (kx), графік y f(x)

розтягують у 1 разів (0 k 1)

O

x

k

y f(kx),k 1

уздовж осі Ox чи стискають у k разів

(k 1) вздовж осі Ox

Стискання (розтягування) вдовж

y

y cf (x), c 1

осі Oy. Щоб побудувати графік

y cf (x), графік y f(x) стискають

y f(x)

в 1 разів (0 c 1) вздовж осі Oy

y cf (x)

c

чи розтягують у c разів (c 1) вздовж

O

0 c 1

x

осі Oy.

Дзеркальне відбиття щодо осі Ox.

y

y f(x)

Щоб побудувати графік y f(x),

графік y f(x) симетрично

відображують щодо осі Ox.

O

x

y f (x)

30

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

Дзеркальне відбиття щодо осі Oy.

y f ( x) y

y f(x)

Щоб побудувати графік y f( x),

графік y f(x) симетрично

O

x

відображують щодо осі Oy.

Щоб побудувати графік y f x ,

y

частину графіка y f(x), x 0,

y f( x )

доповнюють його відбитком щодо осі

Oy.

y f (x)

O

x

Щоб побудувати графік y f (x) ,

y

частину графіка y f(x), y 0, не

міняють, а частину графіка

y f (x)

y f(x), y 0, відбивають щодо осі

Ox.

O

x

Гармонічне коливання

y

T 2

M

y M sin( t ),

де t — час, M 0 — амплітуда,

0 — частота (колова),

t — фаза,

O

x

— початкова фаза.

M

Формула доповняльного кута

Asin t B cos t M sin( t ),

M A2

B2;

A

,

cos

2

B

2

A

B

sin

2

2

B

A