Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumLAAG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

								10. Задачі на прямі й площини														151
10.8.	Знайти	точку,				що		симетрична							точці			M1(2; 5;7)		щодо		прямої
	L : x 5 y 4 z 6 .
	1			3			2
Розв’язання.
[Крок 1.] Знайдімо проекцію точки M1 на пряму L — точку M1 (див. зад. 10.6):
[Крок 2.] Точка M						M1(3; 2;2).							M M									L
[Крок 2.] Точка M			2	поділяє відрізок									M M				у відношенні					M
			2											1	1							M	2
2 [2.6.7], отже,																							2
2 [2.6.7], отже,																				M	1	M
						2															1	1
					r	2	r			r
				2			1		1
																				Рис. до зад. 10.8
											2				4
						3					2				4


		r2
		r2		2 2					5					1		M2(4;1; 3).

											7
						2					7			3

Коментар. Точку M2 таку,									що					2					називають симетричною

												M1M					M1M1
точці M1 щодо прямої L, де M — проекція точки M1																			на пряму L.
10.9.	Знайти	точку,				що	симетрична							точці				M1(1;3; 4)		щодо		площини

P : 3x y 2z 0.

Розв’язання.
[Крок 1.] Знайдімо проекцію точки M1										на площину P — точ-					M1
ку M (див. зад. 10.5):															M
1			M1( 2;2; 2).												P	1
															P
															M	2
[Крок 2.] Точка M		поділяє				відрізок				M M			у відношенні			2
[Крок 2.] Точка M	2	поділяє				відрізок				M M			у відношенні		Рис. до зад. 10.9
2 , отже,	2									1		1			Рис. до зад. 10.9
2 , отже,
							2
						r	2		r		r
					2			1		1
				2			1
				2			1			5

	2											M		( 5;1; 0).
r				2			3
r				2			3			1
2													2


			2			4				0

Коментар.

Точку M2

називають симетричною точці M1 щодо площини P,

якщо

, де M

— проекція точки M1

на площину P.

M1M2

M1M1

152	Модуль 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

10.10. Записати рівняння спільного перпендикуляра L до мимобіжних прямих:

							L : x 6 y 1 z 10 ,
								1						1								2						1
														1								2						1
							L : x 4 y 3																			z 4 .
								2							7							2							3
															7							2							3
Розв’язання. [3.8.1.]
З рівнянь прямих				L1				та						L2				випливає,								що				точка				L1
M1(6;1;10) L1 та точка									M2( 4;3; 4) L2																	і напрямні
M1(6;1;10) L1 та точка									M2( 4;3; 4) L2																	і напрямні								s
вектори прямих																																	N11						L2
вектори прямих																																	N11				s2		L2
					1													7															M1						M2
					1													7																				N
																																						N
																																							2
			s1		2													2
			s1		2			, s2										2			.
																																	Рис. до зад. 10.10
																																	Рис. до зад. 10.10
				1														3

[Переконаймося, що прямі L1														та L2 — мимобіжні.]
																												10
																												10



																												2
								M1M2 r2 r1																				2			;


																										6

																																			8
[2.12.4]					i					j					k
[2.12.4]					i					j					k



		[s1, s2 ]		1				2						1					i 8 j ( 4) k 16																4
		[s1, s2 ]		1				2						1					i 8 j ( 4) k 16																4	.

				7				2						3
				7				2						3																				16
					(


						r2						r1	,		s1,		s2 ) (						r2			r1,[s1,				s2 ])
			( 10) 8 2 4 ( 6) 16																									168				0.
Отже, прямі L1 та L2 — мимобіжні.
[Крок 1.] За нормальний вектор площини																											P,			яка		проходить				через			пряму
L1(M1;
L1(M1;	s1) паралельно прямій L2(M2;s2), візьмімо вектор
																									8
																									8


																[s1, s2									4
																[s1, s2						]			4	.


																								16

або колінеарний йому вектор

																												2
																				1
																				1
											n(P)											[s1, s2 ]
											n(P)											[s1, s2 ]						1	.
																				4
																				4
																												4

							10. Задачі на прямі й площини				153
[Крок 2.] Площину P1, яка містить пряму L1										і перпендикулярна до площини
P		(P) задамо рівнянням
P	n	(P) задамо рівнянням
								x 6	y 1 z 10
								x 6	y 1 z 10
		(			, s1,		) 0	1	2	1	0
		(	r	r1	, s1,	n	) 0	1	2	1	0
								2	1	4
			(x 6) 9 (y 1) 6 (z							10) ( 3) 0;

P1 : 3x 2y z 6 0.

[Крок 3.] Площину P2, яка містить пряму L2 і перпендикулярна до площини

P n(P) задамо рівнянням

							x 4	y 3	z 4
(			,			) 0	7	2	3	0
(	r	r2	,	s2,	n	) 0	7	2	3	0
							2	1	4

(x 4) 5 (y 3) ( 34) (z 4) ( 11) 0; P2 : 5x 34y 11z 38 0.

[Крок 4.] Шукану пряму L — спільний перпендикуляр до прямих L1 та L2 —

задамо перетином двох площин P1 та P2 :

3x 2y z 6 0, L :

5x 34y 11z 38 0.

Коментар. Можлива така схема розв’язання цієї задачі.

[Крок 1.] За нормальний вектор площини P, яка проходить через пряму

L1(M1;s1) паралельно прямій L2(M2 ;s2 ) (див. зад. 10.2 та Коментар до зад. 9.8)

візьмімо вектор

n(P) [s1, s2 ].

[Крок 2.] Площину P1, яка містить пряму L1 і перпендикулярна до площини

P [s1,s2 ] задамо рівнянням

(r r1, s1,[s1, s2 ]) 0.

[Крок 3.] Площину P2, яка містить пряму L2 і перпендикулярна до площини

P [s1,s2 ] задамо рівнянням

(

s2,[s1, s2 ]) 0.

r2,

[Крок 4.] Шукану пряму L — спільний перпендикуляр до прямих L1 та L2 —

задамо перетином двох площин P1

та P2

]) 0,

(r r , s ,[s , s

1 1

]) 0.

(r r2, s2,[s1, s2

154	Модуль 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Вектор [s1, s2 ] — напрямний вектор прямої L, а оскільки s1 [s1, s2 ],s2 [s1,s2 ],

то прямі L та L1 — перетинаються в точці N1, а прямі L та L2 в точці

N2 N1. Пряма L N1N2 — спільний перпендикуляр до прямих L1, L2.

10.11.Записати рівняння площини P, яка рівновіддалена від двох площин:

P1 : x z 5 0, P2 : 3x 5y 4z 0.

Розв’язання. [3.11.5]

Знайдімо множину точок, рівновіддалених від площин P1 та P2 .

[3.11.5]		x z 5		x z	5
[3.11.5]
d(M,P )						;


1	12 02 ( 1)2		2
	12 02 ( 1)2		2

d(M,P )	3x 5y 4z			3x 5y	4z	.
	3x 5y 4z			3x 5y	4z

2		32 52 42	5 2
		32 52 42	5 2

d(M, P ) d(M, P )

x z 5

3x 5y

;

x z 5

3x 5y 4z

;

5(x z 5) (3x 5y 4z);

5x 5z 25 3x 5y 4z,

5x 5z 25 3x 5y 4z.

Отже, оскільки площини P1 та P2 — не паралельні, дістанемо рівняння двох

«бісекторіальних» площин:

P : 2x 5y 9z 25 0, P : 8x 5y z 25 0.

Коментар. Стислий загальний розв’язок задачі: Знайдімо множину точок M :

							d(M, P1) d(M,P2 )
		(					,					0 ) p								(			,					0 ) p
		(			r		,			n		0 ) p								(	r		,		n			0 ) p
									1								1										2			2
(						,					0 ) p ((													,					0 ) p )
(			r			,		n			0 ) p ((											r		,		n			0 ) p )
									1								1										2			2

																		p1	p2
													0																					0				0
													0																					0				0
				(r ,n										)													0,					n				n				,
				(r ,n										)													0,					n				n				,
												1							2												1					2
																			2
																		p1	p2
													0																				0						0
													0																				0						0
P :				(r ,n1 )																							0,				n1					n2					,
																			2
									0						0
	(r ,n								0						0					p									0,
	(r ,n											n					) p			p									0,
		1												2					1				2												0		0
		1												2					1				2												0		0
									0							0																n1				n2 .
	(r ,n								0							0	) p p 0,															n1				n2 .
	(r ,n											n					) p p 0,

		1												2					1				2
		1												2					1				2

		10. Задачі на прямі й площини		155
		3x y 2z 9 0,
10.12. Через пряму		3x y 2z 9 0,	провести площину паралельну
10.12. Через пряму	L :	x z 3 0	провести площину паралельну
		x z 3 0

осі Ox.

Розв’язання. [3.7.4.]

Запишімо рівняння жмутка площин, що проходять через пряму L :

(3x y 2z 9) (x z 3) 0;

(3 )x y (2 )z (9 3 ) 0.

Площина буде паралельна осі Ox, коли 3 0 [3.4.10]. Звідки 3 .

Отже, рівняння шуканої площини:

(3x y 2z 9) 3 (x z 3) 0 y z 18 0.

10.13. Визначити двогранні кути, які утворюють площини:

P1 : 6x 3y 2z 0, P2 : x 2y 6z 12 0.

Розв’язання. [3.11.4.]

Нормальні вектори заданих площин P1			та P2
		6
		6


		3	і n
n		3	і n	2
1				2


	2

Знайдімо довжини цих векторів:

мають координати:

2 .

[2.9.4]
					62 32 ( 2)2
		1													36 9 4 49 7;
n		1													36 9 4 49 7;

							12 22 62
				2													1 4 36 41.
			n	2													1 4 36 41.
						[2.10.2]		(		1,			2) [2.9.2] 6 1 3 2 ( 2) 6
						[2.10.2]		(	n	1,		n	2) [2.9.2] 6 1 3 2 ( 2) 6
	cos(P1, P2)

								n1				n2					7 41
											0			0		.
														0		.
								7			41					2

10.14.Записати рівняння площини P, яка проходить через точку M0(2; 1;1)

перпендикулярно до площин

P1 : x y 5z 9 0 та P2 : 2x y 2z 1 0.

Розв’язання. [2.12.1, 3.3.3.]

Шукана площина перпендикулярна до площин P1 та P2. Отже, її нормальний вектор n перпендикулярний до їхніх нормальних векторів n1 (1;1; 5)T і n2 (2;1;2)T .

[2.12.1]

Тоді n(P) [n1,n2 ]. Знайдімо його координати:

156	Модуль 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ


							i		j	k
	[		1,		2	] 1		1		5
n	[	n	1,	n	2	] 1		1		5
						2		1		2

		3
		3





i (2 5) j (2 10) k (1 2) 3i 8j k 8			.


	1

Площину з нормальним вектором n ( 3;8; 1)T , яка проходить через точку

M0(2; 1;1) задає рівняння [3.3.3]

(r r0,n) 0 3(x 2) 8(y 1) 1(z 1) 0.

Рівняння шуканої площини

P: 3x 8y z 15 0.

10.15.Знайти віддаль від точки M0(1;2; 3) до площини 5x 3y z 14 0.

З’ясувати, в одному чи різних підпросторах щодо заданої площини розташована точка M0 і початок системи координат.

Розв’язання. [3.11.5, 3.11.6.]

			[3.11.5]		ax	0	by		0		cz	0	d
			[3.11.5]		ax		by				cz		d
				d(M0,P)


								a2 b2 c2
								a2 b2 c2
		5 1 3 2 1 ( 3) 14								5 6 3				14		10		.
		5 1 3 2 1 ( 3) 14								5 6 3				14		10


				52 ( 3)2 12									35		35
З’ясуймо знак відхилення точки M0					від площини:
	[3.11.6]			ax0 by0 cz0	d						5 6 3 14						10
(M0	, P)																		0.

												35					35
			sgnd a2 b2 c2									35					35

Від’ємний знак відхилення вказує на те, що точка M0 і початок системи коор-

динат належать одному півпростору щодо заданої площини.

10.16. Знайти кут між прямими

	x	y 1	z			0,
L :				та L	3x y 5z 1
					:	0.
1	1	2	3	2	2x 3y 8z 3

Розв’язання. [3.10.1.]

Знайдімо напрямні вектори прямих:

		1												7
								i			j	k
								i			j	k


				s [n ,n			]		3 1 5
s 2			;	s [n ,n		2	]		3 1 5				14
1				2	1	2

								2		3		8
	3							2		3		8	7

															10. Задачі на прямі й площини														157
(у подальшому зручніше взяти йому колінеарний вектор s																										(1;2;1)T ).
																									2
					[3.10.1] (							,	s )					1 1 2 2 3 1							1 4 3
					[3.10.1] (					s		,	s )					1 1 2 2 3 1							1 4 3
								1				2																	0.
cos(L1, L2)
														s2
									s1										14 6						14		6
									s1										14 6						14		6
Отже, , тобто прямі перпендикулярні.
2
10.17. Задано точки A1(1;0; 1), A2(0;2;3),A3(1;1;1)та A4(3; 3;0).
10.17.1. Записати рівняння площини A1A2A3.
Розв’язання.
Знайдімо координати векторів:																									A4

		A1A2																											A2
								1																					A2

				[2.6.6]


r2 r1								2
r2 r1								2				,																A3
																					A1							A3
																					A1				M
							4															N			M
																						N
																							Рис. до зад. 10.17

																		0							2



		A1A3 r3 r1																				r1
		A1A3 r3 r1																1	, A1A4 r4			r1		3			.


																		2							1

Площину A1A2A3 задає рівняння (див. зад. 9.11)
																				x 1		y		z 1		0
(				,																		2			4
(	r		r1	,		r2		r1,			r3					r1	) 0			1		2			4
																				0		1			2

(x 1) 0 y ( 2) (z 1) ( 1) 0;

A1A2A3 : 2y z 1 0.

10.17.2. Записати рівняння прямої A1A2.

Розв’язання.
Пряму A1A2 задає рівняння (див. зад. 9.3)
					AA : x 1				y	z 1.
	r	r	r	r
1			2	1		1	2	1	2	4

10.17.3. Записати рівняння прямої A4M, яка перпендикулярна до площини

A1A2A3.

Розв’язання. [3.4.4, 3.4.5.]

158	Модуль 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Оскільки пряма A4H перпендикулярна до площини A1A2A3, то за напрямний вектор прямої A4H можна взяти нормальний вектор площини A1A2A3 :

		0
		0


		2
s(A4H ) n(A1A2A3 )		2	.


	1

Пряму A4H, що проходить через точку A4 паралельно вектору s(A4H), задає
рівняння (див. зад. 9.1)
			s(A H) A H : x 3				y 3		z	.
	r	r

4				4	4	0	2	1

10.17.4. Записати рівняння прямої A3N, яка паралельна прямій A1A2.

Розв’язання. [3.4.4.]

Оскільки пряма A3N паралельна прямій A1A2, то за напрямний вектор прямої

A3N можна взяти напрямний вектор прямої A1A2 :

	1
	1


	2
s(A3N ) s(A1A2 )	2	.


4

ПрямуA3N, що проходить через точку A3 паралельно вектору s(A3N), задає рівняння (див. зад. 9.1)

				(A N) A N : x 1			y 1	z 1 .
	r	r	s
3			3		3	1	2	4

10.17.5. Записати рівняння площини, що проходить через точку A4 перпенди-

кулярно до прямої A1A2.

Розв’язання.

Рівняння площини P, що проходить через точку A4 перпендикулярно до пря-

мої A1A2, задає рівняння (див. зад. 9.6):

(r r4,s (A1A2 )) 0

1(x 3) 2(y 3) 4(z 0) 0; P : x 2y 4z 9 0.

10.17.6. Обчислити синус кута між прямою A1A4 і площиною A1A2A3.

Розв’язання. [3.10.5]

З рівнянь прямої A1A4 та площини A1A2A3 випливає, що напрямний вектор

A1A4 і нормальний вектор площини A1A2A3 такі:

10. Задачі на прямі й площини

159

	2



	3
s(A1A4 )		, n(A1A2A3 )

	1

	0
	0


	2
	2	.


1

	[3.10.5]

		(n		,s )
	sin(A1A4,A1A2A3)



			n		s
			n		s
	0 2 2 ( 3) 1 1						7			7	.
										7


02 22 ( 1)2 22 ( 3)2 12						5		14	10

10.17.7. Обчислити косинус кута між координатною площиною Oxy і площи-

ною A1A2A3.

Розв’язання. [3.10.4.]

Нормальні вектори площин Oxy та A1A2A3

		0		1
		0		1



		0		2
n(Oxy) k		0	, n(A1A2A3 )	2	.

				1
	1			1

		[3.10.4]				1,		2)
			(
			(		n		n
cos(Oxy,A1A2A3)



				n1			n2
	0 0 0 2 1 1									1


02 02 12 02 22 ( 1)2									1 5
02 02 12 02 22 ( 1)2									1 5

1 . 5

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

10.18.Дослідіть взаємне розташування площин. У разі якщо вони паралельні, то знайдіть віддаль d(P1,P2 ) між площинами, якщо вони — перетинні, то знайдіть косинус кута між ними:

1) P1 : x 2y z 1 0, P2 : y 3z 1 0;

2) P1 : 2x y z 1 0, P2 : 4x 2y 2z 1 0;

3)P1 : x y 1 0, P2 : y z 1 0;

4)P1 : 2x y z 1 0, P2 : 4x 2y 2z 2 0.

10.19.Запишіть рівняння площин, що поділяють навпіл кути, утворені площинами P1 і P2, якщо:

1)P1 : x 3y 2z 5 0, P2 : 3x 2y z 3 0;

2)P1 : 2x y 5z 3 0, P2 : 2x 10y 4z 2 0.

160	Модуль 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

10.20. Запишіть рівняння площини, рівновіддаленої від площин P1 і P2, якщо:

1) P1 : 4x y 2z 3 0, P2 : 4x y 2z 5 0;

2)P1 : 5x 3y z 3 0, P2 : 10x 6y 2z 7 0.

10.21.На віддалі k одиниць від площини P проведіть площину, паралельну їй:

1)k 5,P : x 2y 2z 14 0;

2)k 3, P : 3x 6y 2z 14 0.

10.22.Доведіть, що прямі паралельні, і знайдіть віддаль між ними:

1) x 1 2t,y 3t,z 2 t та x 7 4t ,y 5 6t ,z 4 2t ;

		0,
	x y z 3	0,
2)
2)	x 2t,y 0,z 2t та	0.
	x y z 1	0.

10.23. Доведіть, що прямі збігаються:

1) x 8 3t,y 7 2t,z 11 t та x 5 6t ,y 9 4t , z 10 2t ;

	0,
4x y 3z 5	0,

2) x t,y 4 5t, z 3 3t та	0.
7x 2y z 5	0.

10.24. Доведіть, що прямі перетинаються, і знайдіть координати точок перетину:

1) x 3t,y 2 3t,z 1 та

x 1 5t ,y 1 13t ,z 1 10t ;


	2y z 2 0,
2) x 2 3t,y 1, z 4 t
2) x 2 3t,y 1, z 4 t	та	7y 3z 17	0.
	x	7y 3z 17	0.

10.25.Установіть, чи лежить пряма L у площині P, не має з площиною P спільних точок або перетинає в деякій точці й тоді знайдіть точку перетину:

1)	L :	x 1	y 3	z 2		, P : 4x 3y z 3 0;
		2	1		5
2)	L :	x 7	y 4 z 5			, P : 3x y 2z 5 0;
		5	1		4
3)	x 1 y 3 z ,				P : x 3y 2z 5 0.
	2		4	5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016931.53 Кб4Poyasnyuvalna_zapiska_moya.docx
#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf