Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»

І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

ПРАКТИКУМ

Київ — 2013

Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум. (І курс І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К: НТУУ «КПІ», 2013. — 180 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (протокол № 5 від 22.01.2009)

Навчальне видання

Лінійна алгебра та аналітична геометрія Практикум

для студентів І курсу технічних спеціальностей

Укладачі:	Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.
	Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
	Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
	Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Відповідальний	О. І. Клесов, д-р фіз.-мат. наук, професор
редактор
Рецензенти:	С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.
	В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Зміст
Передмова................................................................................................................	6
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА..............................................................................	7
1.1. Матриці..........................................................................................................	7
1.2. Лінійні дії над стовпцями (рядками) ............................................................	8
1.3. Лінійні дії над матрицями.............................................................................	9
1.4. Множення матриць .....................................................................................	10
1.5. Транспонування матриць............................................................................	11
1.6. Індуктивне означення визначника..............................................................	12
1.7. Обчислення визначника ..............................................................................	12
1.8. Властивості визначника ..............................................................................	14
1.9. Обчислення визначника методом Ґауса .....................................................	15
(за допомогою елементарних перетворень)......................................................	15
1.10. Обернення матриць ...................................................................................	16
1.11. Лінійна залежність і незалежність стовпців матриці ..............................	17
1.12. Ранг матриці...............................................................................................	18
1.13. Системи лінійних алгебричних рівнянь...................................................	20
1.14. Дослідження розв’язності СЛАР..............................................................	21
1.15. Методи розв’язання СЛАР........................................................................	22
1.16. Однорідні і неоднорідні СЛАР .................................................................	24
Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА .......................................................................	25
2.1. Вектори ........................................................................................................	25
2.2. Дії над векторами ........................................................................................	26
2.3. Лінійна залежність (незалежність) векторів ..............................................	27
2.4. Базис.............................................................................................................	27
2.5. Координати вектора ....................................................................................	28
2.6. Прямокутна декартова система координат................................................	29
2.7. Проекція вектора на вісь.............................................................................	31
2.8. Скалярний добуток векторів.......................................................................	32
2.9. Ортонормований базис ...............................................................................	33

Зміст

2.10. Застосування скалярного добутку ............................................................	34
2.11. Орієнтація ..................................................................................................	34
2.12. Векторний добуток....................................................................................	35
2.13. Мішаний добуток ......................................................................................	36
2.14. Застосування векторного і мішаного добутків ........................................	36
2.15. Комплексні числа ......................................................................................	38
2.16. Полярна система координат......................................................................	39
2.17. Дії над комплексними числами
у тригонометричній і показниковій формах.....................................................	40
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ.............................................................	41
3.1. Рівняння ліній і поверхонь..........................................................................	41
3.2. Перетворення систем координат ................................................................	42
3.3. Площина ......................................................................................................	43
3.4. Пряма у просторі .........................................................................................	44
3.5. Пряма на площині .......................................................................................	45
3.6. Взаємне розташування прямих на площині...............................................	46
3.7. Взаємне розташування площин ..................................................................	47
3.8. Взаємне розташування прямих у просторі ................................................	48
3.9. Взаємне розташування прямої і площини .................................................	48
3.10. Кути між лінійними об’єктами .................................................................	49
3.11. Віддалі між лінійними об’єктами.............................................................	49
3.12. Еліпс ...........................................................................................................	51
3.13. Гіпербола ...................................................................................................	52
3.14. Парабола ....................................................................................................	53
3.15. Еліпс, парабола, гіпербола при перетвореннях систем координат.........	54
3.16. Лінії 2-го порядку. Інваріанти ..................................................................	55
3.17. Власні числа і власні вектори матриці .....................................................	55
3.18. Класифікації ліній 2-го порядку ...............................................................	56
3.19. Поверхні 2-го порядку ..............................................................................	57
3.20. Деякі визначні криві..................................................................................	58

		Зміст	5
Модуль 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.........................................................................			59
1.	Матриці...........................................................................................................		59
2.	Визначники.....................................................................................................		72
3.	Ранг матриці ...................................................................................................		83
4.	Системи лінійних алгебричних рівнянь........................................................		88
Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА...................................................................			101
5.	Вектори .........................................................................................................		101
6.	Скалярне множення векторів.......................................................................		111
7.	Векторне множення векторів.......................................................................		118
8.	Комплексні числа .........................................................................................		126
Модуль 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ ........................................................			137
9.	Геометрія прямої і площини........................................................................		137
10.		Задачі на прямі й площини ........................................................................	146
11.		Пряма на площині ......................................................................................	165
12.		Криві 2-го порядку .....................................................................................	170
13.		Поверхні 2-го порядку ...............................................................................	175
Список використаної і рекомендованої літератури......................................			179

Передмова

Практикум з вищої математики «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який містить: конспект лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань, збірник контрольних та тестових завдань.

Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання математики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:

—матриці та визначники;

—системи лінійних алгебричних рівнянь;

—векторна алгебра;

—комплексні числа;

—геометрія прямої і площини;

—криві 2-го порядку;

—поверхні 2-го порядку.

Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує свідоме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які достатньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові практичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для самостійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього завдання з відповідями.

Метою практикуму є:

допомогти в опануванні студентами основ математичного апарату лінійної алгебри та аналітичної геометрії;

розвинути логічне та аналітичне мислення;

виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач. Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення,

передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням конспекту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку рекомендованої літератури.

У практичній частині використано такі позначення:

[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій уміщено теоретичний факт або формулу, таблиці A.B. з теми А;

,,,... — посилання у навчальній задачі на коментар, який уміщено після її розв’язання.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.1. Матриці

Матриця. Матрицею A розміром

i-й рядок ai

m n називають прямокутну

таблицю дійсних чисел (елементів

матриці)

A ai1

aij

ain

a ,i 1,m, j 1,n,

розташованих у m рядках та n

стовпцях і позначають

Am n (aij )m n.

j-й стовпець aj

Матриця-рядок

Матриця-стовпець

Нульова матриця

Квадратна матриця n-го порядку

0 0

a22

m рядків

a21

a2n

An An n

Om n

0 0

n стовпців

побічна діагональ

головна діагональ

Нижня трикутна матриця

Верхня трикутна матриця

0 0

a22 0

a22

a2n

a12

Елемент aij матриці A розташований в i -му рядку і j -му стовпці.

8					Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Діагональна матриця						Одинична											0
Діагональна матриця						Одинична								E		1	0
a		0	0			матриця								E				,
a		0	0													0	1
11															2
11
								1	0
	0	a	0					1	0			0
	0	a	0
		22														1	0	0
								0	1							1	0	0
						E		0	1			0
						E
						n								E3			1 0
														E3	0		1 0
	0	0	a
	0	0	a
				nn												0	0	1
							0		0			1				0	0	1
							0		0			1

Матриця є стовпцем своїх рядків і										a
											1
рядком своїх стовпців.


										a2
						Am n							(a1		a2 ...		an )
						Am n							(a1		a2 ...		an )




										a
											m

1.2. Лінійні дії над стовпцями (рядками)

Рівність стовпців. Два стовпці x та

y називають рівними, якщо вони мають:

1) однакову висоту;

yi,i 1,m

2) рівні відповідні елементи.

Додавання (віднімання) стовпців.

Сумою (різницею) двох стовпців x та y

заввишки m називають стовпець x y

заввишки m, кожен елемент якого

дорівнює сумі (різниці) відповідних

елементів стовпців x та y.

Множення стовпця на число.

Добутком стовпця x заввишки m на

дійсне число називають стовпець

x заввишки m, кожен елемент якого

дорівнює відповідному елементу

стовпця x, помноженому на це число.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.3. Лінійні дії над матрицями

Рівність матриць. Дві матриці A

Am n

Bk l

та B називають рівними, якщо вони:

m k,n l;

1) однакового розміру;

b ,i 1,m, j 1,n

2) мають рівні відповідні елементи.

Додавання (віднімання) матриць.

Сумою матриць A та B однакового

a22

a2n

a21

розміру називають матрицю A B

того самого розміру, елементи якої

дорівнюють сумі відповідних

елементів матриць A та B.

b22

b2n

Різницею матриць A та B однакового

b21

розміру називають матрицю A B

того самого розміру, елементи якої

дорівнюють різниці відповідних

елементів матриць A та B.

b21

a22 b22

a2n

b2n

a21

ij m n

Множення матриці на число.

a12

a11

a1n

Добутком матриці A на число

a22

a2n

a21

називають матрицю A,

елементи якої

дорівнюють добутку елементів

матриці A на число .

m n

a21

a22

a2n

Властивості додавання матриць.

Властивості множення матриці

 A B B A;

на число.

 A (B C ) (A B) C;

1 A A;

( ) A A A;

 A Om n A;

 (A B) A B;

 A ( A) Om n

 ( A) ( ) A

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.4. Множення матриць

Узгоджені матриці. Матрицю A називають узгодженою з матрицею B,

якщо кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B

(«довжина» матриці A дорівнює «висоті» матриці B).

Добуток рядка на стовпець.

Добутком рядка x (x )

завдовжки

x1 x2

n на стовпець y (y )

заввишки n

i n

називають число x y, яке дорівнює

сумі добутків елементів рядка на

x1y1

x2y2 ... xnyn

відповідні елементи стовпця.

Множення матриць. Добутком

матриці Am l

на матрицю Bl n

називають матрицю C AB

розміром m n, кожний елемент cij

якої дорівнює добуткові i -го рядка

матриці A на j -й стовпець матриці B.

(cij )m n

(ai )m (bj )n

(ai bj )m n

Матриці множать за правилом «рядок

на стовпець».

cij aikbkj , i 1, m, j 1, n

k 1

Схема Фалька множення матриць

Особливості множення матриць.

Властивості множення матриць.

множення матриць не комутативне

 A (B C ) (A B) C;

AB BA;

C (A B) C A C B,

добуток ненульових матриць може

(A B) C A C B C ;

бути нульовою матрицею.

 (A B) ( A) B A ( B);

1 0

 A

;

0 0

m n

 Am n On l Om l ,

0 0

1 0

l m

m n

l n

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf