Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>


																			6. Скалярне множення векторів												111
5.31.			3								8					6					Вектори					3,			4,		вектори
5.31.		a	3			e1;	a		4,	a	8		e2;	a		6	e3.				Вектори			a		3,		a	4,	a5,a8 компланарні векторам e1 та e2;	вектори
																															та
	a2,a3,a6 компланарні векторам e1 та																						e3; вектори a4,a6,a7,a10 компланарні векторам e2								та	e3.
5.32. 1)					2							e2								2		e2 2
5.32. 1)				a	2			e1				e2			e3; 2)			a		2		e2 2			e3.
5.33. l 2;m										2.																	5.34. 6.

5.35.F1 F2 (13; 4; 6)T .

5.36.1) MN (1; 4)T ; 2) MN ( 6;5)T ; 3) MN (1; 4;5)T ; 4) MN ( 2; 7; 6)T .

5.37. N(1;8; 4).	5.38. C(4;0) і D(5;2).
5.39. C(0;8;8), D(2;11; 3), E(4;14; 2).	5.40. D(9; 5;6).

6. Скалярне множення векторів

Навчальні задачі

6.1.Спростити (a b,a b ).

Розв’язання. [2.8.3.]

(a b ,a b ) (a,a ) (b,a ) (a,b ) (b ,b )(a, a) (b ,b ) a 2 b 2 .

6.2.

Довести, що вектори

та b

перпендикулярні тоді й лише тоді, коли

Розв’язання. [2.10.1, 2.10.4.]

2.10.1

2.8.3

(

) (a

b )

(

) (a

) (b

)

2.8.3

(

) (

) (b

)

(

) 0

6.3.

Задано вектори

де

і b

(m, n)

6.3.1. Знайти (a,b ).

Розв’язання.

[2.8.3]

(a, b ) ( m 6n, 3m 4n)

[2.8.1]

3(m, m) 14(m, n) 24(n, n)

112	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

							3													2			14																															2
																				2																																		2
																m														m				n	cos(m, n) 24																	n
																	2																				1										2
																	2								14 2												1										2				518.
								3 2																	14 2								5								24						5				518.

																																						2
6.3.2.	Знайти					.
6.3.2.	Знайти	b				.
Розв’язання. [2.10.1.]
	[2.10.1]

									b													(b ,b ) (3m																	4				n	, 3m				4n					)

																												) 24(m								,				) 16(						,				)
																		9(m						, m				) 24(m								,		n		) 16(					n	,			n	)

	9														2		24																										16								2
															2																																				2
												m														m					n		cos(m, n)															n							316.
6.3.3.	Знайти prb					(4													).
													5b
											a		5b
Розв’язання. [2.7.5, 2.10.3.]
																	[2.7.5]																								[2.10.3]
																	[2.7.5]																								[2.10.3]											,b
	pr															)									4 pr								5 pr											4 (							a		) 5					.

									5b																																b																b
			(4a																													a


	b																												b										b													b
[Із задачі 6.3.1] (										) 518. [Із задачі 6.3.2]																																										b

							,																																								316.
				a			,		b																																	b					316.
																											4 518																				492								246	.
		pr																			)													5 316
														5b
								(4a
								(4a
					b																				316																						316								79
																									316																						316								79

6.3.4. Знайти cos(2b a, 4b ).

Розв’язання. [2.10.2.]

Нехай

c 2b a 7m 2n,d 4b 12m 16n.

[2.10.2]

(

)

cos(

,d )

(

) (7m

)

, 12m

84(m, m) 136

32(n, n) 456,

cos(m, n)

(7m

)

, 7m

49(m, m) 28

cos(m, n)

4(n, n)

156,

(12m

16n

)

, 12m

144(m, m) 384

cos(m, n)

256(n, n)

5056.

456

cos(2b

, 4b )

788736

3081

									6. Скалярне множення векторів																		113
														1						3					2
														1						3					2

6.4.
														2	,a					1	,a				0
	Задано вектори a													2	,a	2				1	,a	3			0
				1												2						3


											0									1				4

6.4.1.	Знайти			,		0.

			a		a
		1		1
Розв’язання. [2.9.4, 2.9.7.]
								[2.9.4]
															( 1)2				22 02
																										5;
							a																			5;
								1
																							1
														[2.9.7]
																							5

																1
													0										2
													0										2
										a								a						.
												1						1
												1				a		1					5
																a	1						5
																	1						0
																							0

6.4.2.Обчислити cos(a1, j ), cos(a1, k ).

Розв’язання. [2.9.6.]

																				2													0.
							cos(a1, j )																	, cos(a1, k )

																				5
																				5
6.4.3.	Знайти координати вектора																								3								1			.
																	a							a			a						1	a
																	a							a			a				2			a
Розв’язання. [2.5.4.]																							1					2			2				3
Розв’язання. [2.5.4.]
																				9						1					9
												1								9						1					9


												2								3						0					1
						a						2								3						0					1				.


												0									3					2					1

6.4.4.	Знайти pr			, pr						, prk					.
			a					a					a
		i	a		j			a					a
Розв’язання. [2.9.5.]
				pr							9, pr												1, prk									1.
									a												a									a
						i			a									j			a									a
6.5.	Задано вектори															3										та					4								. Для якого
														i					j			4k							b							i	j	7k
								a						i					j			4k							b							i	j	7k
	значення ці вектори перпендикулярні?

Розв’язання. [2.9.2, 2.10.4.]

a b (a,b ) 0;

[2.9.2]

(a,b ) 4 3 4 ( 7)7 28 0 4.

114	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

6.6.Задано точки A( 5;1; 6), B(1; 4; 3) і C(6; 3; 9).

6.6.1. Знайти модуль вектора					4AB BC.
6.6.1. Знайти модуль вектора				a	4AB BC.
Розв’язання. [2.9.4.]

[Знаходимо координати векторів AB та BC.]
						6					5
			[2.6.6]			6					5



						3					1
		AB				3			, BC		1	.


						3				6

										5			29
									6	5		[2.5.4]	29



	a 4AB BC									1			11
	a 4AB BC							4 3		1			11


									3	6			6

			[2.9.4]
							292 112 ( 6)2
	4AB BC						292 112 ( 6)2						998.

6.6.2. Знайти скалярний добуток векторів a

Розв’язання. [2.9.2.]

		29
		29




a 11			,b BC


	6

та BC.
	5
	5


	1
	1	.


6

	[2.9.2]

		,b )		29 5 11 ( 1) ( 6) 6 98.
	(a	,b )		29 5 11 ( 1) ( 6) 6 98.

6.6.3.	Знайти проекцію вектора BC на вектор AB.
Розв’язання. [2.10.3.]
										[2.10.3]
										[2.10.3]			(BC, AB)				.
				pr			BC
					AB

														AB


				[2.9.2]
				[2.9.2]
	(BC, AB) 5 6 ( 1) 3 6 ( 3) 9;
				[2.9.4]
									62 32			( 3)2
			AB						62 32			( 3)2						54,
											9				3	.
				pr				BC			9
						AB

												54		6


6.6.4.	Знайти координати точки M, що поділяє відрізок AB у відношенні 1 : 3.
Розв’язання. [2.6.7.]
											1 .
											3

			6. Скалярне множення векторів															115
						1
			5					1
											7
						3					7
						3						,
xM						1						,
				1		1					2

						3
						3
									1
				1 4					1
										7			7		7		21
									3
									3
	yM										,	M		;		;		.
	yM						1				,	M		;		;		.
							1
					1					4			2		4		4
							3
						1
				6		1		3
										21
						3
	z					3
		M
							1
							1			4
					1
					1
							3
							3

6.7.Задано вершини трикутника A(3; 2; 3), B(5;1; 1) та C(1; 2;1). Знай-

діть внутрішній кут при вершині A.

Розв’язання. [2.10.2.]

Кут при вершині A — це кут між векторами AB та AC.

[2.10.2]

(AB

AC )

cos BAC

[Знаходимо координати векторів AB та AC .]
			2.6.6			2			2
			2.6.6			2			2



		AB				1	, AC		4
		AB				1	, AC		4	.


					2			4


[Знаходимо довжини векторів AB та AC .]
[2.9.4]

	AB			22 ( 1)2 22							9	3;

AC 22 ( 4)2 42 36 6.

[Знаходимо (AB, AC).]

[2.9.2]

(AB, AC) 2 ( 2) ( 1) ( 4) 2 4 8.

[Знаходимо косинус кута між векторами і сам кут.]

cos BAC		8	4	BAC arccos	4 .
	3	6	9
					9

6.8.Від точки O відкладено два вектори a OA та b OB. Знайти будь-

який вектор OM, який напрямлений уздовж бісектриси кута AOB.

Розв’язання. [2.2.5.]

Знайдімо орти a

та b

і на них, як на сторонах

побудуймо ромб.

Діагональ

ромба — шуканий вектор

Рис. до зад. 6.8

0 b

0 .

116	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

6.9.Обчисліть скалярний добуток векторів (a,c ), якщо a 8, c 5 та:

1)(a,c ) 3 ;

3)a c;

2)(a,c ) 2 ;

4)a c.

6.10.

Знаючи, що

5,(a,b )

3 , обчисліть:

1) (

);

2) (

);

3) (a

b );

4) (2

b, 3a

4b ).

6.11.Обчисліть довжину діагоналей паралелограма побудованого на векторах:



1). a p 3q, b 5p 2q, якщо		p	2 2,			q	3 і (p,q )		4	;
									4

2) a 2m n, b m 2n, якщо	m			n	1		і (m,n)	3 .
								3 .

6.12.Чи зміниться скалярний добуток векторів, якщо до одного із множників додати вектор, перпендикулярний до другого множника?

6.13.

Визначте

кут між

векторами

якщо

(

2b )2

20.

6.14.

Обчисліть pr

(2a b ), якщо

і (a,b )

6.15.

5. Визначте, при якому значенні вектори

та

ортогональні.

6.16.

Задано вектори

(4; 2; 4)T

та

(6; 3;2)T .

Обчисліть:

1) (

2) (2a1 3

a1,a2 );

a2,a1 2a2 );

3) (

a1 a2,a1 a2);

a1 a2

;

5) pr

6) pr

a2;

a1.

7) напрямні косинуси вектора

a1;

8) pr

(a1 2a2 );

9) cos(a1,a2 ).

6. Скалярне множення векторів

117

6.17.Знайдіть координати вектора a, якщо відомі його кути з векторами i , j

та k і a :

1) 3 , 4 , 3 , a 4; 2) 34 , 3 , 3 , a 8.

6.18.Задано вектор a (6;7; 6)T . Знайдіть:

1) довжину вектора		;	2) координати орта		0 ;
	a			a

3)напрямні косинуси вектора a;

4)проекції вектора a на осі координат.

6.19.Знайдіть віддаль між точками A та B :

A( 1;2), B(5;10);

A(3; 2), B(3;3);

A(4; 2;3), B(4;5;2);

A( 3;1; 1), B( 1;1; 1).

6.20. Знайдіть кут між векторами:

(1;2)T ,b

(2;4)T ;

(1;2)T ,b (4;2)T ;

(1; 1; 1)T ,b

(2;0;2)T ;

(1;3;1)T ,b

( 2;3;0)T .

6.21.Знайдіть довжини сторін і кути трикутника з вершинами A( 1; 2;4),

B( 4; 2;0) та C(3; 2;1).

6.22.1. Який кут утворюють одиничні вектори s та t , якщо відомо, що век-

тори p s 2t та q 5s 4t — ортогональні?

2. Знайдіть таке число ,

щоб вектори a

b 2i j k були ортогональні.

6.23.Обчисліть роботу, яку виконує сила F (4;5;2), коли точка, до якої во-

на прикладена, рухаючись прямолінійно, перемістилась з положення

A(3; 7;1) у положення B(6; 1; 2).

6.24.Знайдіть вектор x, якщо: x a (1;1;1)T , (x,a ) 3.

6.25. 1.

Знайдіть

вектор

завдовжки

15,

колінеарний

векторові

, що утворює з ортом

гострий кут.

Знайдіть

вектор

завдовжки

50,

колінеарний

векторові

15 k

, що утворює з ортом k

гострий кут.

118	Модуль 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

6.26.Знайдіть ненульовий вектор, колінеарний бісектрисі кута A трикутника

ABC, якщо AB (4;0;3)T , AC (1;2;2)T .

6.27.Знайдіть вектор x, напрямлений уздовж бісектриси кута між векторами a 7i 4j 4k і b 2i j 2k , якщо x 56.

Відповіді

6.9. 1) 20; 2) 0; 3) 40; 4) 40.																														6.10. 1) 5; 2) 4; 3) 39; 4) 51.

6.11. 1) 15,						593; 2)				7,				13.																6.12. Не зміниться.
6.13. 2 .																														6.14.				1 .
3						3 .																												2
6.15.						3 .
						5																						11 ;			6) 22 ;
6.16. 1) 22; 2) 200; 3) 41; 4)																											5)
6.16. 1) 22; 2) 200; 3) 41; 4)																								105;			5)
																												3						7
7) cos 2						, cos							1		,			cos 2										; 8)							84		; 9)		11 .
7) cos 2						, cos									,			cos 2										; 8)									; 9)		11 .
3													3														3							129					21
6.17. 1) (2; 2
6.17. 1) (2; 2							2; 2)T ; 2) ( 4												2; 4; 4)T .
																				6

																						11
																						11					cos


													0							7
6.18. 1)		a			11; 2)–3) a																				cos						; 4) pr a 6, pr a												7, pr a	6.
																				11																i						j	k
																				11																i						j	k
																								6
																								6
																											cos

																							11
																							11
6.19. 1) 10; 2) 5; 3) 5
6.19. 1) 10; 2) 5; 3) 5												2; 4) 2.
6.20. 1) 0; 2)							arccos 4			; 3)							;				4) arccos								7			.
6.20. 1) 0; 2)							arccos 4			; 3)					2		;				4) arccos											.
						5									2													143
																													ˆ						ˆ			ˆ
																													ˆ						ˆ			ˆ
6.21.	AB			5,				BC		5						2,				AC						5,		A					2	, B		C				4	.
6.22. 1.			. 2.						1																			A					2							4	.
									1		.																			6.23. 36.
											.																			6.23. 36.
3						2

6.24.x 1;1;1 T .

6.25.1. x 5i 10j 10k . 2. x 24i 32j 30k .

6.26. 17		10					5	(		7
6.26. 17	i	10	j	19k	..	6.27.	5	(	i	7	j	2k	).
							3

7. Векторне множення векторів

119

7. Векторне множення векторів

Навчальні задачі

7.1. Спростити вираз [a b,a b ].

Розв’язання. [2.12.2.]



[a b , a b ] [a, a ] [a, b ] [b , a ] [b , b ] 2[a, b ].

Коментар. Векторний добуток антикомутативний і [a,a ] 0.

7.2.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах


b 3p 2q, якщо відомо, що					p	3,	q			4,(p, q )

Розв’язання. [2.14.1.]

a 2p q та

3 .

[2.14.1]

[2.12.2]

[

[2p

, 3p 2

]

[2.12.2]

6[p, p] 3[q

, p] 4[p,

] 2[

]

3[p,

] 4[p,q

]

[2.12.1]

4 sin

[p,q ]

sin(p,q ) 7

3 42

7.3. Знайдіть

векторний

добуток вектора

на вектор

b i j 3k .

Розв’язання. [2.12.4.]
[Записуємо координати векторів																		та			.]
																				b
																a				b
																	2							1
																	2							1



												a					3							1
												a					3		,b					1			.

																								3
																	1							3

			[2.12.6]		i		j	k	[1.6.2]					3		1							2 1						2		3
			[2.12.6]		i		j	k	[1.6.2]

[		,b ]		2 3				1			i											j						k				8		i			7	j	5k .
[	a	,b ]		2 3				1			i				1		3					j	1 3					k		1 1		8		i			7	j	5k .
					1 1			3
					1 1			3																		(2; 3; 1)T										(1; 1; 3)T ,
7.4. Вектор							ортогональний до векторів
																																та b
						x																			a							та b
			утворює з вектором										тупий кут. Знаючи, що
																																	138,		знайти коор-
										i																				x			138,		знайти коор-